PREGUNTAS y RESPUESTAS

Transcripción

1 INTEGRAL MODELO LAPSO /3 Universidad Nacional Abierta GEOMETRIA 754 Vicerrectorado Académico Fecha: Área de Matemática Carreras: PREGUNTAS y RESPUESTAS Obj 1 Pta 1 Indique, explicando por qué cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones: 1. Es falso que una semirrecta tenga dos orígenes. 2. Ven acá! 3. José está loco 4. Siete es un número primo. 5. Los ángulos rectos son iguales. 6. La familia no es 7. Dónde está carmen? = x + 4 = Si n es un entero, entonces 3n es par. La Matemática trata sobre proposiciones y su validez dentro de determinados sistemas axiomáticos. Luego es importante reconocer las proposiciones matemáticas. Vamos a analizar las respuestas a esta pregunta. 1. Es una proposición verdadera, una semirrecta tiene un solo origen. 2. No es una proposición, es sólo una exclamación sin valor de verdad alguno. 3. Es una apreciación subjetiva, no tiene valor de verdad y por ende no puede ser una proposición. 4. Obviamente es una proposición, verdadera en este caso. 5. Una proposición verdadera. 6. No es una proposición, de hecho la frase carece de sentido aún en el castellano que hablamos coloquialmente. 7. Bueno, yo no se donde está pero si se que esto no es una proposición. Área de Matemática

2 - 2-Primera Integral GEOMETRIA Una proposición falsa. 9. No es una proposición ya que no tiene un valor de verdad definido. 10. Proposición sin duda, pero falsa. Obj 1 Pta 2 Escriba la negación de la proposición dada 1. Es falso que un segmento tenga tres extremos. 2. No todo ángulo es obtuso. 3. Algunas preguntas no pueden responderse. 4. Todos los ciegos no pueden ver. 5. Luis y Juan tienen sed. 6. José y Luisa son hermanos. 7. Carlos va al cine o Luis viene a casa. Conviene recordar algunas cosas aquí, y las voy a enunciar tal como las aprendí en mi primer año de estudios de Matemática: la negación de un para todo es un existe y la negación de un existe es un para todo. Por ejemplo, si afirmamos TODOS LOS HOMBRES SON MORTALES, su negación es EXISTE AL MENOS UN HOMBRE INMORTAL. Si afirmamos, EXISTE UN MURCIELAGO QUE VE su negación es TODOS LOS MURCIELAGOS SON CIEGOS. En términos simbólicos Afirmación: x se tiene p( x) Negación: x para el cual p ( x) El estudiante UNA deberá escribir en símbolos lógicos lo otro que afirmamos. Vamos a empezar a construir nuestras negaciones. 1. Existen segmentos que tienen tres extremos. 2. Hay ángulos que son obtusos. 3. Toda pregunta tiene una respuesta. 4. Hay ciegos que ven 5. o Luis o Luisa no tienen sed. 6. José y Luisa no son hermanos 7. Ni Carlos va ala cine ni Luis viene acá.

3 - 3-Primera Integral GEOMETRIA 754 Nota: Escoja una y solo una de las preguntas anteriores para el objetivo 1. Si trabaja ambas el objetivo será considerado NO logrado. Obj 2 Pta 3 Demuestre que si a es un número real positivo, entonces 1 a 2 a En el texto de Darío Durán está demostrada la desigualdad de la media aritmética y geométrica a b ab 2 1 donde a,b son reales positivos. En particular si hacemos b en la desigualdad anterior a obtenemos 1 1 a a 1 1 a a 1 a a 2 a 2 2 a Obj 3 Pta 4 Sea M el punto medio de la mediana AD de un triángulo ABC. La recta BM corta al lado AC en un punto E que triseca a ese lado. Trazamos por D una paralela auxiliar a EB que corta a AC en K. Vamos a aplicar un par de AE AM veces el teorema de Thales. Observe que por Thales debemos tener que 1. Luego EK MD EK BD AE EK. Un razonamiento similar, por medio de Thales, demuestra que 1 KC DC

