Capítulo II. Pruebas en Matemáticas

Transcripción

1 Capítulo II Pruebas en Matemáticas Ahora nos concentramos en afirmaciones matemáticas y sus pruebas. Se encuentra que tratar de escribir pruebas justificando cada paso se vuelve rápidamente inmanejable, y es necesario escribirlas a más alto nivel. Por supuesto todavía justificando las inferencias, pero con un nivel de detalle de menor. II.1. Un Ejemplo Definición. Un número entero es par si y sólo si existe un número entero k de tal forma que n = 2k. Un número entero es impar si y sólo si existe un número entero l de tal forma que n = 2l + 1. Un número entero es par ó es impar. Este hecho que es bastante aparente requiere justificación. Esta puede obtenerse del llamado Teorema del Cociente y Residuo, ó Teorema de la División: Teorema 1 (Cociente y Residuo) Dados n Z y d Z +, existen enteros únicos q y r tal que n = q d + r y 0 r < d. Aquí, n es el dividendo, d es el divisor y q y r son el cociente y el residuo. Note que se requiere que el divisor d sea postivo. El dividendo n, por otra parte, no tiene esta restricción. Por ejemplo, con n = 14 y d = 3, se tiene q = 4 y r = 2: 14 = Y para n = 14 y d = 3, se tiene q = 5 y r = 1: 14 = ( 5) Si n = qd + r como en el teorema, se dice que n es igual a r módulo d, y se denote r = n mód d. 1

2 2 CAPÍTULO II. PRUEBAS EN MATEMÁTICAS Tomando d = 2 en el teorema, se encuentra que r = 0, 1 y por lo tanto cualquier entero es par o impar (puesto que q y r son únicos, un entero no puede ser par e impar simultáneamente). Con esto podemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 2 Para todo m, n Z, si m y n son pares, entonces m + n es par. Como ilustración vamos a escribir una prueba detallada de esta proposición basada en las definiciones de par e impar y propiedades básicas de los números enteros como premisas, y usando las reglas de deducción de la lógica de predicados. Prueba. Tenemos la siguiente prueba de validez: 1. p Z : Par(p) ( k Z : p = 2k) definición 2. p, q Z : r Z (r = p + q) la suma es cerrada en Z 3. p, q, r Z : p(q + r) = pq + pr distributividad 4. p, q, r Z : (p = q) (q = r) (p = r) transitividad de igualdad 5. p, q, r Z : (p = q) (r = s) (p + r = q + s) prop. igualdad y suma 6. p, q, r Z : (p = q) (rp = rq) prop. igualdad y producto 7. Par(m) Par(n) premisa prueba condicional m, n Z arbitrarios 8. Par(m) ( k Z : m = 2k) Inst Univ de 1 9. Par(m) ( k Z : m = 2k) equivalencia de doble impl en 8 y simplif. 10. Par(m) simplif de k Z : m = 2k modus ponens de 9, m = 2k 1 inst. exist de 11, k 1 Z particular 13. Par(n) ( k Z : n = 2k) Inst Univ de Par(n) ( k Z : n = 2k) equivalencia de doble impl en 13 y simplif. 15. Par(n) simplif de k Z : n = 2k modus ponens de 14, n = 2k 2 inst. exist de 16, k 2 Z particular 18. (m = 2k 1 ) (n = 2k 2 ) (m + n = 2k 1 + 2k 2 ) inst. univ. de (m = 2k 1 ) (n = 2k 2 ) conjunción de 12, m + n = 2k 1 + 2k 2 modus ponens de 18, k 1 + 2k 2 = 2(k 1 + k 2 ) inst. universal de l = k 1 + k 2 inst. univ. de 2, l Z particular 23. (k 1 + k 2 = l) (2(k 1 + k 2 ) = 2l) inst. univ. de (k 1 + k 2 ) = 2l modus ponens de 22, (2k 1 + 2k 2 = 2(k 1 + k 2 )) (2(k 1 + k 2 ) = 2l) (2k 1 + 2k 2 = 2l) inst. univ. de (2k 1 + 2k 2 = 2(k 1 + k 2 )) (2(k 1 + k 2 ) = 2l) conjunción de 21, k 1 + 2k 2 = 2l modus ponens de 25, (m + n = 2k 1 + 2k 2 ) (2k 1 + 2k 2 = 2l)

