RELACIONES DE RECURRENCIA

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1 Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60

2 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta. Objetivos específicos Conocer y entender las reglas básicas de la recurrencia. Comprender el concepto de recurrencia lineal homogénea y no homogénea. Resolver problemas que involucren recursión lineal. Comentario inicial Para muchos la recursión es expresar algo sobre sí mismo. Dentro de la matemática discreta y en general en la computación, ciertos algoritmos y programas de cálculo se han facilitado cuando se usa la recursión. Lo que sigue es una introducción a un vasto tema como lo es la recursión, así como su relación con la matemática discreta. 61

3 Es probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va entrar con el debido detalle en algunos temas. Lección No. 19: Relación de recurrencia Definición de relación de recurrencia Diremos que una relación de recurrencia para una sucesión a 0, a 1, a 2,..., a n,... es una expresión que relaciona a n con uno o más términos precedentes a 0, a 1, a 2,..., a n 1, para cualquier n entero mayor o igual que un entero inicial k. Las condiciones iniciales son los primeros términos necesarios para empezar a calcular en una relación de recurrencia. Ejemplo 1: La relación a 1 1 y a n a n 1 2n 1 para todo n natural mayor que 1, es un ejemplo de relación de recurrencia. Ejemplo 2: La sucesión de Fibonacci es otro ejemplo de relación de recurrencia definido como sigue: a 1 1, a 2 1 y a n a n 1 a n 2 para todo n natural mayor que 2. n Ejemplo 3: La relación a 0 2 y a n a n para todo n natural mayor que 0, es otro ejemplo de relación de recurrencia. Ejemplo 4: La relación a 0 0, a 1 2 y a n 4a n 1 4a n 2 n 2 para todo n natural mayor que 1, es también ejemplo de relación de recurrencia. Ejercicios Ejercicio1: Proponga dos ejemplos más de relación de recurrencia. 62

4 Ejercicio 2: Proponga e implemente en MAPLE o en un lenguaje de programación las relaciones de recurrencia dados en los ejemplos anteriores. Lección No. 20: Relación de recurrencia lineal En matemática discreta es usual trabajar con relaciones de recurrencia de tipo lineal de coeficientes constantes. Una relación de recurrencia es de tipo lineal de coeficientes constantes de orden m, si la relación de recurrencia es de la forma a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 c 3 a n 3 c m a n m g n, donde c 1, c 2,..., c m son constantes. Ejemplo 5: La relación a 1 1 y a n a n 1 2n 1 para todo n natural mayor que 1, del ejemplo es una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden 1. Ejemplo 6: La sucesión de Fibonacci (ejemplo 2) es otro ejemplo de relación de recurrencia de coeficientes constantes de orden 2. Ejercicios Ejercicio 3: Ve rifique si las relaciones dadas por los ejemplos y son relaciones de recurrencia lineal de coeficientes constantes y si es así, diga de qué orden son. Ejercicio 4: Proponga un ejemplo de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden 3. 63

5 Lección No. 21: Recurrencia lineal homogénea Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden m es homogénea, si g n 0. Una ecuación característica de una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes homogénea de orden n es una ecuación de la forma t n c 1 t n 1 c 2 t n 2 c 3 t n 3 c m t n m y las raíces de esta ecuación se llaman raíces características Teorema Sea a n una sucesión definida por recurrencia lineal homogénea como en la definición 4.3, y sean b 1, b 2,..., b s las raíces características con multiplicidades r 1, r 2,..., r s, entonces: a P n b n P n b n P n b n P n b n n Donde cada P i n A 0 A 1 n A r 1 n r i 1 i, con i 1,..., s. s s Ejemplo 1: Retomando la sucesión de Fibonacci a 0 0, a 1 1 y a n a n 1 + a n 2 para todo n natural mayor que 2, podemos decir que es una relación lineal homogénea, cuya ecuación característica es t 2 t 1 0, cuyas raíces son a n y 1 5 2, y usando las condiciones iniciales junto con procedimientos algebraicos de simplificación tenemos que para todo n natural mayor que 1. n n, 64

