El método inductivo y deductivo

Transcripción

1 Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (AMCT) El método inductivo y deductivo Por: Dr. Marlio Paredes Diciembre 3 de 011 Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, No Child Left Behind, Math and Science Partnership del Departamento de Educación

2 Objetivos Entender los diferentes métodos de demostración. Aprender a usar los diferentes métodos de demostración. Determinar que método de demostración se debe usar en casos concretos. Identificar cuando un teorema puede ser demostrado por diferentes métodos de demostración.

3 Estándares 10.0 Identifica, justifica y aplica las relaciones entre los ángulos al describir figuras geométricas. G.FG Desarrolla y sostiene argumentos convincentes G.FG Desarrolla y sostiene argumentos convincentes relacionados con relaciones entre ángulos usando modelos y dibujos con y sin ayuda de la tecnología.

4 Estándares 10.0 Desarrolla, prueba y provee justificaciones basadas en el método inductivo y deductivo para establecer conjeturas que involucran líneas, ángulos y figuras. G.FG Describe la estructura y relaciones dentro de un sistema axiomático (términos sin definir, términos definidos, axiomas, postulados, razonamiento y teoremas). G.FG Examina argumentos deductivos e inductivos concernientes a conceptos y relaciones geométricas como la congruencia, semejanza y la relación pitagórica. G.FG Reconoce defectos o discrepancias en el razonamiento que sostienen un argumento.

5 Estándares 4.0 Aplica métodos matemáticos de prueba para desarrollar justificaciones para los teoremas básicos de la geometría euclideana. G.FG.9.4. Prueba, directa o indirectamente, que un enunciado matemático válido es cierto. Desarrolla un contraejemplo para refutar un enunciado inválido. G.FG Formula e investiga la validez del inverso de un condicional. G.FG Organiza y presenta pruebas directas y pruebas indirectas utilizando dos columnas, párrafos y diagramas de flujo.

6 Ejemplo: Ella dice que los triángulos ABC, ABD y ABE son semejantes

7 Cuál de las siguientes es una razón que demuestra que no son semejantes? D Los triángulos ABC, ABD y ABE no tienen dos ángulos que sean congruentes.

8 Pruebas Puertorriqueñas (PPAA): Además de estar constituidas por ítems en los cuales el estudiante construye su propia respuesta e ítems de selección múltiple, las PPAA consideran los niveles de profundidad del conocimiento (NPC) requerido para las expectativas que se evalúan. Los ítems están escritos de acuerdo con tres de los niveles de profundidad del conocimiento según fueron desarrollados por Norman Webb (Web Alignment Tool (WAT) Training Manual, Washington, DC: Council of Chief State School Officers, 005) y adoptados por el Departamento de Educación de la siguiente manera: NPC 1 Recordar y reproducir NPC Destrezas y conceptos/razonamientos básicos NPC 3 Pensamiento estratégico/razonamiento complejo

9 Pruebas Puertorriqueñas (PPAA): La distribución de ítems entre los primeros tres niveles funge como método de alineación para examinar el equilibrio entre la demanda cognoscitiva de los estándares y la demanda cognoscitiva de la evaluación. Las nuevas PPAA cumplen con los requisitos de la Ley NCLB (No Child Left Behind) del 001. Estas pruebas permitirán entregar a los maestros y administradores valiosa información sobre el desempeño de los estudiantes. En las manos de maestros y planificadores escolares, esta información será una herramienta útil para impulsar a cada estudiante a alcanzar su máximo potencial.

10 Pruebas Puertorriqueñas (PPAA): Las Pruebas Puertorriqueñas se basan en la versión revisada de los estándares y expectativas de aprendizaje. Estos parámetros representan un componente esencial para promover el cambio en nuestro sistema educativo. Además, contribuyen a conectar los cambios curriculares con el desarrollo profesional de los maestros, los métodos de enseñanza y la evaluación del aprendizaje del estudiante.

