Introducción a la Teoría de Números

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de Números La Teoría de Números es un área de las matemáticas que se encarga de los números primos, factorizaciones, de qué números son múltiplos de otros, etc. Aunque se inventó nada más por gusto, ahora es una de las áreas más aplicadas dentro de las matemáticas, principalmente por la criptografía. La criptografía es la ciencia (y el arte) de enviar mensajes de un lado a otro de modo que si alguien intercepta los mensajes no los pueda entender. Obviamente se utiliza en todos lados, para asuntos de seguridad. Cada vez que compras algo por internet, o pones tu contraseña en tu correo, estás utilizando la teoría de números. También sirve para hacer trucos de magia. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

2 Divisibilidad Todos entendemos el concepto de que un número sea múltiplo de otro, o que un número divida a otro. Por ejemplo, 12 es múltiplo de 3, pero 17 no lo es. O el concepto de los números pares o números impares. El otro punto de vista de ser múltiplo de es el de divide a. Por ejemplo, 3 12, pero Quiere decir que si intento la división de 12 entre 3, me queda un entero, pero si intento 17 entre 3, no me queda entero. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

3 Divisibilidad: Definición formal Definición Sean a, b Z. Decimos que a divide a b y escribimos a b si existe x Z tal que ax = b. 5 25? Sí 5 17? No 1 378? Sí 4 1? No 0 12? No 17 17? Sí 0 0? Sí María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

4 Propiedades Básicas Para cualquier a, a 0 y 1 a a a y a a para cualquier a Si a b, entonces a b Si a b y a c, entonces a b + c Si a b y b c, entonces a c Si a b, entonces a bc para cualquier c Si a b, entonces a b Si a b, entonces a b María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

5 Primos Un número es primo si es positivo y tiene exactamente 4 divisores: el 1, el -1, él mismo, y su negativo. Por ejemplo, el 1 no es primo. Los primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Otra manera de definir que un número p es primo si no se puede escribir como p = ab con a y b distintos de 1 y -1. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

6 Teorema Fundamental de la Aritmética Teorema (Fundamental de la Aritmética) Todo número entero distinto de 0 se puede descomponer de manera única* como producto de primos. * Por única, se entiende que dos son iguales si son la misma pero en otro orden. La prueba del teorema tiene dos partes: 1 Todo número 0 se puede descomponer como producto de primos. 2 La descomposición es única. Vamos a ver la primera ahorita y otro día la otra, porque necesitamos un poco más de teoría. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

7 TFA Todos vemos en la prepa cómo descomponer en primos. Por ejemplo, 15 = 3 5, y 120 = Mucha de la criptografía está basada en que factorizar números grandotes es difícil para una computadora. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

8 TFA: Prueba de lo primero Es fácil ver que todo número de puede factorizar como primos, si vemos la definición de factorizar y la de primo. Sea n un número entero cualquiera (diferente de 0). Hay dos casos: 1 Si n es primo, pues ya está factorizado como producto de primos. 2 Si no, entonces quiere decir que n = ab con a y b son más chicos que n. Inducción... O simplemente seguimos: Hay dos casos: a es primo, o no lo es. Si lo es, pues ya. Si no, pues lo factorizamos. etc. Igual con b. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

9 Ejercicios Fáciles Encuentra la descomposición en primos del número 666, del 1200 y del 145. Supón que un número es divisible por 3 y por 2. Es divisible por 6? Supón que un número es divisible por p y por q, con p y q primos distintos. Entonces es divisible por pq. Verdadero o Falso: Si n es divisible por a y por b, entonces es divisible por ab. FALSO!!!!! 12 es divisible por 4 y por 6, pero no es divisible por 24! María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

10 Ejercicio Ejercicio El producto de 3 enteros mayores que 1 y distintos entre sí es 100. Cuáles son esos 3 números? 100 = Debemos repartir los 4 primos (2,2,5,5) en tres. No puede haber dos iguales, porque dice que deben ser distintos entre sí. Entonces el 2, el 5 y el 10 es la única respuesta. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