6 Ejercicios Ejercicio 1: Es la siguientes relación lineal homogenea?. Si es así, hacer un desarrollo similar al ejemplo 1. Ejercicio 2: Proponga dos ejemplos similares al ejercicio 1 a 0 23 y a n 3a n 1 Lección No. 22: Recurrencia lineal no homogénea Diremos que una relación de recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden m es no homogénea, si g n 0. Aunque no existe una solución general para este tipo de relaciones de recurrencia, existe el método de los coeficientes indeterminados que va a proporcionar una solución particular en función de cómo esté definido g n. Si g( n) es un polinomio de grado k, entonces a n Q k n n r, donde Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz 1 de la ecuación característica de la relación lineal homogénea asociada. Si g ( n) es un polinomio de grado k, entonces a n Q k n n r a n, donde Q k n es un polinomio de grado k y r es la multiplicidad de la raíz a de la ecuación característica de la relación lineal homogénea asociada. Ejemplo 1: Cuál es la solución de la relación de recurrencia a n =6a n-1-9a n-2 +F(n) cuando F(n)=3n, F(n)=n3 n? 65

7 De la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada (a n =6a n-1-9a n-2 ) tenemos que (r-3) 2 =0, luego tiene una raíz de valor 3, con multiplicidad 2. Aplicando el teorema con respecto a las funciones F(n) se obtienen las soluciones particulares: Para F(n)=3n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces: Solución particular a n (p) =n 2 (p 0 )3 n. Para F(n)= n3 n. Dado que s=3=r con multiplicidad 2 (m), entonces: Solución particular a n (p) =n 2 (p 1 n+ p 0 )3 n. Ejercicios Ejercicio 1: Es la relación de recurrencia del ejemplo lineal no homogenea?. Justifique su respuesta. Si es así, hacer un desarrollo similar al ejemplo 1. Sol: a n n 2 55 n 1 2 3n 4n Ejercicio 2: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = n 2.2 n Ejercicio 3: Con base al primer ejemplo, encuentre las soluciones particulares para F(n) = (n 2 +1).3 n 66

8 Capítulo 6 FUNCIÓN GENERADORA Objetivo general Entender cómo se relaciona un problema de conteo con un polinomio usando el concepto de función generadora. Objetivos específicos Conocer el concepto de función generadora y sucesión asociada. Resolver problemas que involucren el concepto de función generadora. Comentario inicial El problema de contar algunas veces no resulta tan sencillo. El propósito central de este capítulo es conocer cómo es un problema de conteo con un polinomio. Es básicamente encontrar una generalización del teorema del Binomio. 67

9 Es muy probable que el lector ya esté familiarizado con el contenido de este capítulo visto en curso anteriores, por eso no se va a tratar con el debido detalle algunos temas. Lección No. 23: Función generadora y sucesión asociada Definición de función generadora Una serie de sumas de potencias de x, de la forma n 2 n f x n 0 a n x a 0 a 1 x a 2 x a n x finita o infinita, se llama función generadora de la sucesión a 0, a 1, a 2,..., a n,... formada con los coeficientes de x. Ejemplo 1: La sucesión a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 1 y a n 0 para todo n natural mayor que 4, tiene como función generadora asociada a f x 1 x x 2 x 3 x 4 Ejemplo 2: La sucesión asociada a la función generadora f x 1 2x 4x 2 5x 4 7x 7 es la sucesión 1, 2,4,0,5,0,0,7,0,0,0,..., 0,0,0,... Ejemplo 3: La sucesión asociada a la función generadora f x x 1 3x 10x 2 9x 5 es la sucesión 0,1,3, 10,0,0,9,0,0,0,...,0,0,0,... 68