3 II.2. OTROS EJEMPLOS 3 (m + n = 2l) inst. univ. de (m + n = 2k 1 + 2k 2 ) (2k 1 + 2k 2 = 2l) conjunción de 22, m + n = 2l modus ponens 28, k Z : m + n = 2k generalización universal de Par(m + n) ( k Z : m + n = 2k) Inst Univ de ( k Z : m + n = 2k) Par(m + n) equivalencia de doble impl. en 33, y simplif. 34. Par(m + n) modus ponens de 31, Par(m) Par(n) Par(m + n) conclusión prueba cond. de 7, p, q Z : (Par(p) Par(q) Par(p + q)) gener. univ. de 36. Es claro que tal nivel de detalle se vuelve rápidamente inmanejable. En la práctica las pruebas se escriben algo informalmente, aunque asegurándose que los pasos están claramente justificados. Esto depende en general de la audiencia de la prueba. Justificaciones que se consideran necesarias acá, pueden ser omitidas en el caso de una audiencia mś avanzada, y viceversa. Así, entonces preferimos una prueba ó demostración como la siguiente. Prueba. Sean m y n enteros pares arbitrarios. Por definición, esto implica que existen enteros k 1 y k 2 tal que m = 2k 1 y n = 2k 2. Sumando m y n se obtiene m + n = 2k 1 + 2k 2 = 2(k 1 + k 2 ) donde se ha usado la propiedad distributiva. Puesto que l = k 1 + k 2 es un entero, entonces m + n = 2l es un entero par por definición. II.2. Otros Ejemplos II.2.1. Prueba Directa La prueba de una conclusión p q es directa si asume p como premisa y de aquí, junto con otras posibles premisas, concluye q. Esto corresponde a una prueba condicional, y se basa en la regla de inferencia: Veamos un ejemplo. (p r) q r (p q) Teorema 3 Para cualquier entero n, si n es par entonces n 2 es par. Veamos primero una prueba línea por línea aunque no tan detallada: 1. Sea n entero par arbitrario premisa de prueba condicional 2. Existe un entero k tal que n = 2k definición de par 3. Entonces n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) manipulación aritmética 4. l = 2k 2 es entero enteros son cerrados bajo multipl. 5. Entonces n = 2l es par definición de par 6. Si n es par entonces n 2 es par conclusión de prueba condicional 7. Para todo entero par n, n 2 es par generalización universal Y en la forma más usual, como un texto:

4 4 CAPÍTULO II. PRUEBAS EN MATEMÁTICAS Prueba. Sea n un número par arbitrario. Por definición, n = 2k para algún entero k. Entonces n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), y como l = 2k 2 es entero, entonces n 2 = 2l es par. II.2.2. Prueba Indirecta En una prueba indirecta, se prueba una conclusión p q probando su contrapositivo q p, el cual es equivalente. Esto se hace con una prueba condicional: donde r son otras posibles premisas. ( q r) p r (p q) El converso 1 del anterior teorema también es cierto, pero no es claro cómo sería una prueba directa. Se prueba el contrapositivo. Teorema 4 Para cualquier entero n, si n 2 es par entonces n es par. Prueba. Probamos el contrapositivo: si n es impar entonces n 2 es impar. Supongamos que n es impar, entonces por definición n = 2k + 1 para algún entero k. Elevando al cuadrado se obtiene n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, usando propiedades de las operaciones aritméticas. Pero l = 2k 2 + 2k es entero, por lo tanto n 2 = 2l + 1 es impar. De los dos teoremas anteriores se puede concluir el siguiente. Teorema 5 Para cualquier entero n, n es par si y sólo si n 2 es par. Aquí, n es par si y sólo si n 2 es par tiene dos partes. La parte n es par si n 2 es par corresponde al segundo teorema ( si n 2 es par entonces n es par ), la parte n es par sólo si n 2 es par corresponde al primer teorema ( si n es par entonces n 2 es par ). 1 Recuerde que el converso de p q es q p.

5 II.2. OTROS EJEMPLOS 5 II.2.3. Prueba por Casos Un argumento por casos sigue la regla de inferencia: p q, p r, q r r Veamos el siguiente ejemplo. Teorema 6 Para cualquier entero n, n 2 n es par. Prueba. Sea n un entero arbitrario. Sabemos que n es par ó impar. si n es par: Entonces n = 2k para algún entero k. Se tiene entonces que n 2 = 4k 2 y n 2 n = 4k 2 2k = 2(2k 2 k), y por lo tanto n 2 es par. si n es impar: Entonces n = 2k + 1 para algún entero k. Se tiene entonces que y y por lo tanto n 2 es par. n 2 = 4k 2 + 4k + 1 n 2 n = (4k 2 + 4k + 1) (2k + 1) = 2(2k 2 k), Por lo tanto, en todo caso, n 2 es par. II.2.4. Prueba por Contradicción: Irracionalidad de 2 Ahora usamos el teorema 4 para probar que 2 no es racional. La prueba es por contradicción: p F p. Asumimos que 2 es racional y de esto deducimos una falsedad. En particular deducimos p y p para cierta proposición p, y de esto se concluye F. (Así que esto también se podría considerar reducción al absurdo : p q, p q p.) En la prueba usamos algo que parece razonable pero cuya justificación depende del principio de inducción (el cual estudiamos más tarde). Por definición, un número racional es igual al cociente de dos enteros p/q (con el divisor diferente de cero). Intuitivamente, uno puede cancelar los factores comunes que p y q puedan tener, y así obtener que r es igual a un cociente irreducible m/n. Así que vamos a asumir que: Todo número racional r es igual a un cociente irreducible m/n.

