UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez

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1 UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1

2 ESQUEMA ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD Álgebra (Concepstos básicos) Suma Resta Multiplicación División OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS Leyes de Exponentes Exponentes Fraccionarios Logaritmos y sus propiedades Valor numérico de una expresión algebraica 2

3 Presentación El Álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para presentar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que = 5 2 ). El Álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a 2 + b 2 = c 2 El Álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El Álgebra moderna ha evolucionado desde el Álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al Álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de Álgebra es la que dice que el Álgebra es el idioma de las matemáticas. (Encarta, 2006) En mi experiencia personal, te podría decir que el Álgebra se emplea en todos los campos del conocimiento. Posiblemente y de forma cotidiana, no la aplicamos tal y como la estudiamos, es decir, cuando vamos al supermercado, o debemos abordar un transporte, o tenemos que ir a pagar los servicios, difícilmente la solución del Teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2 podría ayudarnos a resolver tales problemas. No obstante, cuando se trata de formalizar una situación, esto es, expresarla en lenguaje matemático, es cuando el lenguaje que empleamos es el algebraico; y al formalizar situaciones del mundo real, por ejemplo situaciones que involucran distancias, rutas, superficies, volúmenes, 3

4 diferencias, incrementos, proporciones etc, se van desarrollando estructuras internas de pensamiento que son capaces de abstraer de la realidad las variables importantes que deben considerarse para tomar una decisión. Así por ejemplo, cuando yo me pregunto Cuál es la ruta más corta para ir al supermercado y de ahí pasar a pagar los servicios de agua, luz y teléfono ahorrando tiempo y acortando distancias? No dibujo en un papel un croquis (lo cual podría hacerse con algún fin de formalización), ni dibujo el triángulo rectángulo para calcular las distancias de los puntos aplicando la fórmula de la distancia, sino que internamente empiezan a trabajar las estructuras de pensamiento que he aprendido sobre Geometría, Álgebra y Trigonometría y entonces mi cerebro es capaz de abstraer la realidad y proporcionarme un algoritmo (la secuencia de pasos más eficiente) para que yo recorra todos los lugares, haga mis pagos y mis compras en el orden más adecuado y en el menor tiempo posible. Es tan solo una forma simple y llana de cómo el Álgebra tiene una aplicación práctica en la vida cotidiana. Claro que hay una infinidad de aplicaciones y ten por seguro que en cualquier área de conocimiento que estudies o a la que te dediques, la emplearás continua y necesariamente. 4

5 1.1 ÁLGEBRA (CONCEPTOS BÁSICOS). Expresiones algebraicas Trabajar en Álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes: Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l 2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a 3, donde a es la arista del cubo. Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a expresiones algebraicas El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4,...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x 2 Un número al cubo: x 3 Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x

6 Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a expresiones algebraicas Descomponer 24 en dos partes: x y 24 x. La suma de dos números es 24: x y 24 x. La diferencia de dos números es 24: x y 24 x. El producto de dos números es 24: x y 24/x. El cociente de dos números es 24: x y 24 x. Un número incrementado en 8: x + 8. Dos más que tres veces un número: 3x + 2. Cuatro menos que seis veces un número: 6x 4. Doce veces la suma de un número y 5: 12(x + 5). Cinco menos que dos veces la distancia, d: 2d 5. El seis por ciento de un número: 0.06c. El costo de un artículo incrementado en un 7% de impuestos: c c. El costo de un artículo reducido en 35%: c 0.35c. Un número y el número disminuido en 10%: x 0.10x. La edad de Luis dentro de seis años: x + 6. La velocidad del segundo tren es 1.8 veces la velocidad del primero: 1.8v. David y su hermano comparten $90: 90 x. A Tomás le lleva tres horas más que a Roberta terminar la tarea: t + 3. Hilda tiene $5 más que dos veces el monto de dinero que tiene Héctor: 2x + 5. La longitud de una mesa es 7 unidades menos que 3 veces su ancho: 3w 7. La suma de dos números es 19: 19 x. Una tabla de diez metros cortada en dos pedazos: x 10. $10,000 compartidos por dos personas:: 10,000 x. Los últimos tres ejemplos podrían no ser muy obvios. Considera La suma de dos números es 10. Cuando sumamos x y 10 x obtenemos x + (10 x) = 10. Otro ejemplo: Cuando una tabla de 10 metros se corta en dos tramos serán x y 10 x. Por ejemplo, si un tramo es de 3 metros, el otro debe ser de 10 3 = 7 metros. 6

