Clase 4: Congruencias

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1 Clase 4: Congruencias Dr. Daniel A. Jaume * 20 de agosto de Congruencias módulo m En 1801 Gauss, en su libro Disquisitiones Arithmeticae introdujo una notación relacionada con la noción de divisibilidad la cual resulto ser sumamente útil (y ha hecho feliz a generaciones de matemáticos, entre ellos a quien escribe) Definición 1.1 Dos enteros a y b son congruentes módulo m, lo que se escribe a b (mód m) si m a b, o equivalentemente, si b = a+ algún multiplo de m. Por ejemplo 16 1 (mód 5) pues 16 1 = 15, número que es divisible por 5. La siguiente proposición es importante y sencilla de demostrar: Proposición 1.2 a 0 (mód m) sii m a. Ejercicio 1.3 Demostrar la proposición anterior. Ejercicio 1.4 Verifique las siguientes congruencias (mód 9) (mód 9) (mód 9) * Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales, Universidad Nacional de San Luis, Ejército de los Andes 950, 5700 San Luis, Argentina. de la Materia: [email protected] facebook de la Materia: MatDiscreta UNSL twitter: MatDiscreta2011 Biblioteca Digital de la UNSL: http: bd.unsl.edu.ar buscarla como (incluido el acento): Matemática Discreta, 2do cuatrimestre,

2 (mód 5) (mód 5) (mód 5) (mód 931) (mód 11) (mód 11) (mód 13) (mód 11) (mód 11) (mód 13) (mód 6) (mód 6) Dados a y m > 1 enteros, consideremos la siguiente ecuación: x a (mód m) Esta ecuación tiene por solución a todos los números de la forma a+un mútiplo de m:..., a 3m, a 2m, a m, a, a + m, a + 2m, a + 3m,... Usualmente nos referiremos a este conjunto como los congruentes a a módulo m. Por ejemplo los congruentes a 11 módulo 8 son..., 21, 13, 5, 3, 11, 19, 28, 36,... Veamos ahora la relación entre el teorema de la división y la noción de congruencia. Sea m > 1 un entero fijo, por el teorema de la división para todo entero a se cumple que a = mq + r con q, r Z y 0 r < m. Lo que se puede escribir en términos de congruencias como: Proposición 1.5 Sea m > 1 un entero, todo número a es congruente módulo m a exactamente uno de los restos de dividir por m. En símbolos: 1 < m Z, a Z,!r {0, 1,..., m 1} : a r (mód m). Ejercicio 1.6 Demostrar la proposición anterior 2

3 Definamos la función m-resto: r m : Z {0, 1,..., m 1} como la función que a cada entero le asigna su (único) resto de dividirlo por m: r m (a) = r sii a = mq + r Por ejemplo r 12 (20) = 8 pues 20 = via teorema de la división Proposición 1.7 a b (mód m) sii r m (a) = r m (b) Demostración Apliquemos el teorema de la división: a = mq + r m (a) y b = mt + r m (b). Si r m (a) = r m (b) tenemos que a b = m(q t) por lo que a b (mód m). Si a b (mód m), entonces a = b + km por lo que mq + r m (a) = b + km de donde despejamos b = m(q k) + r m (a) y por la unicidad del teorema de la división r m (b) = r m (a). El menor residuo no negativo de a (mód m) es el menor entero no negativo congruente a a (mód m) ( a a módulo m ). Por ejemplo, el menor residuo no negativo de 47 (mód 6) es 5, pues 47 5 (mód 6) (es fácil hallarlo: basta aplicar el teorema de la división a 47 y 6, pues 47 = Ejercicio 1.8 Hallar el menor residuo no negativo de (mód 4) (mód 9) (mód 35) (mód 25) (mód 5) (mód 3) ,233,343,536,373,839 (mód 100) (mód 10) Ejercicio 1.9 Hallar todos los números b, 1972 < b < 2011, los cuales son congruentes a a módulo m, con 1. a = 1, m = a = 1810, m = a = 1982, m = 9 Ejercicio 1.10 Hallar un número a que satisfaga simultáneamente: a 5 (mód 8) y a 3 (mód 7) Ejercicio 1.11 (Contrarecíproco del Teorema de Wilson) Demostrar que si n > 4 y no es primo, entonces (n 1)! 0 (mód n) Ejercicio 1.12 Probar: Si x y (mód m), entonces (x, m) = (y, m). 3