4 - 4-Primera Integral GEOMETRIA 754 Luego EK KC y uniendo esto con lo anterior vemos que EK KC =AE. La demostración está lista. Nota: El dibujo abajo, realizado con Geogebra demuestra la plausibilidad del resultado. Vaya al Moodle del curso ( para ver una animación que ilustra el uso de Geogebra para realizar la construcción. Obj 4 Pta 5 Si un triángulo y un cuadrilátero se trazan sobre la misma base y el cuadrilátero está completamente dentro del triángulo, entonces el perímetro del triángulo es mayor que el perímetro del cuadrilátero.

5 - 5-Primera Integral GEOMETRIA 754 Observe el dibujo que hemos trazado usando Geogebra. Aplicamos la desigualdad triangular varias veces. Observe que por desigualdad triangular tenemos que DF< BD+BF, DE<AD+AE, EG<EC+GC y FG=FG. Sumamos las desigualdades e igualdad anteriores y se obtiene DF+DE+EG+FG< BD+BF+ AD+AE+ EC+GC+FG PERIMETRO CUADRADO<PERIMETRO TRIANGULO Y esto era lo que queríamos demostrar. Obj 5 Pta 6 Se tienen dos circunferencias concéntricas. Entonces las cuerdas en la circunferencia mayor que son tangentes a la otra circunferencia son iguales.

6 - 6-Primera Integral GEOMETRIA 754 El siguiente dibujo, usando Geogebra demuestra el resultado. El resultado se demuestra usando el teorema de Pitágoras o congruencia de triángulos. Observe que los triángulos ACE y ADB son rectángulos ( por qué?), y AC= radio de la circunferencia más pequeña y la hipotenusa AE es el radio del círculo mayor. Invitamos al estudiante UNA a analizar similarmente lo que ocurre con el triángulo ADB. Cuál es su conclusión?. Nota: El dibujo arriba, realizado con Geogebra, demuestra la plausibilidad del resultado. Vaya al Moodle del curso ( para ver una animación que ilustra el uso de Geogebra para realizar la construcción. Obj 6 Pta 7 Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la razón de los cuadrados de los catetos.

7 - 7-Primera Integral GEOMETRIA 754 Suponemos que damos tres segmentos de longitudes: la unidad, la hipotenusa y la razón de los cuadrados de los catetos. Conocer la razón de los cuadrados de los catetos equivale a conocer la razón entre los catetos ya que si 2 A r B A B r Así podemos considerar dados un segmento de longitud 1, otro de longitud r y otro con la longitud de la hipotenusa. Construimos en un extremo del segmento de longitud 1 una perpendicular y sobre ella llevamos el segmento de longitud r. Formamos un triángulo con estos puntos y prolongamos la hipotenusa. Sobre ella llevamos la longitud que nos dan como hipotenusa del triángulo a construir. Prolongamos la recta de la base y trazamos la perpendicular desde el punto que determinamos al llevar la longitud del segmento de la longitud que nos dan como hipotenusa del triángulo a construir. Trazamos la perpendicular sobre la base. El dibujo abajo ilustra lo que hemos hecho.

8 - 8-Primera Integral GEOMETRIA 754 Nota: El dibujo arriba, realizado con Geogebra, indica la construcción.. Vaya al Moodle del curso ( para ver una animación que ilustra el uso de Geogebra para realizar la construcción. Obj 7 Pta 8 Sobre los lados de un triángulo rectángulo isósceles de cateto b se construyen tres cuadrados hacia el exterior. Calcule el área del triángulo formado por los centros de los cuadrados. Dejamos este ejercicio al estudiante UNA para que continúe su práctica, como pista le decimos FIJESE bien en la figura que se obtiene al realizar la construcción (con Geogebra la hemos hecho abajo). Qué relación tienen los segmentos KL y AC? FIN MODELO