Triángulos. Congruencia y semejanza.

Transcripción

1 Triángulos. Congruencia y semejanza. En esta sección vamos a estudiar en mayor detalle los triángulos y algunas de sus propiedades más importantes. En primer lugar recordemos la definición de triángulo. Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo ABC es la unión de los segmentos AB, BC y CA. Definición. De acuerdo a los tamaños relativos de sus lados un triángulo puede ser 1. Equilátero, si tiene todos sus lados iguales. Figura 1: Triángulo ABC 2. Isósceles, si tiene al menos dos de sus lados iguales. 3. Escaleno, si todos su lados son de distintos tamaños. Definición. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otro dos lados se llamana catetos. Definición. Dos triángulos ABC y A B C son congruentes (escribimos ABC A B C ) si sus lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes también. Observación. Note que lo que importa es que tres lados y tres ángulos correspondan, no el orden en que estén colocados. Figura 2: Triángulos congruentes Criterios de congruencia de triángulos. El siguiente postulado establece que para verificar la congruencia de triángulos basta con comparar sólo algunos de los lados o

2 matemática iii - ciu geometría 15 ángulos. En realidad, de nuevo este postulado se puede demostrar como teorema, pero tal demostración estaría fuera del alcance de este curso. VII Dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones (cada condición por separado garantiza que los triángulos son congruentes) 1. Tienen sus tres lados iguales (LLL) 2. Tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales (LAL) 3. Tienen un lado y los ángulos adyacentes iguales (ALA) En lo que sigue utilizaremos las siglas entre paréntesis para indicar la condición correspondiente. El siguiente teorema recibe el nombre Pons Asinorum, que significa el puente de los burros. Teorema. [Pons Asinorum] El triángulo ABC es isósceles, con AB = AC, si y sólo si los ángulos β y γ, opuestos a AC y AB, respectivamente, son iguales. Demostración. Primero comentamos que por ser el teorema un si y sólo si", tenemos que mostrar que la primera condición (que el triángulo es isósceles) implica la segunda (que los ángulos mencionados son iguales), y también la implicación recíproca: que la segunda condición implica la primera. Usualmente se dice que es una doble implicación y se usa el símbolo para representar la frase si y sólo si". En primer lugar probemos la implicación [ ], es decir, que si el triángulo es isósceles los ángulos mencionados son iguales. Como suponemos que el triángulo es isósceles, se tiene AB = AC. Esto dice que el punto A está en la mediatriz de BC. Dicha mediatriz corta al segmento en el punto M y se tiene que MB = MC, entonces por el criterio LLL los triángulos AMC y ABM son congruentes. Se concluye que β = γ. Listo. Ahora veamos la otra dirección [ ], es decir, que si los ángulos son iguales entonces el triángulo es isósceles. Consideremos r una perpendicular a BC por A, y M el punto de corte entre r y el segmento. Se forman dos triángulos AMC y ABM. Sabemos que los ángulos entre r y el segmento BC son rectos. Entonces como estamos suponiendo que β = γ y sabiendo que los ángulos internos de un triángulo suman π, se tiene que α 1 = α 2. Pero el lado AM es común a los dos triángulos y los ángulos adyacentes son iguales, entonces por el criterio ALA, esos dos triángulos Figura 3: Figura 4:

3 matemática iii - ciu geometría 16 son congruentes, lo que implica que AB = AC, de manera que el triángulo ABC es isósceles. Para estudiar el concepto de semejanza de triángulos necesitamos un poderoso teorema cuyo autor es Thales de Mileto y que enunciamos sin demostración. Teorema. [Teorema de Thales] Si dos rectas cualesquiera r y r son cortadas por rectas paralelas entre sí, los segmentos producidos en cada una de las dos rectas por los cortes con las paralelas son proporcionales: AB A B = AC A C = CD C D = Figura 5: Teorema de Thales Definición. Dos triángulos ABC y A B C son semejantes (escribimos ABC A B C ) si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales La figura indica que ABC A B C si y sólo si α = α, β = β, γ = γ y a a = b b = c c Sin embargo, gracias al siguiente teorema, para verificar la semejanza basta considerar sólo los ángulos de los triángulos involucrados. Teorema. Dos triángulos ABC y A B C son semejantes si y sólo si tienen sus ángulos correspondientes iguales. Demostración. [ ] Si ABC A B C entonces la definición de semejanza indica que α = α, β = β y γ = γ. [ ] Sabiendo que los ángulos son iguales, debemos demostrar que los lados son proporcionales. Siguiendo la figura de la derecha, construimos un triángulo congruente a A B C sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coincida con A. Entonces BC es paralelo a B C y el teorema de Thales nos dice que AB A B = AC A C Figura 6: Triángulos semejantes Figura 7:

4 matemática iii - ciu geometría 17 De manera análoga, podemos construir un triángulo congruente a A B C sobre los lados AB y BC de modo que el punto B coincida con B como muestra la otra figura y nuevamente el teorema de Thales implica que AB A B = BC B C lo que muestra que los tres lados son proporcionales. Figura 8: Pero podemos ir más allá. Ahora estamos en condiciones de demostrar otros criterios de semejanza de triángulos que nos dan flexibilidad a la hora de verificar si dos triángulos lo son, y el número de comparaciones a realizar sigue siendo muy reducido. Corolario. [Criterios de semejanza de triángulos] 1. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen dos ángulos iguales. 2. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen un ángulo igual y los dos lados adyacentes proporcionales. 3. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen los tres pares de lados homólogos proporcionales. Demostración. En los tres casos denotaremos los triángulos por ABC y A B C. Observamos que sólo hace falta demostrar el "si" ([ ]) porque el "sólo si" ([ ]) es cierto por la definición de triángulos semejantes. 1. Si tienen dos ángulos iguales es obvio el tercer ángulo también va a ser igual porque α+β+γ = π y α +β +γ = π entonces por el teorema anterior son semejantes 2. Ahora tienen un ángulo igual, digamos α = α, y dos lados adyacentes proporcionales, digamos AB / A B = AC / A C. Como hicimos anteriormente construimos un triángulo congruente a A B C sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coincida con A, cómo en la figura. Si trazamos una paralela a B C que pase por B, sea C el punto donde ella corta a AC. Entonces por el Teorema de Thales se cumple que que junto con AB A B = AC A C AB A B = AC A C Figura 9:

5 matemática iii - ciu geometría 18 implica que AC = AC, es decir que C = C y por el postulado VI el ángulo en B es igual al ángulo en B y el ángulo en C es igual al ángulo en C. En conclusión, los dos triángulos son semejantes. 3. Si AB A B = AC A C = BC B C construyamos un triángulo AB C con el mismo ángulo α, tal que AB = AB y AC = AC como en la figura. Si trazamos una paralela a AB por C, tenemos que CB = DB, y por el Teorema de Thales tenemos además que DB C B = CB C B = AC A C = AC A C que por hipótesis indica que C B = C B y por lo tanto los triángulos AB C y A B C son congruentes de manera que Figura 10: ABC AB C A B C Vale la pena mencionar que la relación de congruencia de triángulos es un caso particular de la semejanza de triángulos. Cuando dos triángulos son congruentes es porque son semejantes con proporción entre sus lados igual a 1. Podemos ahora enunciar y demostrar un famoso teorema que usamos frecuentemente, el teorema de Pitágoras. Teorema. [Pitágoras] En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Demostración. Por el vértice A correspondiente al ángulo recto se traza una perpendicular al lado BC opuesto a dicho ángulo. Se obtiene un segmento AD. Observemos que los triángulos ABC y ABD son semejantes por tener dos de sus ángulos iguales (β y el ángulo recto). De manera análoga son semejantes los triángulos ABC y ADC, por tener también dos de sus ángulos iguales (en este caso γ y el ángulo recto). Entonces se tiene por un lado y por otro c BD = a c b DC = a b de donde se obtiene c 2 = a BD y b 2 = a DC. Luego b 2 +c 2 = a( BD + DC ) = a a = a 2. Figura 11: Teorema de Pitágoras

6 matemática iii - ciu geometría 19 Un corolario interesante que es útil recordar es el siguiente: Corolario. En una figura como la anterior se tiene que BD DC = AD 2 Demostración. La demostración es sencilla. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ADC tenemos AD 2 + DC 2 = b 2 ahora lo mismo para el triángulo ABD: AD 2 + BD 2 = c 2 y ahora sumamos esas dos igualdadas para obtener: DC 2 +2 AD 2 + BD 2 = b 2 +c 2 = a 2 donde la última igualdad es la tercera aplicación del teorema, esta vez al triángulo ABC. Pero a = BD + DC, quedando: DC 2 +2 AD 2 + BD 2 = ( BD + DC ) 2 = BD 2 +2 BD DC + DC 2 donde la última igualdad es por el producto notable. Cancelamos DC 2 y BD 2, luego dividimos por 2 a ambos lados y logramos lo buscado: AD 2 = BD DC Ejercicios 1. Sea ABC un triángulo cualquiera, r una recta paralela a BC que pasa por A y d una paralela a AC que pasa por B. Sea C el punto de intersección de r y d. Demuestre que C A BC y C B AC. Cuánto mide el ángulo en C? 2. En el gráfico adjunto suponga que AB = 1, BC = 2 y CD = 3 Determine cuánto vale: a) A B B C b) A D C D c) A D C D d) B C C D e) A B A C f) A D D B g) B D A C h) A D C D Figura 12:

7 matemática iii - ciu geometría En el triángulo ABC se tiene que B C es paralelo a BC y AB = B B. Cuánto valen las distancias de A a C y de C a C? Figura 13: 4. Considere el trapecio ABCD adjunto. Si E y E son puntos medios, cómo es la recta EE con respecto a la base AB? Figura 14: 5. En el triángulo adjunto se tiene que DE es paralelo a BC y AC = 8,1 cm. Calcule AE y EC. Figura 15:

8 Ángulos en la circunferencia. En la sección anterior usamos un arco de la circunferencia de radio 1 para definir la medida de un ángulo con vértice en el centro. A cualquier ángulo que tenga como vértice el centro de una circunferencia lo llamaremos un ángulo central. Usualmente, para evitar la redundancia y proliferación de notación innecesaria, se da la medida de un ángulo central como la del arco correspondiente de circunferencia. Por ejemplo, si decimos AB = 30, queremos decir que el ángulo central correspondiente al arco de circunferencia entre A y B mide treinta grados. A un segmento que une dos puntos de una circunferencia se la llama una cuerda. Cuando una cuerda pasa por el centro se le llama un diámetro. En la figura de la derecha se aprecian varias cuerdas: AB, DE y EF. De ellas, DE es un diámetro. Cuando dos cuerdas tienen un extremo en común, se dice que el ángulo que se forma entre ellas, con vértice en dicho punto, es un ángulo inscrito en la circunferencia. En la figura anterior, el ángulo FED es un ángulo inscrito en esa circunferencia. Existe una relación muy útil entre la medida de este ángulo y la del ángulo central que corta el mismo arco: Proposición. [Ángulo inscrito] Un ángulo inscrito en una circunferencia, como en la figura de la derecha, corta un arco de circunferencia AB. Entonces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que corta el mismo arco AB. Es decir Figura 16: Cuerdas en una circunferencia Figura 17: Ángulo inscrito en una circunferencia α = ω 2 Demostración. La haremos considerando varios casos. Primero el caso en que un lado del ángulo inscrito es un diámetro, como se muestra en la figura de la derecha. Como el triángulo PCB es isósceles, los ángulos denotados con α son iguales, recordar Pons Asinorum. Como la suma de los tres ángulos de PCB es igual a π, tenemos que 2α+ω = π

9 matemática iii - ciu geometría 22 pero, como ω y ω son suplementarios, también tenemos: ω+ω = π y de esas dos ecuaciones se deduce que 2α = ω, que es el resultado buscado. En segundo lugar supongamos que el centro de la circunferencia es interior al ángulo inscrito. En la figura de la derecha se observa cómo, trazando un diámetro por el punto P, se obtienen dos instancias del caso anterior, una que relaciona α 1 con ω 1 y otra que relaciona α 2 con ω 2. Se tiene que Figura 18: Primer caso, un lado del ángulo es un diámetro α 1 = ω 1 y α 2 = ω pero α = α 1 +α 2 y ω = ω 1 +ω 2, lo que implica que α = α 1 +α 2 = ω ω 2 2 = ω 2 obteniéndose de nuevo el resultado buscado. Finalmente el caso en que el centro de la circunferencia es exterior al ángulo inscrito. En la figura de la derecha fíjese que los ángulos destacados son α 1 = APC, α 2 = BPC, ω 1 = ACD y ω 2 = BCD y de nuevo se obtienen dos instancias del caso inicial, una que relaciona α 1 con ω 1 y otra que relaciona α 2 con ω 2. Se tiene que Figura 19: Segundo caso, el centro es interior al ángulo inscrito α 1 = ω 1 2 y α 2 = ω 2 2 Pero en este caso el ángulo inscrito es α = α 1 α 2 y el ángulo central es ω = ω 1 ω 2, lo que implica que α = α 1 α 2 = ω 1 2 ω 2 2 = ω 2 obteniéndose una vez más el resultado deseado. Como esos son todos los casos posibles, hemos demostrado que la relación se cumple siempre. Figura 20: Tercer caso, el centro es exterior al ángulo inscrito Como una consecuencia directa del resultado anterior se obtiene un hecho muy conocido y usado frecuentemente: Hecho. Si AB es un diámetro de una circunferencia y X es un punto cualquiera de la misma, distinto de A y de B, entonces el ángulo AXB es recto. Esto es porque el ángulo central correspondiente al arco AB es llano, es decir, su medida es π. Figura 21: Arco capaz del ángulo recto Hemos establecido la proporción entre un ángulo inscrito en una circunferencia y el ángulo central que corta el mismo arco. Ahora consideramos el caso de un ángulo exterior a la circunferencia.

