Semana 14. Carlos Hernandez. Helena de Oteyza. Alfredo.

Transcripción

1 Semana 4 Carlos Hernandez Los apuntes los encuentran en: Helena de Oteyza Alfredo Algoritmo de la división para números enteros Teorema Para cualesquiera dos enteros n, d con d 0 podemos existen únicos q, r Z(enteros) tales que n qd+r y 0 r < d En otras palabras, al dividir un número n entre d, podemos descomponer a n como n qd + r donde r tiene que estar entre 0 y d Ejemplo El 3 lo podemos descomponer en terminos de 3 como 3 (4 3) +, seria como decir que a 3 le caben 4 multiplos de 3 y le sobra uno Este teorema es llamado el algoritmo de la división y lo usamos en cada paso al momento de realizar una división por el metodo conocido En un teorema siempre es importante saber las restricciones, en este caso, d no puede ser 0, pero n si podria ser 0, de hecho la descomposición de 0 al dividirlo ente d siempre es 0 (0 d) + 0 r es comúnmente llamado residuo y cuando r es 0, entonces d es un divisor de n, o dicho de otra forma n es múltiplo de d Al realizar la división , hacemos los siguientes pasos: En este paso estamos descomponiendo al 87 de la siguiente manera: (3 7) + 6, aqui podemos observar el algoritmo de la división para 87 y 7, estamos encontrando los números q y r tales que 87 (q 7) + r, que resultan ser q 3 y r 6 Observemos que en este paso no usamos el número completo 8756, solo el 87, así que un paso previo es descomponer a 8756 como , observemos que nuestra igualdad 87 (3 7) + 6 al multiplicarla por 00 queda transformada como: 8700 (300 7) + 600, asi que en el primero paso de nuestra división estamos descomponiendo el número 8756 de la siguiente manera: (300 7) Del paso anterior obtuvimos la igualdad 8756 (300 7) , en el segundo paso estamos 5 4 trabajando con el 65, que resulta de la descomposición: 8756 (300 7) (300 7) (300 7)+650+6, es por eso que utilizamos nuestro residuo 6 de las centenas y le agregamos la cifra de las decenas 5, con el 65 el algoritmo de la división nos da ( 7)+, al multiplicar la igualdad por 0 obtenemos 650 (0 7) +0, de esta forma: 8756 (300 7) (300 7) +(0 7) +0+6(300 7) +(0 7) +6