4 2. Propiedades de las congruencias No es casualidad que el símbolo de congruencia se parezca mucho al símbolo igual =. De hecho la congruencia y la igualdad comparten muchas propiedades. Debemos notar para todo a, b Z y para todo m N, si a = b, entonces a b (mód m). La recíproca no es verdadera: 7 10 (mód 3) pero claramente Sin embargo si a y b están además suficientemente cerca congruencia implica igualdad: Proposición 2.1 para todo a, b Z y para todo m N, si a b (mód m) y a b < m, entonces a = b. Ejercicio 2.2 Demostrar la proposión anterior. Teorema 2.3 Sean a, b, c, x, y y k enteros y sean 1 < n N. Entonces 1. Si a b (mód n), y b c (mód n), entonces a c (mód n) 2. Si a b (mód n), entonces ka kb (mód n) 3. Si a b (mód n) y x y (mód n), entonces: a) a + x b + y (mód n) b) ax by (mód n) La primera afirmación del teorema anterior nos dice que la congruencia es una relación transitiva. Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias directas de la defición de congruencia módulo, por lo que sólo presentaremos una. Demostración Si a b (mód n), entonces existe un q Z tal que a = b+qn. Similarmete, si x y (mód n) existe un t Z tal que x = y +tn. Entonces: ax = (b + qn)(y + tn) = by + yqn + btn + qtn 2 = by + un multiplo de n Luego ax by (mód n). Ejercicio 2.4 Reflexividad: Probar que para todo entero a y todo natural n, se cumple que a a (mód n). Ejercicio 2.5 Simetría: Probar que para todo par de enteros a y b se cumple que si a b (mód n) entonces b a (mód n). Corolario 2.6 Probar que si a b (mód n), entonces a k b k (mód n) para todo k N. 4

5 Demostración Por inducción y queda a cargo del el lector :-P Este corolario es de suma utilidad a la hora de hallar el menor residuo no negativo de números muy grandes. El número tiene 42 cifras. Pero como 12 1 (mód 13) tenemos que ( 1) 39 ( 1) 12 (mód 13) Similarmente (mód 19) pues (mód 19) 85 2 ( 10) 2 = (mód 19) = 25 6 (mód 19) = 36 2 (mód 19) ( 2) 2 = 4 (mód 19) = (mód 19) = (85 18 ) (mód 19) Luego como = tenemos que ( 2) 6 ( 10) = 120 = (mód 19) Acabamos de cometer un pecado de abuso de notación al mezclar en un mismo renglón congruencias e igualdades =. Si un pecado, nos permite realizar una exposición más clara y sencilla (sin llevarnos a error), pecaremos. Ejercicio 2.7 Probar que 6 4 n 6 (mód 9), para todo n 0. Ejercicio 2.8 Encontrar el menor residuo no negativo de (mód 7) (mód 13) (mód 12) Ejercicio 2.9 Hallar el menor residuo no negativo de m 10 (mód 11) para cada 1 m 10. Ejercicio 2.10 Demostrar que para todo número impar k, se tiene que 5 k + 6 k 1 (mód 2). Ejercicio 2.11 Demostrar que para cualquier par de enteros a y b, se tiene que (a + b) 2 a 2 + b 2 (mód 2). Generalizar. 5

6 3. Criterios de divisibilidad Ahora usaremos las propiedades de la congruencia módulo para deducir algunos criterios de divisibilidad del estilo todo número términado en 0,2,4,6, u 8 es divisible por 2 o un número es divisible por 3 si la suma se sus dígitos es mútiplo de 3... Nunca de se preguntaron de donde salieron esas reglas?... bueno no importa, igual acá vamos a contarles. Primer truco: Para todo n > 0 tenemos que 10 n 1 (mód 9), pues 10 1 (mód 9) ( Se da cuenta el lector que propiedad de cronguencias estamos usando?). Así, para cualquier número a tenemos que a 10 n a (mód 9). Por ejemplo, 2345 = (mód 9) 5 (mód 9) De hecho, 5 es el resto de dividir 2345 por 9. Así, hemos estavblecido el siguiente criterio de divisibilidad Criterio a sii 9 divide la suma de los dígitos de a. Ejercicio 3.2 Demostrar el criterio del 3. Criterio a sii el último dígito de a es 0, 2, 4, 6, u 8. Demostración Todo el truco esta en observar que 10 n 0 (mód 2) para todo n 1. Asi como a es de la forma a = (a) 10 = a n 10 n + a n 1 + a n 1 10 n a a 0 Tenemos que a a 0 (mód 2). Moraleja: Los criterios de divisibilidad surgen de observar que ocurre con la base (o una potencia de ella) en congruencia módulo el divisor. Si la base (o una potencia de ella) es congruente a 1, 0 o 1 módulo el divisor, tenemos un criterio. Ejercicio 3.4 Demostrar el criterio del 5: un entero es divible por 5 sii su último dígito es 0 o 5. Ejercicio 3.5 Usando que 10 1 (mód 11) demostrar el criterio del 11: un número entero es divisible por 11 si la suma alternada de sus dígitos es múltiplo de 11. Ejercicio 3.6 Usando que 1001 = , formular y probar un criterio de divisibilidad para 7, 11 y 13. 6

