Matemáticas CENAFE MATEMÁTICAS 1 EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

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1 EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10 El Sistema Métrico, es decir, nuestro sistema de medir y pesar es muy sencillo. Las tres unidades del Sistema Métrico son: metro, gramo y litro. Para hacer las cosas más fáciles, en el momento de mediciones cuando los objetos son muy grandes recurrimos a los múltiplos del metro, gramo y litro. Es importante que sepas de memoria el valor de los prefijos más utilizados: 1. UNIDAD DE LONGITUD La unidad es el metro. Imagina que te mandan medir la longitud de una valla. Si tienes una regla que tiene 1 metro, sería muy incómodo medir toda la longitud del vallado. Para evitar estos inconvenientes existen los múltiplos del metro. Con una cinta de 1 decámetro la medición la haríamos de un modo más cómodo. Lo mismo sucede cuando tenemos que medir distancias muy pequeñas. Utilizamos en estos casos los submúltiplos del metro. Los cuadros de medidas que tienes a continuación debes saberlos de memoria perfectamente. MATEMÁTICAS 1

2 Habrás observado que para pasar de una medida superior a otra inferior la multiplicamos por 10. Para pasar de una medida inferior a otra superior la dividimos por 10. Medir una longitud es compararla con otra que nos sirve de unidad (casi siempre el metro). Al contar el número de veces que la primera contiene a la segunda, obtenemos el número de metros que tiene la primera longitud LOS MÚLTIPLOS DEL METRO. Para pasar de Dm a m basta dividir por diez. Ejemplo: 4 Dm = 40 m Para pasar de Hm a m multiplicamos por 10 (Dm) y por 10 (Hm), es decir, por 10 2, o por 100. Ejemplo: 5 Hm = 500 m. Para pasar de Km a m multiplico por 10 (Dm), por 10 (Hm) y por 10 (Km), es decir, por 103 o por Ejemplo: 7 Km = 7000 m. Para pasar de Mm a m dividimos por 10 (Dm), por 10 (Hm), por 10 (Km) y por 10 (Km), es decir, por 10 4 o por Ejemplo: 8 Mm= m. En el caso de tener que pasar de m a Dm basta multiplicar por diez. MATEMÁTICAS 2

3 Ejemplo: 2 m = 0,2 Dm. Para pasar de m a Hm dividimos por 10 (hasta Dm) y por 10 (hasta Hm), es decir, por 10 2, o por 100. Ejemplo: 5 m = 0,05 Hm. Para pasar de m a Mm multiplicamos por 10(hasta Dm), por 10 (hasta Hm), por 10 hasta Km y por 10 hasta Mm), es decir, por 10 4 o por Ejemplo: 6 m = 0,0006 Mm. Como ves para todos los pasos hacemos uso del diez de ahí que a este sistema le llamamos decimal. Ejercicios Cuántos metros hay en 5 Km? Respuesta: 5000 metros Solución: Kilo significa Kilómetro significa 1000 metros. En 5 Km habrá 5X1000 = 5000 metros. Cuántos metros hay en 12 Mm y 8 Hm? Respuesta: metros Solución: Cuántos metros hay en 3 Km y 12 Dm? Respuesta: 3120 m MATEMÁTICAS 3

4 Cuántos metros hay en 0,5 Hm? Respuesta: 50 m Solución: Como 1 Hm son 100 metros, 0,5 Hm que es la mitad de 1 Hm equivaldrá a 50 metros. De otro modo más sencillo. Los hectómetros por 100 transformamos en metros: Cuántos metros hay en 0,025 Mm? Respuesta: 250 m Solución: A los Mm le multiplicamos por para convertirlos en metros: Cuántos metros son 12 dm? Respuesta: 1,2 m Cuántos metros son 12 dm y 87 cm? Respuesta: 2,07 m Solución: 2. MEDIDAS DE CAPACIDAD Las unidades de capacidad o unidades que son capaces de contener líquidos, sólidos granulares o gases son: MATEMÁTICAS 4

5 Habrás notado que funcionan como las medidas de longitud. Para pasar de una unidad a la siguiente inferior multiplicamos por 10. Para pasar de una unidad inferior a la siguiente superior dividimos por 10. Ejercicios Cuántos litros hay en un Hl? Respuesta: 100 litros Cuántos Dl son 5 dl? Respuesta: 0,05 Dl Cuántos Kl son 5 ml? Respuesta: 0, Kl Son correctas las igualdades: 103 ml = 102 cl = 101 dl = 1 litro? Respuesta: Sí. 3. MEDIDAS DE PESO En las medidas de peso podemos utilizar el kilogramo y el gramo como unidades. También podemos considerar al gramo como un submúltiplo del kilogramo (1000 gramos). Para pasar de una unidad superior a la siguiente inferior multiplicamos por 10. Para pasar de una unidad inferior a la siguiente superior, dividimos por 10. MATEMÁTICAS 5