10 Ejemplo 4: La sucesión a 0 1 y a n a n 1 2 para todo n natural mayor que 0, tiene como función generadora a f x n 0 2n 1 x n n Sol: f x n 0 1 x n Ejercicios Ejercicio 1: Cuál es la sucesión asociada a la función generadora f x x 4 x 5 x 2 x 3? Sol: 0,0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,..., 0,0,0,.... Ejercicio 2: 1, 1,1, 1,1, 1,1,...? Cuál es la función generadora asociada a la sucesión Ejercicio 3: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la sucesión asociada a una función generadora y encontrar dicha función. Ejercicio 4: Proponga 5 ejercicios para los cuales se da la función generadora y encontrar la sucesión asociada a dicha función generadora. Lección No. 24: Series de Taylor y Maclaurin La serie de Maclaurin y la serie de Taylor son mecanismos muy usados para encontrar la sucesión asociada a una función generadora. Una función generadora f(x) =, donde a n = f (n) 0 es la enésima derivada de f(x) evaluada en cero. n Una serie de Taylor es toda función de la forma f x n 0 a n x a, 69

11 si a n f n a n f x evaluada en a. n, donde f a es la n-ésima derivada de la función Las series de Maclaurin son un caso especial de las series de Taylor cuando a 0. Ejemplo 5: La función f(x) = log (1-x) es función m generadora ya que al aplicar las series de Maclaurin se tiene que log (1-x) = para x <1 De aquí se deduce que la sucesión asociada es a n = -1/n para todo x <1 Ejemplo 6: La función f ( x) e x aplicar las series de Maclaurin, se tiene que e x es función generadora ya que al n 0 n deduce que la sucesión asociada es a n 1, para todo n natural mayor o igual que 0. n 1 n x y de aquí se Ejercicios Ejercicio 5: Encontrar la función asociada a la función generadora de a. f (x) = con 1 <1; b. f(x) = Sen (x); c. f(x) = Cos (x) ; d. f(x) = EXP (-x) NOTA: En Internet encontrará las series de estas funciones o en un libro de cálculo. Ejercicio 6: Proponga otros dos ejemplos de funciones generadoras, de las cuales haya que encontrar la sucesión asociada usando series de Maclaurin. 70

12 Lección No. 25: Resolviendo problemas de conteo a través de un polinomio Las combinaciones de n elementos tomados en grupos de r elementos son los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton (a +b) n (Teorema del Binomio). Esto permite pensar en encontrar métodos o maneras para resolver problemas de conteo a través de los coeficientes de polinomios. Lo que sigue son dos ejemplos clásicos que permiten mostrar una manera de cómo un problema de conteo se resuelve a través de coeficientes de polinomios. Ejemplo 1: Un bibliotecario va a entregar 7 libros a dos personas, de tal forma que a uno le toque al menos 4 libros y al otro le toque al menos 2 libros. De cuántas formas puede entregar los libros el bibliotecario? En efecto, por la manera en que surgen los coeficientes del binomio de Newton, se puede asociar a este problema el siguiente polinomio: f ( x) x 4 x 5 x 2 x 3. De acuerdo con el problema, el primer factor corresponde el número de libros posibles que le corresponden a la primera persona y esto es 4 o 5. A la segunda persona le corresponden 2 o 3. De aquí surge el planteamiento del polinomio. Al multiplicar estos dos factores tenemos que f (x) x 6 2x 7 x 8 y como son 7 libros, se tiene que hay 2 formas de entregar los libros. Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 1, ahora son 10 libros, esto significa que f ( x) x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6, porque a la primera persona le corresponden entre 4 y 8 libros y a la segunda persona le corresponden entre 2 y 6 libros. Al desarrollar el polinomio tenemos que f (x) x 6 2x 7 3x 8 4x 9 5x 10 4x 11 3x 12 2x 13 x 14, como son 10 libros, entonces hay 5 formas de entregar los libros. 71

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