7 Ejercicio 3.7 Hallar el mínimo residuo no negativo mód 7, 11 y 13 de: Ejercicio 3.8 Hallar criterios de divisibilidad en base 34 para 2, 3, 5, 7, 11 y Leyes de cancelación y congruencias Hay que ser cuidadoso al cancelar en congruencias: (mód 4) pero 1 3 (mód 4). A continuanción desarrollaremos una serie de resultados que nos permitirán manejar estas situaciones. Proposición 4.1 Si a b (mód n) y d n, entonces a b (mód d). Ejercicio 4.2 Demostrar la proposición anterior. Por ejemplo (mód 6) y como 3 6 tenemos que (mód 2). Proposición 4.3 Si a b (mód n) y a b (mód m), entonces a b (mód [n, m]) y Demostración Si a b (mód n), entonces existe q tal que a b = nq, i.e. a b es un multiplo de n, similarmente si a b (mód m), entonces existe t tal que a b = mt, i.e. a b es un múltiplo de m, y como todo multiplo común de dos enteros es un múltiplo de mcm, tenemos que a b es un mútiplo de [n, m]. Veamos un par de ejemplos de usos de la proposición anterior. Ejemplo 1: Si a b (mód m i ) para i = 1, 2,..., k, entonces a b (mód [m 1, m 2,..., m k ]). Ejemplo 2: demostrar que (mód 341) (1) Como 341 = = [11, 31] tenemos que para demostrar (1) basta con probar que: (mód 11), y, (mód 31) Ahora 2 5 = 32 1 (mód 11) 7

8 Luego Por otro lado Luego Asi que (mód 341) (2 5 ) 68 ( 1) 68 1 (mód 11) 2 5 = 32 1 (mód 31) (2 5 ) 68 (1) 68 1 (mód 31) Proposición 4.4 Sea r un entero no nulo. Si ra rb (mód n), entonces a b (mód m (r,m) ). 10 Por ejemplo: (mód 10), y ya que (10,4) 3 8 (mód 5). Ejercicio 4.5 Demostrar la proposición anterior = 5, tenemos que Los siguientes casos particulares de la proposición anterior son de uso frecuente: Corolario 4.6 Si ra rb (mód rm), entonces a b (mód m). Corolario 4.7 Si ra rb (mód m) y (r, m) = 1, entonces a b (mód m). Ejercicio 4.8 Demostrar y ejemplificar los corolarios anteriores. Ejercicio 4.9 Demostrar que (mód 561) Demostrar que (mód 1729) Ejercicio 4.10 Hallar todos los números a 20 tales que 6a 16 (mód 20). Ejercicio 4.11 Hallar todos los números a 36 tales que 16a 0 (mód 36). 5. Congruencias lineales Ahora vamos a abordar el siguiente problema: hallar todas los valores (enteros) de x para los cuales se verifica que ax b (mód m) (2) donde a, b son enteros dados. La siguiente proposición nos indica cuando (2) tiene solución. Proposición 5.1 La congruencia ax b (mód m) es soluble sii (a, m) b. 8

9 Demostración Estamos buscando números x tales que b = ax+(un mútiplo de m), lo que es equivalente a buscar números enteros x e y tales que b = ax + my, pero por Bezout b = ax + my tiene solución sii (a, m) b. Consideremos ahora algunos ejemplos de congruencias lineales. La congruencia 7x 3 (mód 5) es soluble pues (7, 5) = 1, de hecho la solución es x 4 (mód 5). La congruencia 10x 14 (mód 15) no tiene solución pues (10, 15) = 5 y 14 no es divisible por 5. En cambio la congruencia 10x 14 (mód 18) tiene solución pues (10, 18) = 2 y Para resolverla planteamos es sistema asociado: 10x + 18y = 14 Y usando el algoritmo de Euclides y sustitución regresiva llegamos a que Similarmente la congruencia ( 2) = 14 35x 14 (mód 91) es soluble pues (35, 91) = 7 y 7 ( 14). Por lo que la congruencia anterior es equivalente a 5x 2 (mód 13) cuya soluciones son x 10 (mód 13), i.e., x = 10 + un mútiplo de 91 x = 23 + un mútiplo de 91 x = 36 + un mútiplo de 91 x = 49 + un mútiplo de 91 x = 62 + un mútiplo de 91 x = 75 + un mútiplo de 91 x = 88 + un mútiplo de 91 (3) Proposición 5.2 Si (a, m) = 1, entonces ax 1 (mód m) tiene una única solución módulo m. Demostración La congruencia ax 1 (mód m) es equivalente a la ecuación ax + my = 1. Como (a, m) = 1, por Bezout, existen enteros r, s tales que ar + ms = 1, por lo que x = r es una solución de la congruencia ax 1 (mód m). Para probar que la solución es única módulo m, tenemos que entender que significa la oración anterior. Simplemente significa que si hay otra 9