6 En el cuadro de las unidades introducimos 2 medidas de mucho uso como son la Tonelada Métrica y el Quintal métrico, ambos toman como unidad al Kilogramo. Ejercicios Cuántos gramos son 0,5 mg? Respuesta: 0,0005 g 7.32 Cuántos kilogramos son 12,5 cg? Respuesta: 0, Kg 7.33 Cuántos gramos son 4 Qm? Respuesta: g 4. MEDIDAS DE SUPERFICIE. Hasta ahora hemos estudiado las medidas de longitud, es decir, en una sola dirección. Ahora vamos estudiar medidas de superficie. Necesitamos dos dimensiones: Largo y ancho. Para hallar la superficie de una pared, del suelo, de un campo, etc., necesitamos saber su longitud y su anchura. El producto de ambas medidas nos da la superficie. Para saber la superficie del campo de fútbol que tienes a la izquierda tienes que multiplicar 90x60 = 5400 metros cuadrados Hemos multiplicado el largo (90 m) por el ancho (60 m). La unidad es el el exponente te indica el número de mediciones que hemos hecho, en este caso, dos; una, para saber lo que mide de largo y la segunda medición para saber la anchura). MATEMÁTICAS 6

7 En las medidas de superficie para pasar de decámetros cuadrados a metros cuadrados el factor 10 lo usamos una vez para la longitud y otra para la anchura, es decir, se nos convierte en 100 (10x10) tanto como factor como divisor. Para pasar de una medida superior a otra inferior la multiplicamos por 100. Para pasar de una medida inferior a otra superior la dividimos por 100. Cálculos en superficies: Para saber el número de árboles que tengo en la figura de la derecha (se supone que lo miro desde cierta altura), primero cuento los que tengo en una fila y veo que son 4 árboles. Ahora cuento los que tengo en una columna y veo que hay 5. MATEMÁTICAS 7

8 Para saber el total de los árboles multiplico: 4x5= 20 árboles Matemáticas CENAFE Lo mismo sucede para saber la superficie de un terreno, la superficie de una habitación. Calculo cuántos metros tengo de largo y cuántos de ancho. En lugar de árboles, son metros, hago lo del ejemplo anterior, es decir, multiplico el largo por el ancho y de este modo averiguo la superficie o los metros cuadrados de la habitación o del terreno, etc. Ejercicios Imagina que tu habitación tiene 2 paredes de 3 metros de largo y una altura de 2,40 metros; otras dos tienen la misma altura y 2,80 metros de largo cada una. Cuántos euros tengo que pagar por pintarla si me cobran 4 /m2? Respuesta: 111,36 Solución: La longitud de las cuatro paredes es: ,80 + 2,80 = 11,6 m Como la altura es la misma para las cuatro pareces. La superficie total será: 11,6 x 2,4 = 27,84 m2 El importe a pagar será: 27,84 x 4 = 111,36 Cuántos Km2 son 12 dm2? Respuesta: 0, Km2 Un campo de 80 metros de largo por 120 metros de ancho Cuántas áreas son? Respuesta: 96 áreas 7.16 Cuántos Km2 son 3 cm2? Respuesta: 0, cm2 Solución: 3 cm2 son 0,03 dm2. Cada vez que paso a una unidad superior añado dos ceros detrás de la coma: 0,03 dm2 son: 0,0003 m2 0,0003 m2 equivalen a 0, Dm2 0, Dm2 equivalen a 0, Hm2 0, Hm2 equivalen a 0, Km2 MATEMÁTICAS 8

9 En una huerta hay 35 plantas de tomate por cada fila y 60 en cada columna. Si de cada planta se esperan obtener 6 kilos de tomates Cuántos kilos de tomates recogeremos? Cuántos euros calculamos obtener por la venta de todos los tomates a un precio de 0,45 /kilo? Respuestas: kilos; 5670 euros Solución: Calculamos el número de plantas: 35x60 = 2100 plantas Kilos que podemos obtener: 2100x6 = Kilos La venta alcanzará: x0,45 = MEDIDAS DE VOLUMEN. Hasta ahora hemos estudiado las medidas de longitud y superficie. En las medidas de longitud la unidad es el metro. En las medidas de superficie la unidad es el metro cuadrado En las medidas de volumen la unidad es el metro cúbico En este caso hemos de multiplicar además del largo por el ancho, por la altura. Queremos saber el volumen que tiene el cajón de la derecha. De largo mide 6 metros, 2 de ancho 3 de altura. Multiplicamos las 3 medidas y tendremos que el volumen de la caja es de: 6x3x2 = 36 m3. A QUE LLAMAMOS VOLUMEN? Llamamos volumen al lugar que un cuerpo ocupa en el espacio. Cuanto más grande sea un objeto, más espacio ocupa. De las dos cajas que tienes arriba, la verde tiene más volumen o lo que es lo mismo ocupa más sitio en el espacio que la caja amarilla. MATEMÁTICAS 9