2 En este último paso estamos trabajando directamente con los 6 que nos sobran, en este caso obtenemos (4 7) + 8, al final nuestra descomposición es 8756 (300 7) + (0 7) + 6 (300 7) + (0 7) + (4 7) + 8, factorizando el 7 tenemos que 8756 (300 7) + (0 7) + 6 (300 7) + (0 7) + (4 7) + 8 [( ) 7] + 8 (34 7) + 8, así hemos demostrado que nuestra división nos da los números q y r tales que 8756 (q 7) + r, esto ya lo sabiamos, pero es importante saber por que, no solo creerlo por que alguien no lo dijo, ya que entenderemos en lugar de memorizar Hay que ver que lo he hecho para números particulares, solo lo he demostrado para un caso muy particular 8756 y 7, sin embargo es facil notar que si cambiamos los números, el procedimiento de descomposición es el mismo, las cuentas serán distintas, pero al final llegaremos a algo de la forma n (q d) + r Algoritmo de la división para polinomios Definición El grado de un polinomio p(x) es el máximo exponente de la variable x que tenga coeficiente distinto de 0 Ejemplo El grado del polinomio (x+) 3 x 3 es, ya que al desarrollar el polinomio obtenemos que (x+) 3 x 3 x 3 + 3x + 3x + x 3 3x + 3x +, no importa que expresemos el polinomio de formas distintas, el grado se conserva, Pareciera que el grado del polinomio (x + ) 3 x 3 es 3, pero el coeficiente de x 3 es 0 Es necesario desarrollar los polinomios para conocer sus coeficientes Teorema Para cualesquiera dos polinomios p(x), d(x) con d(x) 0(esto significa distinto del polinomio 0) existen únicos polinomios q(x), r(x) tales que p(x) q(x)d(x) + r(x) y 0 grado[r(x)] < d Ejemplo El polinomio x + 0x + puede representarse como (x + 4)(x + 3) + 0, esto lo podemos comprobar desarrollando el polinomio (x + 4)(x + 3) + 0, esta es la representación de la que nos habla el algoritmo de la división, en este caso estamos dividiendo al polinomio p(x) x + 0x + entre d(x) x + 3 y q(x) resulta ser x + 4 y el residuo r(x) 0 Podemos realizar la división de un polinomio de forma muy similar a la división de números enteros: x x + 3 x +0x + x En este primer paso estamos obteniendo que x +6x + 0x + x + 6x + 4x + 4x + x(x + 3) + 4x +, observemos que aqui no estamos todavia encontrando nuestros q(x) y r(x) del algoritmo de la división, ya que el residuo que tenemos aqui es 4x + que tiene grado y el grado debe ser menor al grado de x + 3 que tambien es, así que requiere que hagamos otro paso x +4 x + 3 x +0x + x +6x 4x + 4x + 0 Aquí estamos trabajando con lo que nos sobro en el primer paso 4x +, en este paso obtenemos que 4x+ 4(x+3), con esto ya tenemos que x +0x+ x(x+3)+4x+ x(x+3)+3(x+3) (x + 3)(x + 3) (x + 3)(x + 3) + 0, aquí ya terminamos pues el residuo que nos quedo fue de grado menor que el grado de x-3, de hecho nos quedo residuo 0, que es un polinomio de grado 0 Todo polinomio constante como 5, 7 o 3 se consideran de grado 0

3 Al igual que en la división de enteros hay una versión más reducida de realizar la división: x +4 x + 3 x +0x + 4x + 0 Aqui solo vamos poniendo los resultados de cada paso, esto lo hacemos cuando tenemos práctica y nos ahorramos de escribir tanto Daremos un par de ejemplos de división de polinomios: x +x +4 x x + 3 x 4 +3x + x 3 + 4x 6x + x +3 x + 4 x 8 x + 5 x 3 +3x +x x +x + 4 x 3 8 Notemos que en cada linea pongo el residuo completo, en la división de enteros bajabamos cifra por cifra, en este caso bajo todos los términos a cada linea a proposito, en la división de enteros podriamos hacer lo mismo, bajar todas las cifras a cada linea, y seguir el mismo procedimiento, con esto vemos que hay varias formas de representar lo que estamos haciendo no hay una forma correcta, mas bien alguna suele ser mas practica que otra Otra cosa que hay que notar es que en esta división pongo fracciones, esto es por que al hablar de polinomios, no nos interesa que nuestros resultados sean enteros, solo buscamos dividir entre polinomios Algoritmo de Euclides Definición Decimos que un entero a es divisible entre un entero d si existe un entero k tal que a kd d es llamado un divisor de a Por ejemplo es múltiplo de 3 ya que puede expresarse como 4(3), así 3 es un divisor de Observación El es divisor de todo numero, ya que n n para cualquier número n, de aqui podemos observar tambien que todo número es divisor de sí mismo Todo número es divisor de 0 ya que 0 0 n Aqui podemos observar la importancia de las definiciones, y de seguirlas tal y como son de hecho es tambien divisor de todo número ya que n ( n), aunque en general no tomamos muy en cuenta los divisores negativos Definición Un divisor común entre un conjunto de números es un número que es divisor de cada uno de los números del conjunto, por ejemplo un divisor común de 6, y 9 es 3, ya que 3 es divisor de 6, es divisor de y es divisor de 3, un divisor común del conjunto de números pares es ya que por definición de un número par, el es divisor de cada uno de los números pares Definición El máximo común divisor de un conjunto de números enteros es; como su nombre lo dice el mayor número que es divisor común del conjunto(es decir que es divisor de todos los elementos del conjunto) Por ejemplo el máximo común divisor de, 8 y 4 es 6 y, ya que los divisores comúnes son,, 3, y 6, y lo representamos como MCD(, 8, 4) El máximo común divisor de lo números pares es, ya que los divisores comúnes de los numeros pares son y, aqui es importante decir porque no hay mas, pero es sencillo, los únicos divisores de son y así los divisores comúnes de todos los pares solo pueden ser y, que si lo son ya que el divide a todo numero, en particular a todo par y el divide a todo par Teorema Sean n y d dos enteros, y sea n kd + r su descomposición según el algoritmo de la división, se cumple que MCD(n, d) MCD(r, d) Demostración Basta demostrar que la pareja (n, d) tiene los mismos divisores comunes que (r, d), pues si esto pasa el mayor divisor común (MCD) será el mismo para ambas parejas Demostrar que tienen los mismos divisores es como demostrar que: d es divisor común de (n, d) si y solo si d es divisor común de (r, d) Un si y solo si se demuestra en partes, primero debemos demostrar que todo divisor común de (n, d) tambien es divisor común de (r, d) Luego hay que demostrar que todo divisor común de (r, d) tambien es divisor común de (n, d) 3