10 solución esta debe ser congruente módulo m a la anterior. Esto es lo que probaremos: si t es otra solución de ax 1 (mód m), probaremos que r t (mód m). Sean r, t soluciones de ax 1 (mód m). Entonces a(r t) 0 (mód m) Por lo tanto m a(r t) ( Por qué?). Como (a, m) = 1, tenemos que m (r t) ( Por qué?), por lo que r t (mód m) ( Por qué?). La solución r de ax 1 (mód m) es la inversa de a módulo m. Por ejemplo, 27x 1 mód 31 tiene una única solución pues (27, 31) = 1. Por Bezout, = 1, por lo que x 8 (mód 31) es la inversa de 27 módulo 31. Corolario 5.3 Si (a, m) = 1, entonces ax b (mód m) tienen solución para todo entero b. Demostración Ejercicio para el lector (:-p) Ejercicio 5.4 Resolver las siguientes congruencias lineales 1. 10x 14 (mód 21) x 1 (mód 453) 3. 7x 1 (mód 215) 4. 7x 13 (mód 215) Ejercicio 5.5 Hallar todas las soluciones (simultáneas) a, b, c 1 de las siguientes congruencias: a b (mód c) b c (mód a) c a (mód b) (4) Lema 5.6 Sea p un número primo. Entonces x 2 1 (mód p) sii x ±1 (mód p). Demostración ( ) La vuelta es trivial: Si x ±1 (mód p), entonces x 2 1 (mód p) ( Por qué?) ( ) La ida... también. Si x 2 1 (mód p), entonces p divide a x 2 1 = (x 1)(x + 1) ( Por qué?), y por lo tanto p divide a x 1 o p divide a x + 1 ( Por qué?), y ya está ( Por qué?). El siguiente teorema es una herramienta teórica muy útil: 10

11 Teorema 5.7 (de Wilson) Si p es primo, entonces (p 1)! 1 (mód p) Demostración Para p = 2 el teorema es trivial: 1! 1 (mód 2). Para p = 3 también: 2! 1 (mód 3). Podemos seguir así, verificando el teorema para cada primo. Pero eso no lleva ningún lado. Sea p 5 primo. Por la proposición 5.2 para cada entero a [p 1] := {1, 2,..., p 1} existe un único a 1 [p 1] tal que aa 1 1 (mód p). Por el lema 5.6, a = a 1 sii a = 1 o a = p 1 ( Por qué?). Por lo tanto podemos particionar el conjunto {2, 3,..., p 2} de p 3 elementos en p 3 2 pares de enteros de la forma {a i, a 1 i } tales que con i = 1,..., p 3 2. Entonces: a i a 1 i 1 (mód p) (p 1)! (p 2)(p 1) (p 1) p 1 p 3 2 i=1 1 (mód p) a i a 1 i Lo que completa la demostración. Por ejemplo 4! 24 1 (mód 5) y 6! (mód 7). Ejercicio 5.8 Hallar la inversa de cada elemento de [12] módulo 13. Ejercicio 5.9 Hallar la inversa de los elementos invertibles de [13] módulo 14. Ejercicio 5.10 Probar que si p 5 es primo, entonces 6(p 4)! 1 (mód p). Ejercicio 5.11 Decimos que un entero a es un elemento nilpotente módulo m si existe un entero positivo k tal que a k 0 (mód m). Probar que a es nilpotente módulo m sii a 0 (mód p m p). Ejercicio 5.12 Para n 1, considerar los números racionales n 1 h n = k = u n v n k=1 donde u n y v n son enteros positivos. Probar que si p 3 es primo, entonces u p 1 y h p 1 son divisibles por p (hermoso ejercicio :-) ) 11