11 Algoritmo de la División Todos aprendimos a hacer divisiones en primaria. Siempre te queda un valor, y un residuo. Por ejemplo, si divido 17 entre 3, me queda a 5 y me sobran 2. Teorema Para cualesquiera a y b enteros con b 0, tenemos que existen q y r con 0 r < b tales que a = bq + r Es decir, siempre podemos efectuar la división entre a y b y nos quedará un resultado q y un residuo r, pero que el residuo sea más pequeño que b (porque si no lo es, pues podemos dividirlo más!). María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

12 Algoritmo de la División: Ejemplos 18 = = = = 7 ( 2) = 5 (4) + 0 aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

13 Combinaciones Lineales Definición Sean a y b dos números enteros. Una combinación lineal de a y b es un número c para el cual existe una pareja de números (x, y) de modo que c = ax + by Por ejemplo, 17 sí es combinación lineal de 5 y 2, pues 17 = Preguntas: Es c combinación lineal de a y b? a = 1, b = 1, c = 5 Sí. a = 6, b = 4, c = 16 Sí. a = 0, b = 0, c = 28 No. a = 8, b = 6, c = 7 No. a = 7, b = 5, c = 8 Sí. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

14 Combinaciones Lineales P: Cuándo puedo poner un número como combinación lineal de otros dos? No es trivial. Para contestar esto, primero veremos otros conceptos. Una observación sencilla es que si d a y d b, para que c pueda ser combinación lineal de a y b, a fuerzas d c. La respuesta es que se puede poner sí y solo si el máximo común divisor de a y b divide a c. = es muy fácil, por la observación anterior. Falta ver que si mcd(a, b) c, entonces existen x y y tales que c = ax + by. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

15 Máximo Común Divisor Si a y b son números enteros, el máximo común divisor de a y b es el mayor número que divide a ambos. Por ejemplo, si a = 10, y b = 15, entonces su máximo común divisor es 5. Se escribe mcd(a, b). Por ejemplo, mcd(1, a) = 1. Y mcd(0, a) = a siempre que a no sea 0. El máximo común divisor de 0 y 0 no está definido. Si alguien es divisor de a y de b, entonces es divisor del máximo común divisor. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

16 Cómo encontrar el máximo común divisor de dos números? Una manera de encontrar el máximo común divisor de dos números es factorizar a ambos, y poner la mínima potencia de cada primo que encuentres. Por ejemplo, mcd( , ) = Ejercicio: Calcula el máximo común divisor de 138 y 243. Ejercicio: Si a b, y ambos son positivos, cuánto vale mcd(a, b)? Ejercicio: Si d = mcd(a, b), entonces mcd( a d, b d ) = 1. Ejercicio: Define máximo común divisor de 3 o más números. Definición: Dos números a y b son primos relativos si su máximo común divisor es 1. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

17 Algoritmo para encontrar el máximo común divisor Hay un algoritmo mucho, mucho más rápido para encontrar el máximo común divisor de dos números. El problema es que factorizar es muy lento. La idea principal del algoritmo es que mcd(a, b) = mcd(a, b a). Por qué es cierto esto? En realidad podemos hacer eso muchas veces y concluir que: mcd(a, b) = mcd(a, r) si r es el residuo de dividir b entre a. Es claro, simplemente restando a repetidamente de b. Ahora, como r < a, podemos repetir eso, hasta que nos quede un 0. Cuando tengamos un 0, ya terminamos, ese número es el máximo común divisor! Ejemplo con a = 3185, b = María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

18 Mínimo común múltiplo Problema Hoy, Ana, Beto y Carlos fueron al gimnasio. Ana va al gimnasio cada 6 días. Beto va al gimnasio cada 8 días y Carlos va al gimnasio cada 15 días. Dentro de cuánto tiempo se volverán a encontrar los 3 en el gimnasio? Respuesta: Ana irá en los días: 6,12,18,24,30,... Beto irá en los días 8,16,24,... y Carlos en los días 15,30,45,... Finalmente, todos se reecontrarán en el número más chico que sea múltiplo de 6, 8 y 15, que es 60. aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