4 Sea c un divisor común de (n, d), esto quiere decir que n ac y d bc(no se quienes son a y b, solo se que existen por la definición de divisor), por hipótesis sabemos que n kd + r(así los escojimos según el teorema), luego ac n kd + r kbc + r, despejando r tenemos que r ac kbc (a kb)c, con esto demostramos que c es divisor de r, y por hipótesis es divisor de d(pues lo escojimos como divisor común de n y d), entonces hemos demostrado que c es divisor común de r y d c lo escojimos como un divisor común de (n, d) no le dimos otra propiedad, así que nuestra demostración funciona para todo divisor común de (n, d) Es decir todo divisor común de (n, d) es divisor común de (r, d) Queda demostrada la primera parte Sea c un divisor común de (r, d), es decir r ac y d bc(a y b los habiamos usado para demostrar la primera parte, pero como ya quedo demostrada, podemos olvidarnos de lo que significaban y volverlos a definir como los estamos definiendo) Por hipótesis sabemos que n kd + r, luego n kbc + ac (kb + a)c Con esto demostramos que c es divisor de n, pero por hipotesis tambien divide a d, por lo tanto es divisor común de n y d Con esto queda demostrado que todo divisor común de (r, d) es divisor común de (n, d) que es la parte que faltaba Queda terminada la demostración El algoritmo de Euclides nos permite encontrar el máximo común divisor de manera sitemática, para explicar como funciona daremos un ejemplo: Ejemplo Calcularemos el máximo común divisor de 366 y 73 Primero usamos el algoritmo de la división, en 366 y 73, es decir expresamos a 366 como (8)73+8 Según el teorema que demostramos, MCD(366, 73) MCD(8, 73) El siguiente paso es hacer lo mismo con la pareja de números 8 y 73, entonces Entonces según el teorema que demostramos MCD(8, 73) MCD(8, 9) 3 Repetimos el proceso 8 ()9+0 Así MCD(8, 9) MCD(0, 9), recordemos que todo número es divisor de 0, así MCD(0, 9) 9 Pues el 9 divide tanto a 0 y a 9 y es el mayor que los divide a ambos 4 Entonces: MCD(366, 73) MCD(8, 73) MCD(8, 9) MCD(0, 9) 9 Filomeno Principio de Inducción Matemática (PIM) El principio de Inducción matemática (PIM) es un método que utiliza para demostrar propiedades (fórmulas) que tiene como parámetro un número natural Podría decirse que el PIM es la propiedad más fundamental de los números naturales: Teorema Supongamos que P (n) es una propiedad que se cumple para el número natural n Entonces el principio de inducción matemática afirma que P(n) es verdad para todos los números naturales n siempre que: a) P() es cierto b) Si P (k) es cierto, entonces también lo es P (k + ) Notemos que la condición b) se limita a afirmar la veracidad de P (k + ) bajo el supuesto de que P (k) es verdad Esto basta para asegurar la veracidad de P (n) para todo n si se cumple la condición a) En efecto, si P () es verdad, se sigue que P () es verdad (aplicando b) al caso particular k ) Ahora, puesto que P () es verdad,se sigue que P (3) es verdad (aplicando b al caso k ) Es evidente que todo número será alcanzado en algún momento mediante una serie de etapas como las que acabamos de mencionar, de manera que P (k) será verdad para todos los valores de k Los siguientes son unos ejemplos de la aplicación del PIM: Consideremos la siguiente forma de sumar los primeros n números naturales como la propiedad P : Demostración n n(n + ) 4