6 6 CAPÍTULO II. PRUEBAS EN MATEMÁTICAS Esto lo justificamos más tarde. Por claridad escribimos la prueba línea por línea. Teorema 7 2 no es racional. Prueba. La prueba es por contradicción: Supongamos como premisa de prueba por contradicción que 2 es racional. Entonces, por definición, existen enteros positivos n y m tal que 2 = m/n y m y n no tienen factores comunes. Elevando al cuadrado, obtenemos 2n 2 = m 2. Puesto que n 2 es un entero, entonces m 2 es un entero par por definición. Por teorema anterior, esto implica que m es par. Por lo tanto existe un entero k tal que m = 2k. Reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene 2n 2 = (2k) 2 = 4k 2 y por lo tanto n 2 = 2k 2. Puesto que k 2 es un entero, entonces n 2 es un entero par por definición. Por teorema anterior, esto implica que n es par. Por lo tanto existe un entero l tal que n = 2l. Entonces m = 2k y n = 2l y por lo tanto m y n tienen el factor común 2. Esto está en contradicción con lo asumido anteriormente (que m y n no tenían factores comunes). Por lo tanto 2 es racional. Note que realmente no se necesita saber que un racional es igual a una fracción irreducible, es suficiente saber que es igual a una fracción m/n tal que a lo más uno de ellos puede ser par (al menos se ha cancelado cualquier número de factores 2 que posiblemente tengan inicialmente).

7 II.2. OTROS EJEMPLOS 7 II.2.5. Infinitud de los Números Primos Ahora vamos a ver un ejemplo de una prueba que muestra la existencia de un objeto sin mostrarlo explícitamente. Definición. Un entero n es primo si y sólo si n > 1 y para todo par de enteros positivos r y s, si n = rs entonces r = 1 ó s = 1. Un entero n > 1 es compuesto si no es primo, es decir, si existen enteros positivos r y s tal que n = rs y r 1, s 1. Definición. Sean n, d enteros y d 0. Se dice n es divisible por d si y sólo si existe un entero k tal que n = kd. También se dice que n es múltiplo de d, d es un factor de n, d es n divisor de n, y que d divide n. Simbólicamente se escribe d n. Primero, como ejemplo, una propiedad de la divisibilidad. Teorema 8 Divisibilidad es transitiva: si a b y b c entonces a c. Prueba. Asumimos que a b y b c. Entonces por definición, existen enteros k y l tal que b = ak y c = bl. Entonces Por lo tanto a c. c = bl = (ak)l = a(kl) Para la prueba de la infinitud de los primos, como en el caso de la irracionalidad de 2, también necesitamos un resultado que suena razonable cuya justificación usa de nuevo el principio de inducción (y la veremos más tarde). Usamos que: Todo entero mayor que 1 tiene un divisor que es primo. Teorema 9 Para todo n existe un número primo p tal que p > n. Prueba. - Sea N = n! Para todo k con 2 k n, k divide n! y por lo tanto N mód k = 1 - Por definición, si l N entonces N mód l = 0 - Por lo tanto, para todo k con 2 k n, k N (k no divide N) - Pero N tiene al menos un factor primo p (usando ( ), puede ser N mismo) - Como ningún entero k con 2 k n divide N, entonces p > n. En realidad, detrás de la definición de n! como el producto de 1, 2, 3,..., n está una definición recursiva: 0! = 1 y n! = (n 1)! n para n 1. Y entonces el hecho de que k con 2 k n, k divide n! se verifica formalmente usando inducción. ( )

8 8 CAPÍTULO II. PRUEBAS EN MATEMÁTICAS II.2.6. Más sobre Irracionales Ejemplo. Para cada una de las siguientes poposiciones, identifique si es verdadera o falsa. En el primer caso dé una prueba y en el segundo caso dé un contraejemplo (un ejemplo que muestra la falsedad de la afirmación). Note que en las afirmaciones implícitamente se está cuantificando universalmente. 1. El producto y división (con divisor no nulo) de números racionales es racional. Verdadero: Sean x y y dos números racionales. Por definición existen enteros m, n y p, q, con n, q 0, tal que x = m/n y y = p/q. Entonces, usando la regla de producto de fraccionarios, tenemos que xy = m n p q = mp nq. Puesto que mp y nq son enteros (por ser productos de enteros) y nq 0, entonces xy es racional. Similarmente, si p 0, entonces x y = m/n p/q = mq np Puesto que mq y np son enteros, y np 0, entonces x/y es racional. 2. El producto de un número racional diferente de cero y de un número irracional es irracional. Verdadero: Lo probamos por contradicción. Sea x un número racional, x 0, y y un número irracional. Buscando una contradicción, asumimos que el producto z = xy es racional. Entonces, puesto que x 0, podemos dividir y obetener y = z x Entonces y es el cociente de racionales (con el divisor no nulo) y usando la parte (a) concluimos que y es racional. Así que tenemos que y es irracional (hipótesis) y que y es racional (conclusión a la que acabamos de llegar). Esto es una contradicción. Por lo tanto la asunción de que el prodcto z de x y y es racional es falsa. Es decir, el producto es irracional. 3. El producto de dos números irracionales es irracional. Falso. Damos un contraejemplo: 2 es irracional, pero el producto 2 2 = 2 es racional.