7 Tipos de expresiones algebraicas Monomio.- Expresión algebraica formada por un solo término. Ejemplo: 2x 2 Tipos de expresiones algebraicas Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. Ejemplo: 2x 2 + y 3 Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. Ejemplo: 2x 2 + 3y 3-2x 2 Monomios Otra definición de un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: 2x 2 y 3 z Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término. Ejemplos: 2x 2 + y 3 + 2x 2 + 5y 2-2x 2 Partes de un monomio Partes de un monomio Coeficiente. El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x 2 y 3 z es: = 6 7

8 Monomios semejantes Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n a n - 2 x n a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n a 1, a o números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. a n es el coeficiente principal. a o es el término independiente. Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Clasificación de un polinomio según su grado Primer grado (o grado 1) P(x) = 3x + 2 Segundo grado (o grado 2) P(x) = 2x 2 + 3x + 2 Tercer grado (o grado 3) P(x) = x 3-2x 2 + 3x + 2 8

9 Tipos de polinomios Polinomio nulo Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos. Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios son del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x 2 + 3xy Polinomio heterogéneo Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado. Ejemplo: P(x) = 2x 3 + 3x 2-3 Clasificación de polinomios Polinomio completo Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. Ejemplo: P(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3 Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. Ejemplo: P(x) = 2x 3 + 5x - 3 Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: 1) Los dos polinomios tienen el mismo grado. 2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. P(x) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x) = 5x x 3 Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x 3 + 5x 3 Q(x) = 5x 3 2x 7 Para ver el glosario relativo a los conceptos algebraicos más comunes, descarga el archivo Glosario de Álgebra.doc que encontrarás en la sección de Herramientas del curso/glosario. 9

10 1.2 SUMA DE MONOMIOS, SUMA DE POLINOMIOS, SUMA DE VARIOS POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS. La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b. La suma de a y b es a b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b. Regla general para sumar Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. 1) Sumar 5a, 6b y 8c. Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a, 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. ax n + bx n = (a + b)x n 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio. 2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z 10

11 Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x 2 + 2x 3 1.-Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3-3x 2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x - 3) + (2x 3-3x 2 + 4x) 2.-Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3-3 x 2 + 5x + 4x Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x 3-3x 2 + 9x - 3 Otro ejemplo. Para sumar P(x) = 3x 4 5x 2 + 7x con Q(x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 procedemos de la siguiente forma: La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). 1.3 RESTA DE MONOMIOS Y RESTA DE POLINOMIOS La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. De manera formal, se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x). 11

12 Ejemplo: P(x) Q(x) = (2x 3 + 5x - 3) (2x 3-3x 2 + 4x) P(x) Q(x) = 2x 3 + 5x - 3 2x 3 + 3x 2 4x P(x) Q(x) = 2x 3 2x 3 + 3x 2 + 5x 4x - 3 P(x) Q(x) = 3x 2 + x MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. 5 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base. ax n bx m = (a b)x n +m 5x 2 y 3 z 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3 Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 ( 2x 3-3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3-9x x - 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 12

13 3 x 2 (2x 3-3x 2 + 4x - 2) = 6x 5-9x x 3-6x 2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x 2-3 Q(x) = 2x 3-3x 2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) Q(x) = (2x 2-3) (2x 3-3x 2 + 4x) = = 4x 5 6x 4 + 8x 3 6x 3 + 9x 2 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x 5 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: Ejemplo: Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios: P(x) = 3x 4 + 5x 3-2x + 3 y Q(x) = 2x 2 - x +3 Modo 1 P(x) Q(x) = (3x 4 + 5x 3-2x + 3) (2x 2 - x +3) = = - 3x 5 + 9x x 5-5x x 3-4x 3 + 2x 2-6x + 6x 2-3x + 9 = = 6x 6 + 7x 5 + 4x x 3 + 8x 2-9x + 9 Modo 2 13

