Enunciados de los problemas (1)

Transcripción

1 Enunciados de los problemas (1) Problema 1. El peso de tres manzanas y dos naranjas es de 255 gramos. El peso de dos manzanas y tres naranjas es de 285 gramos. Si todas las manzanas son del mismo peso y todas las naranjas son del mismo peso, cuánto pesan una manzana y una naranja juntas? Problema 2. Cuando a un barril le falta el 1/3 para llenarse contiene 40 litros más que cuando sólo está lleno hasta 1/3. Cuánto le cabe al barril? Problema 3. Félix acomoda sus revistas en un librero. Todas sus revistas tienen 48 o 52 páginas. Cuál de los siguientes números no puede ser el total de páginas del librero? 500, 524, 568, 588, 620. Problema 4. Totoro tiene 30 pares de calcetines (cada par de color distinto) mezclados en un cajón. Quiere hacer su maleta para una semana, cuál es la menor cantidad de calcetines que tiene que sacar para asegurar que tiene 7 pares de calcetines del mismo color? Problema 5. Manuel eliminó un número de una lista de 10 números consecutivos. La suma de los que queda es Cuál es el número que eliminó? Problema 6. En qué termina? Problema 7. Dos enteros y cumplen que pero ni ni son múltiplos de. Cuánto vale? Problema 8. Mi tío tiene un jardín rectangular. Quiere aumentar el largo en 10% y el ancho en 10%. Qué porcentaje aumenta el área? Problema 9. Cuántos números del 1 al 10,000 son múltiplos de 3 y de 5 pero no de 15?

2 Problema 10. Escribe todos los divisores primos de Problema 11. Un número tiene 2012 dígitos y la suma de sus dígitos es Cuánto vale el producto de los dígitos? Problema 12. Cuántos números primos pueden escribirse como suma de dos primos de más de una manera distinta? Problema 13. es un número de cuatro cifras que empieza y termina en 1. Si le quitas la primera y última cifra, el número que queda es igual a. Cuánto vale N? Problema 14. Dos triángulos equiláteros de perímetro 18cm se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos. Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado adentro de la figura? Problema 15. Demuestra que un número par es la diferencia de dos cuadrados si y sólo si es múltiplo de 4. Soluciones Problema 1. Solución: Vamos a usar la letra para referirnos al peso de una manzana y la letra para el peso de una naranja. Lo que sabemos es que Lo que podemos hacer es comprar primero las tres manzanas y las dos naranjas y luego comprar las dos manzanas y las tres naranjas. Luego, lo que tendríamos es cinco manzanas y cinco naranjas y su peso sería Podemos separar en grupos de una manzana y una naranja y tendríamos que repartir el peso total en cada pareja. De ahí, sabríamos que Es decir, que una manzana y una naranja juntas pesan 108 gramos. Problema 2. Solución: Cuando a un barril le falta para llenarse es porque contiene ya de su capacidad. Entonces, si la diferencia cuando contiene a cuando contiene son 40 litros, es porque cada tercio es de 40 litros. Al barril le caben tres tercios, es decir, 120 litros. Problema 3. Solución: Tanto 48 como 52 son múltiplos de 4, por lo que el total de páginas del librero debe ser también múltiplo de 4. Todos los números de la lista son múltiplos de 4 así que esto no ayuda mucho.

3 Ahora, como Luego, Luego, También,, el librero sí puede tener 500 páginas., por lo que también puede tener 568 páginas., que también se puede., que también se puede. Así, por eliminación, el número que no se puede es 524. Problema 4. Solución: En este tipo de problemas, hay que imaginar que Totoro tiene la peor de las suertes posibles. Es decir, mientras que sí es posible que los primeros dos calcetines que saque sean del mismo color, eso es exageradamente poco probable. Entonces, con la peor de las suertes, podría pasar que saque 30 calcetines y no pueda formar ningún par. Esto es posible porque hay 30 pares distintos. Sin embargo, el siguiente calcetín que saque tiene que formar un par. El que sigue también, el que sigue también. Luego, tiene que sacar 37 calcetines para asegurar que tiene 7 pares distintos. Problema 5. Solución. Primero, escribimos 10 números consecutivos: Ahora, sin importar cuáles tomemos, la suma va a darnos algo como donde depende de los números que tomemos, y es de la forma donde es el número que no tomamos. Lo que sabemos es que de donde y, como es un entero, es un múltiplo de 9. Podemos hacer todos los casos o, también, veamos que deja residuo al dividir entre -esto lo podemos saber simplemente sumando los dígitos. Para que el residuo de al dividir entre 9 sea 0, entonces también deja residuo 8 al dividir entre 9. Esto es, de modo que así que el primero número es el 218 y el número que tachó es el

4 Problema 6. Solución: Veamos que Luego, como y sólo la última cifra afecta el producto, tenemos que termina en lo mismo que termine que es. Problema 7. Solución: Veamos rápido que Para que los divisores no sean múltiplos de 10, no pueden tener un 5 y un 2 juntos, porque si los multiplicamos se convierte en 10. Entonces, tenemos que tener los 5 de un lado y los 2 del otro. Así, la única opción es que o en el otro orden, no importa. En cualquier caso, el resultado es Problema 8. Solución: La fórmula para el área de un rectángulo es donde es la base y es la altura. Si cada una de esas dimensiones aumenta en un 10%, entonces el rectángulo ahora mide 110% de cada lado o, lo que es lo mismo, y. Entonces, la nueva área es original. o, lo que es lo mismo, 21% más que el área Problema 9. Solución: En teoría de conjuntos, hay una propiedad muy bonita que usamos en problemas que se llaman de inclusión-exclusión. En resumen, si tenemos dos conjuntos y y conocemos la cardinalidad la cantidad de elementos- de cada conjunto y la cardinalidad de la intersección la cantidad de elementos que pertenecen a ambos conjuntos- entonces podemos conocer la cardinalidad de la unión, haciendo En general, conociendo tres de estos números, podemos conocer el tercero. Los números que son múltiplos de 15 son los que son, a la vez, múltiplos de 3 y de 5; es decir, aquellos que están en la intersección de los conjuntos múltiplo de 3 y múltiplo de 5. Como lo que queremos contar es múltiplos de 3 y múltiplos de 5 pero no múltiplos de 15, entonces a la unión hay que restarle la intersección: Ya nada más nos falta calcular estas cardinalidades. Pero eso es fácil:

5 Cuántos números del 1 al 10,000 son múltiplos de 3? Pues, es decir, el cociente de dividir 10,000 entre 3 nos dice cuál es el múltiplo de 3 más grande que es menor a 10,000 y como estamos contando todos desde el primer múltiplo hasta ese múltiplo, pues tenemos exactamente esa cantidad. Cuántos números del 1 al 10,000 son múltiplos de 5? Siguiendo el mismo razonamiento, son. Cuántos números del 1 al 10,000 son múltiplos de 15? Con el mismo razonamiento, Entonces, volviendo a la fórmula, el número que queremos es Problema 10. Solución: Usando muchas veces la factorización de diferencia de cuadrados, podemos escribir como entonces podemos verificar rápidamente que muchos de estos son primos: son los últimos dos los que ofrecen problemas. Para verificar si son primos, probamos si son divisibles entre cada primo menor que su raíz. Por qué basta con los primos menores que la raíz? Si es compuesto, entonces podemos encontrar enteros tales que. Si ambos fueran mayores a, entonces tendríamos lo que es claramente imposible.

6 Como, basta ver si es divisible entre 3, 5, 7, 11 y 13. Como, no es divisible entre 3; como termina en 7, no es divisible entre 5. Como y, tampoco es divisible entre 7. Luego, como y 11 divide a 220 y a 33 pero no a 4, tampoco es divisible entre 11. Finalmente, como y 13 divide a 260 pero no a 3, tampoco es divisible entre 13. Por lo tanto, 257 es primo. Como, hay muchos más primos qué probar. Por suerte, sabemos que éste es el penúltimo primo de Fermat conocido; así que es primo. Entonces Problema 11. Solución: Si todos sus dígitos fueran 1, su suma sería Entonces, al menos uno de sus dígitos es 0. Luego, no importa cuánto valgan los demás dígitos porque cualquier cosa por 0 es 0. Problema 12. Solución: Después del 2, todos los primos son números impares. Como impar más impar es par, para que la suma de dos primos sea también un primo, uno de ellos debe ser el 2, o de otra manera sería un par que no es primo. Entonces, los que se pueden escribir como suma de dos primos, sólo se pueden escribir de una manera, pues uno de los primos debe ser 2 y el otro sería. Problema 13. Solución: el número de en medio, cuando lo multiplicamos por 21, tiene que terminar en 1; así que ese número también termina en 1. Además, como es de dos dígitos y el producto es de cuatro, el número es a lo más 99 y a lo menos 51. Luego, es a lo menos y, entre 21, lo de en medio es al menos 71. Luego, es al menos y, entre 21, lo de en medio es al menos 82. La única opción posible es 91. Veamos que. Problema 14. Solución: Como los lados quedan paralelos, los pequeños triángulos que quedan afuera del hexágono los picos de la estrella- son también equiláteros. Esto se puede ver de muchas maneras, siempre haciendo una semejanza de triángulos: (1) Como son paralelas, la razón entre los lados es la misma y comparten el ángulo entre ellos y usamos el criterio LAL, (2) Como son paralelas, los ángulos son iguales y usamos el criterio AAA.

7 Esto es cierto para todo triángulo. En particular, como el triángulo mayor sabemos que es equilátero y el otro sabemos que es semejante, también es equilátero. (En este caso en particular podemos ver que es equilátero nada más por los ángulos que son todos iguales, sin necesidad de llegar a la semejanza. Luego, usando que todos los lados son iguales, obtenemos: Donde vemos que tres lados del hexágono miden lo mismo que un lado de uno de los triángulos grandes. Como cada lado de los triángulos grandes mide 6, el perímetro del hexágono mide el doble. Es decir, el perímetro del hexágono es 12. Problema 15. Solución: En los problemas de si y sólo si normalmente hay que demostrar dos cosas: en este caso, primero suponer cierto que es un par diferencia de cuadrados para demostrar que es un múltiplo de cuatro, luego suponer que es un múltiplo de cuatro para llegar a que puede ser una diferencia de cuadrados.

8 Supongamos primero que el número es un par que es diferencia de cuadrados; queremos demostrar que es múltiplo de 4. Podemos separar los números según el residuo que dejan cuando los dividimos entre 4: sólo hay 4 residuos distintos, 0, 1, 2 y 3. Entonces, podemos decir que todos los enteros son de alguna de las siguientes formas: es decir, un múltiplo de 4 más un residuo. Con esta información, vamos a investigar qué residuo dejan los eneros al cuadrado cuando se dividen entre 4. Recordemos que esas cuatro formas que dimos antes representan a todos los enteros. Es decir, todos los cuadrados de enteros dejan residuo 0 o 1. Con estos números, sólo hay dos maneras de obtener un par como diferencia: En ambos casos, el residuo es 0; es decir, el número es divisible entre 4. Ahora, tomemos un múltiplo de 4, digamos diferencia sea exactamente.. Queremos encontrar dos cuadrados tales que su Proponemos los números y : Esto concluye la demostración.