10 matemática iii - ciu geometría 23 Definición. [Ángulo exterior] Un ángulo exterior a una circunferencia es aquel que tiene su vértice fuera del círculo correspondiente y cuyos lados cortan a la circunferencia. Para ángulos exteriores tenemos el siguiente resultado. Proposición. [Ángulo exterior] Consideremos un ángulo exterior α a una circunferencia y supongamos que los lados del ángulo cortan dos arcos de circunferencia AB y CD, como muestra la figura de la derecha. Sea θ el ángulo central correspondiente a AB y φ el correspondiente a CD. Entonces se tiene α = φ θ = φ 2 2 θ 2 Demostración. Basta aplicar apropiadamente el resultado anterior. En la figura de la derecha, por claridad resaltamos ciertos ángulos y omitimos φ y θ. En el triángulo PCA, la suma de los ángulos debe ser π, es decir, α+γ+(π δ) = π ( de dónde sale π δ?). Esto significa que α+γ δ = 0, o equivalentemente, α = δ γ. Pero δ es un ángulo inscrito con ángulo central correspondiente φ, de manera que, por el resultado anterior, δ = φ/2, y el ángulo γ es también inscrito con ángulo central θ, es decir γ = θ/2. Juntando todo esto tenemos: α = δ γ = φ 2 θ 2 = φ θ 2 y obtenemos la igualdad planteada. Observación. Vale la pena resaltar que el resultado es válido cuando un lado es tangente a la circunferencia y cuando los dos lo son. Se sugiere hacer diagramas de estos dos casos. Finalmente consideramos el caso de un ángulo interior a la circunferencia, que es aquel que tiene su vértice dentro del círculo correspondiente. En este caso tenemos: Proposición. [Ángulo interior] Consideremos un ángulo interior α a una circunferencia y supongamos que los lados (prolongados) del ángulo cortan dos arcos de circunferencia AB y CD, como muestra la figura de la derecha. Sea θ el ángulo central correspondiente a AB y φ el correspondiente a CD. Entonces se tiene α = φ+θ = φ θ 2 Ejercicio. Hacer la demostración de este caso. Basta considerar la suma de los ángulos del triángulo PBC. Figura 22: Ángulo exterior a una circunferencia Figura 23: Reducción al resultado anterior Figura 24: Ángulo interior a una circunferencia

11 matemática iii - ciu geometría 24 De estos resultados se deriva una muy útil construcción. Consideremos una circunferencia con una cuerda AB y un ángulo inscrito α que corta el arco AB. Sea X el vértice de α. Si dejamos el segmento AB fijo y movemos X sobre la circunferencia, es claro que el ángulo α permanece constante. Esto es porque dicho ángulo es igual a la mitad del ángulo central que es siempre el mismo. En esta situación se dice que α es el ángulo con el que se ve el segmento AB desde X. También se puede observar que si X se coloca dentro del círculo, el ángulo obtenido será mayor que α, mientras que si X se coloca afuera del círculo, el ángulo formado será menor que α. Podemos darle la vuelta a esta construcción considerando aquellos puntos del plano desde los cuales se ve un segmento con un ángulo fijo dado. Tenemos la siguiente definición: Figura 25: Ángulo con el que se ve un segmento Definición. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, el conjunto de los puntos del plano desde los cuales se ve AB con ángulo α consiste de dos arcos simétricos de circunferencia. Cada uno de ellos se llama arco capaz del segmento AB y el ángulo α. Podemos escribir ese conjunto así: {X AXB = α} Figura 26: Arco capaz del segmento AB y el ángulo α