14 Un ejemplo más del modo 2: Para multiplicar los polinomios P(x) = 3x 4-5x y Q(x) = x 3 + 2x procedemos de la siguiente forma, acomodando primero los polinomios conforme al modo 2: La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x) Q(x) + P(x) R(x) 14

15 1.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. (DIVISIÓN SINTÉTICA Y TEOREMA DEL RESIDUO) División de monomios Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base. ax n / bx m = (a / b)x n m Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. División de polinomios Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado n al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) ) que cumplen las siguientes condiciones: P(x) = Q(x) C(x) + R(x) grado de C(x) = m - n; grado de R(x) n - 1 Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto. 15

16 Ejemplo: Resolver la división de polinomios: P(x) = 2x 5 + 2x 3 x - 8 Q(x) = 3x 2 2 x + 1 P(x) : Q(x) Paso 1.-A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. Paso 2.-A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Paso 3.-Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 / x 2 = x 3 Paso 4.-Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Paso 5.-Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x 4 / x 2 = 2 x 2 16

17 Procedemos igual que antes. 5x 3 / x 2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x 2 / x 2 = 8 10x 16 es el resto,, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente. Otro ejemplo concreto: Al dividir P(x) = 5x 3 + 7x 2-3 y Q(x) = x 2 + 2x - 1: Se obtiene que el cociente es C(x) = 5x 3, y el resto, R(x) = 11x 6. 17

18 La descripción del proceso es la siguiente: 1.-El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x 3 /x 2 = 5x. 2.-Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. 3.-Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta (la diferencia obtenida) fuera ahora el dividendo. 4.-El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x,) y se cumple la relación: P(x) = Q(x) C(x) Teorema del resto El resto de la división de un polinomio P(x) entre un polinomio de la forma (x - a) es precisamente el valor de dicho polinomio cuando x vale a. Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número). El teorema del resto afirma que el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)c(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene: P(a) = (a - a)c(a) + R = 0 + R = R 18

19 Ejemplo de aplicación: Calcular por el teorema del resto el resto de la división: P(x) / Q(x) P(x)= x 4 3x 2 +2 Q(x)= x 3 Hacemos la división sintética para saber cuánto va a quedar como resto. P(3) = = = 56 Como el divisor fue (x-3), sustituimos el valor de 3 en el polinomio original, o sea, el dividendo P(x)= x 4 3x 2 +2 y obtuvimos el valor de 56 que es el mismo residuo encontrado por división sintética. 19

20 1.6 LEYES DE EXPONENTES PARA EXPONENTES ENTEROS. Definición de exponente El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En el ejemplo gráfico: 8 2 = 8 8 = 64. En palabras: 8 2 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Otro ejemplo: 7 x 7 x 7 x 7 = 74, que se lee 7 elevado a la cuarta, el exponente es el número 4 (cuatro). Ahora bien las leyes de exponentes son las reglas de tratamientos de este tipo de operación. 20

21 La ley que dice que x m x n = x m+n En x m x n, Cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces. Ejemplo: x 2 x 3 = (xx) (xxx) = xxxxx = x 5 Así que x 2 x 3 = x (2+3) = x 5 La ley que dice que x m /x n = x m-n Como en el ejemplo anterior, cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. Ejemplo: x 4-2 = x 4 /x 2 = (xxxx) / (xx) = xx = x 2 (Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.) Esta ley también te muestra por qué x 0 =1 : Ejemplo: x 2 /x 2 = x 2-2 = x 0 =1 La ley que dice que (x m ) n = x mn Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m n veces. Ejemplo: (x 3 ) 4 = (xxx) 4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12 Así que (x 3 ) 4 = x 3 4 = x 12 La ley que dice que (xy) n = x n y n Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy) 3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x 3 y 3 21

22 La ley que dice que (x/y) n = x n /y n Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y) 3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x 3 /y 3 La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m): Ejemplo: Y eso es todo. Bueno, sólo una cosa más... Qué pasa si x = 0, es decir, si la base es igual a 0? El extraño caso de 0 0 Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0 0 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": 22