11 Pruebas Puertorriqueñas (PPAA): Específicamente, estos estándares requieren que los maestros de matemáticas den especial énfasis e importancia a: la solución de problemas la comunicación en la matemática el razonamiento matemático la representación la integración de la matemática con otros contenidos la integración de los temas transversales del currículo (Tomado de los Folletos Informativos del Departamento de Educación)

12 Por todas estas razones es que consideramos importante hacer énfasis en: Las demostraciones Los métodos de demostración El razonamiento matemático La lógica matemática

13 Ejemplo:

14 DEC BAC y BAC DCE DEC DCE Transitividad

15 Ejemplo:

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17 El error está en la razón del paso 7. Los segmentos mencionados son la hipotenusa, no los catetos de triángulos rectángulos. No hay base para afirmar que todos los catetos de triángulos rectángulos son congruentes. Para corregir el error hay que decir que la suma de dos segmentos iguales ( EC AE ) es igual a la suma de los otros segmentos iguales a ellos ( DE EB ) o que estos dos segmentos son congruentes debido a la propiedad transitiva. DE EC AE EB AE + EC = DE + EB AC = DB

18 Qué es una demostración matemática? La idea de demostración rigurosa ha variado a lo largo del tiempo; depende del contexto y del entorno cultural. En los escritos matemáticos ordinarios (incluso los de hoy en día), sólo se detallan los pasos no puramente mecánicos; aquellos que suponen una idea nueva, una construcción original o la introducción de algún elemento novedoso. Sin embargo, el consenso sobre lo que es o no un paso obvio o trivial, ha ido cambiando a lo largo de la historia. Incluso en los aparentemente sólidos Elementos de Euclides se pueden encontrar construcciones no claramente justificadas con la sola asunción de los 5 Postulados fijados por el autor. Fernando Bombal Gordón, Catedrático Universidad Complutense de Madrid.

19 Qué es una demostración matemática? Todo el mundo sabe qué es una demostración matemática. Una demostración de un teorema matemático es una sucesión de pasos que conducen a la conclusión deseada. Las reglas que dichas sucesiones de pasos deben seguir fueron hechas explícitas cuando fue formalizada la lógica al principio de este siglo, y no han cambiado desde entonces. Estas reglas pueden ser usadas para refutar una pretendida demostración localizando errores lógicos; sin embargo, no pueden ser usadas para encontrar una demostración que no se tenga de una conjetura matemática. Gian Carlo Rota, La fenomenología de la demostración matemática.

20 Métodos de Demostración: 1. Método Directo. Método indirecto 3. Método de contradicción o reducción al absurdo 4. Método del contraejemplo 5. Método de inducción

21 Método Directo Ejemplo: Demostrar que si n es un número par entonces n también es un número par. n es par n = k, k un entero ( ) k 4k n = = ( ) n = k n es par

22 Lo que tenemos aquí es lo que se conoce como una implicación o condicional: Si n es par entonces n es par Si p entonces q Simbólicamente: p q p es llamada la hipótesis q es llamada la tesis o conclusión

23 Método Directo El Método Directo es el mas comúnmente usado. En este método el resultado que se quiere En este método el resultado que se quiere demostrar se deduce directamente mediante razonamiento lógico a partir de las hipótesis o suposiciones y utilizando resultados ya demostrados y/o definiciones dadas.

24 Método Indirecto Ejemplo: Demostrar que si n es un número impar entonces n también es un número impar. Para demostrar que esta afirmación es verdadera podemos argumentar de la siguiente manera: Qué sucedería si n fuera par? Si n es par entonces n debe ser par (debido al resultado ya probado) Por tanto n no puede ser par y en consecuencia n debe ser impar

25 En el Método Indirecto, expuesto en el ejemplo anterior en realidad estamos usando una equivalencia bien conocida en la lógica matemática: p q ~ q ~ p En el ejemplo: p: n es par y q: n es par ~p: n no es par o equivalentemente ~p: n es impar ~q: n no es par o equivalentemente ~q: n es impar ~p es llamada la negación de p y se lee no p

26 Es decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes: p q : n es par n es par ~ q ~ p : n es impar n es impar p q ~ q ~ p ~ q ~ p p q es llamada la contrarrecíproca de q p es llamada la recíproca de p q

27 Ejemplo: Usando el método directo también podemos probar la siguiente afirmación: Si n es un número impar entonces n es impar Ejemplo: Usando el método indirecto también podemos probar la siguiente afirmación: Si n es un número par entonces n es par

28 Es decir que hemos probado los siguientes resultados: n es par si y solo si n es par n es impar si y solo si n es impar

29 Método de Contradicción Ejemplo: Demostrar que es un número irracional Un número irracional es un número que no es racional Los números racionales son todos los números que se pueden escribir en la forma : m n, con m y n números enteros

30 Demostración: Supongamos que es un número racional Es decir supongamos que = m n Además, supongamos que esta fracción está en su forma mas simple, es decir que m y n no tienen factores comunes.