19 Mínimo común múltiplo Definición El mínimo común múltiplo de dos números a y b, escrito como mcm(a, b) es el mínimo número mayor que 0 que sea múltiplo de a y también sea múltiplo de b. mcm(10, 15) = 30 mcm(a, a) = a mcm(a, 1) = a Si a b, entonces mcm(a, b) = b El mínimo común múltiplo siempre es menor que el producto de los números. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

20 Mínimo común múltiplo: Propiedades Para sacar el mínimo común múltiplo, factorizas en primos y luego tomas las potencias más... grandes. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de y es Problema: Cómo escribes el mínimo común múltiplo en términos de a, b y d = mcd(a, b)? mcm(a, b) = ab d María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

21 Congruencias Todas estas sumas están bien: = 8, = 4, = 3, = 5, 2 3 = 11, = 0. Simplemente las sumas las estoy haciendo en un reloj: aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

22 Congruencias La idea detrás de las congruencias es la misma, pero no sólo con 12. Por ejemplo, la paridad de los números, que mide si los números son múltiplos de 2 o no, y que impar + impar = par, y etc, es congruencias módulo 2. Si te digo: Hoy es Miércoles. Qué día de la semana será en 1000 días?, para responder, debes hacer congruencias módulo 7. Es decir, debemos dividir 1000 entre 7, y fijarnos en el residuo. Después le sumamos ese número al miércoles para ver qué día es. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

23 Congruencias: Definición formal Definición Decimos que a es congruente a b módulo n y escribimos a b (mod n) o simplemente a n b si n a b. Equivalentemente, si a y b dejan el mismo residuo al dividirlos entre n. Por ejemplo: María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

24 El operador módulo En python, y en muchos otros lenguajes de programación, el operador % es el operador módulo. Por ejemplo, si escribo 7 %4 me da como resultado 3. Es el residuo que resulta de dividir 7 entre 4. Me da un número entre 0 y 3 (en general, si escribo x %n me da entre 0 y n) María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

25 Congruencias: Tabla Podemos hacer una tabla para obtener congruencias: María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

26 Congruencias: Propiedades a n 0 si y solo si n a. a n a. a n b = a + c n b + c. Si a n b y c n d, entonces a + c n b + d. a n b = ac n bc para cualquier c. Nota: No necesariamente al revés! Es decir, , pero María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

27 Ejercicios de Congruencias Escribe 10 números congruentes con 2 módulo 7. Si 45 n 56, encuentra los posibles valores de n. En la división de 999 entre n, donde n es un entero de dos cifras, el residuo es 3. Cuál es el residuo de la división de 2001 entre n? Cuál es la última cifra de ? aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

28 Criterios de Divisibilidad Truco! Un número es divisible por: 2: Si el número es par. Si su última cifra lo es. 3: Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3 4: Si el número formado por las últimas 2 cifras lo es. 5: Si su última cifra es 0 o 5. 6: Si es divisible por 2 y 3. 8: Si el número formado por las últimas 3 cifras lo es. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10: Si termina en 0. 11: Tomamos la diferencia de las cifras pares menos las impares. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

29 Por qué? Hay que analizar las potencias de 10 módulo el número. Para 2, 4 y 8, a partir de uno de ellos ya todos son 0. Para 3 y 9, Para 10, a partir de 10 1 ya es 0. Para 11, los residuos van 1, -1, 1, -1, etc. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

30 Dividir en congruencias? Habíamos visto que en congruencias se podía multiplicar, sumar y restar. Pero que no siempre se podía dividir. P: Cuándo se puede? R: Cuando son primos relativos. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

31 Ejemplo Ejercicio Encuentra un número entero x tal que 3x 7 2 Solución: Si multiplicamos la ecuación por 5, nos queda: 5 3x x 7 10 x 7 3 Por qué multiplicamos por 5? Pues precisamente porque Es porque 5 es el inverso de 3 (módulo 7). María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

32 Inverso: Definición Definición Dados enteros primos relativos a y n, decimos que b es el inverso de a módulo n (y escribimos b n 1 a ) si a b n 1. Ejemplos: Encuentra el inverso de a módulo n para las siguientes: n = 7, a = 2, = 1 a = 4 n = 20, a = 7, = 1 a = 3 n = 10, a = 1, = 1 a = 1 n = 1712, a = 1711, = 1 a = 1 n = 6, a = 2, No tiene inverso! María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