23 1.7 EXPONENTES FRACCIONARIOS. Los exponentes fraccionarios, como el que vemos en el siguiente monomio: x ½ también se llaman "radicales" En el ejemplo de 8 2, el exponente es "2", pero y si fuera "½"? Cómo funcionaría? Pregunta: Qué es x ½? Respuesta: x ½ = la raíz cuadrada de x (o sea x ½ = x ) Por qué? Porque si calculas el cuadrado de x ½ tienes: (x ½ ) 2 = x 1 = x Para entenderlo más claramente, sigue esta explicación de dos pasos: 1 Primero, hay una regla general: (x m ) n = x m n (Porque primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en total m n veces) Ejemplo: (x 2 ) 3 = (xx) 3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x 6 Así que (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 2 Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x ½ : (x ½ ) 2 = x ½ 2 = x 1 = x Cuando hacemos el cuadrado de x ½ sale x, así x ½ tiene que ser la raíz cuadrada de x. Probemos con otra fracción. Ahora con un exponente de un cuarto ¼: Qué es x ¼? Veamos: (x ¼ ) 4 = x ¼ 4 = x 1 = x Entonces, qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x. Así que x ¼ = la raíz cuarta de x = 4 x 23

24 Regla general: Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima: De hecho podemos hacer una regla general: Ejemplo: Cuánto es 27 1/3? Respuesta: 27 1/3 = 3 27 = 3 Qué pasa con fracciones más complicadas? Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes: Una parte con un número entero, y Una parte con una fracción del tipo 1/n Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m (1/n): Así que tenemos esto: Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima Ejemplo: Cuánto es 4 3/2? Respuesta: 4 3/2 = 4 3 (1/2) 3 = ( ) 4 = (4 4 4) = (64) = LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES. 24

25 Antes de abordar este tema, hagamos un repaso acerca de las Potencias y sus propiedades. 25

26 Ahora sí, comencemos nuestro estudio sobre los logaritmos: 26

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29 1.9 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Cristina tiene problemas de riñón y el médico le ha recomendado que tome 2 litros de agua al día. Para cumplir la recomendación del médico, Cristina quiere conocer la capacidad que tienen los vasos de su casa, y así podrá saber cuántos tendrá que beberse al día. Sus vasos tienen forma cilíndrica, con lo que utiliza la fórmula del volumen del cilindro para calcular su capacidad. Esta fórmula es una expresión matemática que no sólo tiene números, también incluye letras que representan el radio del círculo base y la altura del cilindro. La fórmula del volumen del cilindro es una expresión algebraica. Para calcular el volumen del vaso, Cristina mide el radio del círculo base, para lo que mide el diámetro y lo divide entre 2, y la altura del vaso, todo en centímetros. 29

30 Luego sustituye estos valores en la fórmula y calcula el volumen en centímetros cúbicos. Lo que ha hecho Cristina es calcular el valor numérico de la expresión algebraica que se utiliza para calcular el volumen de un cilindro. Como 2 litros equivalen a centímetros cúbicos, Cristina divide entre 294'5 para saber cuántos vasos se tiene que beber, con lo que al final decide que se beberá 7 vasos al día. En matemáticas utilizamos letras en lugar de números en muchas ocasiones: Para expresar y manejar un número que no conocemos. Para expresar fórmulas con las que obtenemos un resultado, en función de los valores numéricos que les demos a esas letras. Para generalizar relaciones y propiedades numéricas. Con las letras que sustituyen a los números podemos realizar las mismas operaciones que con los números 30

31 En resumen: Una expresión algebraica está formada por números y letras unidos mediante operaciones matemáticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que obtenemos cuando sustituimos las letras por números y hacemos las operaciones que indica la expresión. Ejemplos finales: L(r) = 2 r r = 5 cm. L (5)= 2 5 = 10 cm S(l) = l 2 l = 5 cm A(5) = 5 2 = 25 cm 2 V(a) = a 3 a = 5 cm V(5) = 5 3 = 125 cm 3 31

32 REFERENCIAS Fernández, J.C. (2008) Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos gratuitos para todos sus usuarios. Consultado en Mayo 23, 2009 en García, M.J. (2006) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Consultado en Mayo 30, 2009 en Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia multimedia. Micronet. Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft, Corporation. Pierce, R. (2008) "Menú de Álgebra" Disfruta Las Matemáticas. Consultado en Mayo 23, 2009 en FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en 32