10 Si estas cajas estuviesen vacías en la de mayor volumen se podría almacenar mayor cantidad de agua. Aprende correctamente el cuadro que tienes a continuación: En las medidas de volumen para pasar de decámetros cúbicos a metros cúbicos, el factor 10 lo usamos una vez para la longitud, otra para la anchura y la tercera para la altura, es decir, se nos convierte en 1000 (10x10x10) tanto como factor como divisor. Para pasar de una medida superior a la siguiente inferior la multiplicamos por Para pasar de una medida inferior a la siguiente superior la dividimos por Una caja con una longitud de 1 metro, 1 metro de ancho y 1 metro de alto tiene un volumen de 1 m3. Cuántas cajas de 1 dm de largo, 1 dm de ancho y 1 dm de alto, es decir, un volumen de 1 dm3 puede contener? Exactamente 1000 cajas de 1 dm3. MATEMÁTICAS 10

11 Tienes un dibujo en el que puedes comprobar. Cuenta el número de las cajas pequeñas. Es muy fácil: cuenta las que tienes a lo largo, a lo ancho y a lo alto y multiplicas los tres números que has obtenido al contar y será el resultado: Ejercicios Escribe 1 m3 en cm3: Respuesta: cm Cuántos mm3 son 1 dm3? Respuesta: 0, mm3 Cuántos m3 son 10 Hm3? Respuesta: m3 Cuántos Hm3 son 10 m3? Respuesta: 0, Hm Cuántos m3 hay en 5 mm3? Respuesta: 0, m3 Solución: Primero escribimos 0, Pasamos a cm3 0,000 Pasamos a dm3 0, Pasamos a m3 0, Cuántos Km3 son 300 m3? Respuesta: 0, Km3 Cuántos Hm3 son 2 mm3? Respuesta: 0, Hm3 MATEMÁTICAS 11

12 Relación entre volumen y capacidad Cuando hablamos de capacidad nos referimos a objetos que pueden contener, guardar o conservar líquidos, gases y sólidos, especialmente granulares (granular procede de grano- el trigo, el arroz, arena, etc.). A estos objetos llamamos recipientes. Dentro de esta relación entre volumen y capacidad es muy importante la que existe entre el litro y el decímetro cúbico: En un recipiente de forma de cubo que tenga 1 dm de largo, 1 dm de alto y 1 dm de ancho cabe 1 litro de agua. En un recipiente que tiene 1 m de largo, 1 m de ancho y una altura de 1 m cuántos litros caben? Respuesta: 1000 litros Solución: Con las medidas del recipiente vemos que se trata de un cubo que tiene un volumen de 1 m3. 1 m3 = 1000 dm3 y como en un dm3 cabe 1 litro, en 1000 dm3 entrarán 1000 litros. Grandes recipientes: Los embalses, pozas, albercas y pantanos son grandes recipientes donde se almacena el agua. Antes de que un pantano se llene de agua, los técnicos calculan el volumen de agua que puede contener. Una vez lleno de agua y gracias a que sabemos que en un dm3 cabe 1 litro, a partir de aquí, el cálculo es muy sencillo. Cuando escuchamos las noticias referidas a cantidades de agua embalsada en los pantanos, al agua que un río deposita en el mar al cabo de un año, etc., generalmente la expresamos en Hm3. Cuántos litros de agua caben en un embalse cuyo volumen de capacidad es de 100 Hm3? Respuesta: litros MATEMÁTICAS 12

13 Relación entre capacidad, volumen y peso: Un camión pesa 10 Tm vacío. Transporta un recipiente de 30 m3 y está lleno lleno de agua. Si el recipiente vacío pesa 2 Tm cuántos kilos mueve el motor? Respuesta: Kg Solución: Peso del camión vacío Kg Volumen de agua: dm3 Peso del agua Kg Peso del recipiente vacío Kg Peso total Kg Calcula los de 45 metros y exprésalos en centímetros. Respuesta: 2700 cm Calcula en dm la diferencia de las longitudes de dos alambres: Primer alambre mide 6 Dm, 8 dm: Segundo alambre mide 3 m, 9 cm Respuesta: 577,1 dm Multiplica 4 Ha y 12 áreas por 8 y el resultado lo expresas en metros cuadrados: Respuesta: m2 Solución: 4 Ha equivalen a 4x10000 = m2 12 áreas equivalen a 12x100 = 1200 m2 Total m2 A este valor multiplicamos por 8 que es lo que nos pide el problema: 41200x8 = m2 Multiplica 4 Dm, 3 m y 6 dm por 4m y 8 dm. Respuesta: dm2 Solución: Dm, 3 m y 6 dm pasamos a dm: 4 Dm dm 3 m dm 6 dm... 6 dm El primer factor vale dm 2.- 4m y 8 dm pasamos a dm: 4 m 40 dm 8 MATEMÁTICAS 13

14 dm.. 8 dm El segundo factor vale dm Multiplicamos ambas medidas 436 dmx48 dm = dm2 CUIDADO!!! Si multiplicas 6 m por 5 m el producto de las cifras es 30 pero el producto de mxm = m2 (si las bases que multiplicamos son iguales, se suman los exponentes). Además, una de las medidas puedes considerarla como longitud y la otra como anchura, al multiplicarlas calculas su superficie y ya sabes que las respuestas se dan con exponente dos (se tratan de medidas de superficie). En resumen: MATEMÁTICAS 14