31 Elevando al cuadrado tenemos: ( ) m m = = n n = m n m = n m es par m es par m = k Sustituyendo arriba tenemos: ( k ) = n 4k = n k = n n es par n es par

32 Así, hemos obtenido que m y n tienen un factor común. Lo cual es una contradicción con la suposición inicial de que m y n no tienen factores comunes. Se deduce entonces que la suposición inicial es un número racional es falsa. de que Concluimos entonces que no es un número racional. En otras palabras, es un número irracional.

33 El Método de Contradicción consiste entonces en afirmar o suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar para tratar de llegar, mediante un razonamiento deductivo, a una contradicción. Alcanzar una contradicción indica que es falsa la premisa o suposición inicial de trabajo y que, por tanto, tiene que ser válida la afirmación o tesis original.

34 Método del Contraejemplo Ejemplo: Demostrar o refutar la siguiente afirmación Si n 1 y n son números naturales entonces n 1 n es un número natural. Esta afirmación es claramente falsa pues si por ejemplo n 1 = 3 y n = 5 entonces n 1 n = 3 5 = que no es un número natural.

35 El Método del Contraejemplo se utiliza para demostrar que una afirmación es falsa. El método consiste en exhibir o demostrar la El método consiste en exhibir o demostrar la existencia de por lo menos un elemento que no cumple determinada propiedad la cual se esta afirmando que es válida

36 Ejemplo: Demostrar o refutar la siguiente afirmación Si r 1 y r son números irracionales entonces el producto r 1 x r también es un número irracional. La afirmación es falsa porque si r1 = y r = entonces por ejemplo ( ) r1 r = = =

37 El Principio de Inducción Matemática Este es un método de demostración debido a Giuseppe Peano ( ). Este método es usado para demostrar teoremas que se cumplen para todos los números naturales.

38 Ejemplo: Suponga que usted necesita calcular la suma de todos los números enteros entre 1 y 100. Cómo podemos hacer esto rápidamente sin tener que sumar los números uno a uno??

39 Cómo demostrar esta fórmula? Volveremos sobre este problema mas tarde

40 EJERCICIOS

41 Ejercicio 1: Demostrar la siguiente afirmación Si n es un número impar entonces n es un número impar

42 Demostración: ENUNCIADO n = k +1 n n n n = ( k + 1) = 4k + 4k 1 = (k + k) + es impar + 1 RAZON n es número impar Elevamos al cuadrado Desarrollo del binomio Factorizamos Definición de número impar

43 Ejercicio : Demostrar la siguiente afirmación Si n es un número par entonces n es un número par

44 Demostración: Para la demostración de este resultado simplemente podemos recordar que p q ~ q ~ p y usamos el ejercicio anterior. p: n es un número impar q: n es un número impar ~p: n es un número par ~q: n es un número par

45 Es decir que usamos el método indirecto: ENUNCIADO Supongamos que n es impar n es impar Esto no puede ser n debe ser un número par RAZON Negación de la tesis o conclusión Por el ejercicio anterior Hipótesis Consecuencia de lo anterior

46 Ejercicio 3: Demostrar que si PR = QS entonces PQ = RS.

47 Demostración: ENUNCIADO PQ + QR = PR QR + RS = QS PR = QS PQ + QR = QR + RS PQ = RS RAZON Adición de segmentos Adición de segmentos Hipótesis Propiedad de sustitución Sustracción

48 Ejercicio 4: Demostrar o refutar la siguiente afirmación r 1 r Si y son números irracionales entonces también 1 es irracional. r r

49 Demostración: Esta afirmación es falsa porque si por ejemplo y r = entonces r 1 = r r 1 = = 1 que no es un número irracional.

50 Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (AMCT) Gracias por su atención Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, No Child Left Behind, Math and Science Partnership del Departamento de Educación.