5 (Base de Inducción)Se comprueba para n : Notemos que la propiedad es cierta para n puesto que (+) (Hipótesis de Inducción) Supongamos que la propiedad es cierta para n k, es decir, que: k k(k + ) () (Paso Inductivo) Demostrar que la propiedad es cierta para k + A partir de la hipótesis de inducción, sumando k + en ambos lados de la igualdad obtenemos lo siguiente: k + (k + ) Es decir: k + (k + ) k(k + ) + (k + ) k(k + ) (k + ) +, multiplicando por k(k + ) (k + ) + k(k + ) + (k + ) (k + )(k + ), factorizando (k + ) (k + )[(k + ) + ] (k + )[(k + ) + ] Lo cual nos dice que (k + ) también satisface la propiedad P Por lo tanto, por el PIM, la propiedad se satisface por todos los números naturales Sea P la propiedad siguiente: Demostración n () (Base de Inducción) La propiedad es cierta para n pues es claro que (Hipótesis de Inducción) Supongamos que se cumple para n k, es decir, que k (Paso Inductivo) Entonces hay que demostrar que la propiedad se cumple para n k + Para esto, notemos que a partir de la Hipótesis de Inducción, podemos obtener lo siguiente: k Pero sabemos que, es decir: k + y Así, por transitividad, tenemos que: k + k +, sumando en ambos lados de la desigualdad De aquí que la propiedad se satisface para n k + Por lo tanto, por el PIM, la propiedad se satisface para todos los números naturales 3 Por último consideremos la siguiente fórmula y, como lo hicimos anteriormente, probaremos que se cumple para todos los números naturales: Demostración [ ] n(n + ) n 3 (3) 5

6 0 Tarea (Base de Inducción)Se comprueba para n : Notemos que la propiedad es cierta para n puesto ] 3 que 3 [ (+) (Hipótesis de Inducción) Supongamos que la propiedad es cierta para n k, es decir, que: [ ] k(k + ) k 3 (4) (Paso Inductivo) Demostrar que la propiedad es cierta para k + A partir de la hipótesis de inducción, sumando k + en ambos lados de la igualdad obtenemos lo siguiente: k 3 + (k + ) 3 Es decir: k 3 + (k + ) 3 [ ] k(k + ) + (k + ) 3 [ ] k(k + ) + (k + )3 k (k + ) + 4(k + ) (k + ) k (k + ) + 4(k + ) (k + ), multiplicando por (k + ) [k + 4(k + )], factorizando (k + ) (k + ) (k + 4k + 4) (k + ) (k + ) [ ] (k + )[(k + ) + ] [ ] (k + )[(k + ) + ] Lo cual nos dice que (k + ) también satisface la propiedad P Por lo tanto, por el PIM, la propiedad se satisface por todos los números naturales Probar por el método de inducción que la siguiente fórmula es cierta: n n(n + )(n + ) 6 6