33 Ecuaciones Lineales Encuentra todas las x tales que: 5x x x 2 0 8x x 10 8 María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

34 Problema encontrar a y b Problema Encuentra todas las parejas de enteros a y b tales que ab 3a 2b = 6. Solución: Súmale 6 a la ecuación para que quede ab 3a 2b + 6 = 12. Entonces el lado izquierdo se puede factorizar y queda: (a 2)(b 3) = 12. Entonces a 2 y b 3 son divisores de 12 y las posibilidades son: a 2 {1, 2, 3, 4, 6, 12}, así que a {3, 4, 5, 6, 8, 14}. Por lo tanto las parejas (a, b) que cumplen son: (3,15), (4,9), (5,7), (6,6), (8,5), (14,4). aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

35 Problema cifras iguales Problema Encontrar un número entero positivo a tal que a + 2a + 3a a es un número con todas sus cifras iguales. Solución: a + 2a a = 45a. Así que la suma es un múltiplo de 5 y de 9. Pero si tiene todas sus cifras iguales, la cifra entonces debe ser 5 (o 0, pero eso es imposible). Para que sea múltiplo de 9, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 9: debe tener nueve 5 s. a = 555, 555, 555/45 = aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

36 Raiz cuadrada Problema Demostrar que 2 no es un número racional (Sugerencia: supón que lo es, y llega a una contradicción). Solución: Supongamos que 2 = a b con a y b enteros y que a y b son primos relativos. Elevamos al cuadrado: 2 = a2 b 2. Pero entonces b 2 a 2, y por lo tanto a b. Contradicción! María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

37 Hay una infinidad de números primos Problema Demostrar que el conjunto de los números primos es infinito. Solución: Supongamos que no lo fuera y supongamos que TODOS los primos son estos: p 1, p 2, p 3,..., p n. Tomamos a = p 1 p 2...p n + 1. Pero entonces p i a para ninguna i. Así que en la factorización de a, debe haber por lo menos un primo nuevo! Contradicción! María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

38 Problema Naranjas Problema Doña Rodriga tiene n naranjas. Sabe que tiene entre 10 y 100 naranjas. Si reparte sus naranjas en montones de 4, le sobra 1. Si reparte sus naranjas en montones de 5, le sobra 1, y si reparte sus naranjas en montones de 6, le sobra 1. Cuántas naranjas tiene Doña Rodriga? Solución: Tenemos las siguientes congruencias: n 4 1 n 5 1 n 6 1 Eso quiere decir que n 1 es un múltiplo de 4, 5 y 6. Así que lo mínimo que puede ser es el mínimo común múltiplo, que es 60. Así que n 1(mod 60), y por lo tanto, como n < 100, n = 61. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

39 Focos Problema Supón que tienes 100, 000 focos numerados del 1 al 100,000 y están todos apagados. Después, haces las siguientes operaciones: Cambias de posición todos Cambias de posición todos los pares Cambias de posición todos los múltiplos de 3 Cambias de posición todos los múltiplos de 4 Etcétera. Al final, qué focos quedan prendidos? Solución: Los focos que quedan prendidos son los que se cambian de posición un número impar de veces. Es decir, los focos que tienen una cantidad impar de divisores. Son: 1,4,9,16,... Es decir, los cuadrados perfectos. Cada divisor d de n tiene a su pareja n/d, entonces hay una cantidad impar sólo cuando existe un divisor tal que d = n/d, o sea, d 2 = n. María Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20

40 Problema Problema Si n = p a 1 1 pa par r donde los p i son primos, cuántos divisores tiene n? Solución: Para que un número sea divisor de n, su potencia de p 1 debe estar entre 0 y a 1, así que hay a posibilidades para la potencia de p 1. Igual con todas las demás, así que la respuesta es: # de divisores de n = (a 1 + 1)(a 2 + 1)...(a r + 1) aría Luisa Pérez Seguí [email protected] Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20