12 matemática iii - ciu geometría 25 Construcciones con regla y compás Las construcciones con regla y compás nos ayudan a familiarizarnos con la Geometría de manera más estrecha. La regla nos permite trazar rectas, en particular rectas que pasan por dos puntos. En este caso la regla no es graduada, no nos permite medir distancias. El compás es un instrumento que permite dibujar circunferencias de centro y radio dados, y también nos permite medir distancias, usando sus extremos. Cuando se pide que construyamos algo con regla y compás, la respuesta debe ser una descripción clara del procedimiento a seguir, una vez que hemos visualizado mentalmente cómo hacerlo. Se puede acompañar la explicación de diagramas que ayuden a seguir los pasos. A continuación mostramos algunos ejemplos. Se sugiere reproducir estos procedimientos con una regla y compás de verdad, para asegurarse de comprender su funcionamiento. Ejemplo. [Segmento congruente] Dado un segmento AB, construir otro segmento congruente al dado. Trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto A. Con el compás, haciendo centro en A, medimos la longitud de AB. Luego hacemos centro en A con el compás abierto esa distancia y marcamos sobre la recta r un punto B de manera que el nuevo segmento A B es congruente a AB. Figura 27: Construcción de un segmento congruente Ejemplo. [Ángulo congruente] Construir un ángulo congruente a un ángulo α de lados a y b. Haciendo centro en el vértice V, trazamos un arco arbitrario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Ahora trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto V. Con centro en V trazamos el mismo arco haciendo que corte a r en A. Luego medimos la distancia de A a B con el compás. Haciendo centro en A llevamos la distancia medida sobre el nuevo arco obteniendo el punto B. El ángulo A V B es congruente con α.

13 matemática iii - ciu geometría 26 Figura 28: Construcción de un ángulo congruente Ejemplo. [Bisectriz de un ángulo] Construir la bisectriz de un ángulo α de lados a y b. De nuevo, haciendo centro en el vértice V, trazamos un arco arbitrario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Luego ponemos la amplitud del compás un poco más corta que la distancia de A a B con tal de que sea mayor que la mitad de dicha distancia. Con la punta en A trazamos un arco de circunferencia que corte dos veces a la semirrecta a y con la punta en B hacemos lo mismo pero ahora el arco corta dos veces a la semirrecta b. Ahora unimos cualquiera de los puntos de corte de estos arcos con el vértice V, obteniendo la bisectriz. Figura 29: Construcción de la bisectriz de un ángulo Observación. En realidad, los arcos de circunferencia trazados no tienen que ser tan amplios, basta con que se corten en algún punto. Ejemplo. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, construir su arco capaz. Primero nos referimos a la figura de la derecha y observamos que si consideramos una secuencia de puntos X 1, X 2, X 3, etc. que están sobre la circunferencia y se acercan hacia A, los segmentos secantes AX i se van convirtiendo en la tangente t a la circunferencia, mientras que el ángulo α permanece siempre igual. Se observa entonces que el ángulo con vértice en A, formado por el segmento AB y la recta t es α. Figura 30:

14 matemática iii - ciu geometría 27 Además tenemos que la mediatriz del segmento AB y la perpendicular a la recta t por el punto A pasan por el centro de la circunferencia. Ahora estamos listos para describir la construcción con regla y compás. Primero construimos un ángulo congruente a α en el extremo A del segmento AB, con ello obtenemos la recta t (se puede trazar con la regla). Luego trazamos la perpendicular a t por el punto A (ver ejercicio 2.b) abajo). A continuación trazamos la mediatriz del segmento AB (ver ejercicio 2.a) abajo). El centro de una rama del arco capaz será la intersección de estas dos rectas. Podemos trazar el arco poniendo una punta del compás en el centro y otra en el punto A. Para trazar la otra rama del arco capaz, repetimos el proceso pero dibujando α en el mismo extremo A pero al otro lado del segmento AB. Figura 31: Construcción del arco capaz Ejercicios 1. Para cada una de las figuras a continuación, obtenga la medida de los ángulos pedidos a) AB =? BA =? b) α =? BC =? c) BA = 70 α =? d) AD = 140 α =? e) α =? β =? f) α =? g) AC = 100 BD =? h) α =?

15 matemática iii - ciu geometría 28 i) α =? j) CA = 55 DB =? k) TC =? l) α =? m) α =? n) QR =? o) α =? p) α =? q) α =? r) α =?

16 matemática iii - ciu geometría 29 s) α =? β =? t) α =? 2. Construir con regla y compás a) La mediatriz de un segmento AB. b) La perpendicular a una recta r por un punto P r y la perpendicular a la recta r por un punto Q / r. c) La paralela a una recta r por un punto Q / r. 3. Construir con regla y compás un triángulo ABC conociendo que sus lados son congruentes a tres segmentos dados AB, AC y BC. 4. Construir con regla y compás un triángulo ABC conociendo que un lado es congruente a un segmento dado AB, y los dos ángulos adyacentes a ese lado son congruentes con ángulos dados α y β.