MATEMÁTICA Semejanza Guía Nº 4

Transcripción

1 MATEMÁTICA Semejanza Guía Nº 4 APELLIDO: Prof. Karina G. Rizzo. Las figuras tienen la misma forma pero distinto tamaño. No son iguales; son SEMEJANTES. 2. a) Cuando se indica construir hay que trabajar con las medidas reales indicadas y el trabajo se realizará con máxima precisión utilizando los elementos de geometría corrrespondientes Trazar, primero, la base ac = 6cm. En el vértice a trazar el cateto ab = 8cm teniendo en cuenta que el ángulo â = 90º. Trazar la hipotenusa bc que, si la construcción está bien hecha, medirá 0cm. b) Se denominan homólogos a los lados o ángulos de dos figuras tal que, al superponerlas, quedan coincidiendo. En el caso de los triángulos construidos en los puntos anteriores son homólogos: la base de uno con la base del otro, la altura de uno con la altura del otro y la hipotenusa de uno con la hipotenusa del otro. Generalmente se los denomina con las mismas letras pero con comillas. Para la construcción, se trabaja igual que en el punto a) pero, primero, hay que calcular la medida de los lados. Para calcular los lados se utiliza el dato que es la proporcionalidad de los lados homólogos: ab bc ac 2 Reemplazamos con la información dada en el punto a) : Calculamos cada uno de los lados, por ejemplo 8 2 a ', resolviendo la ecuación planteada : Para calcular los lados restantes, se arman las proporciones necesarias para cada caso. Se obtienen entonces las siguientes medidas : a ' = 4cm, a ' = cm y b ' = 5cm

2 c) son iguales las figuras obtenidas? No son iguales; son SEMEJANTES. d) mide los ángulos de cada uno de estos triángulos y completa : Los ángulos homólogos son iguales e) cómo son las razones entre los pares de lados homólogos? iguales Entonces los lados homólogos son proporcionales. Trazar, primero, la base pq de cualquier medida (por ejemplo 0cm). En el vértice p trazar el ángulo de 60º y en el vértice q el de 20º. El punto donde se cortan es r que, si la contrucción es precisa, el ángulo que se forma en r es de 00º. r p q Para construir el triángulo p q r se trabaja igual que el anterior pero cambiando la medida de la base (por ejemplo 8cm) para que no sean iguales y tener un caso particular. a) Son iguales las figuras obtenidas? No son iguales; son SEMEJANTES. b) Los ángulos homólogos son iguales c) Mide con precisión y anota las medidas de cada uno de los lados de los triángulos pq 0cm qr 8,cm pr,7cm p 'q' 8cm q 'r' 6,48cm p 'r' 2,96cm d) Calcula las razones entre los pares de lados homólogos: pq 0 pr,7,25 =,25 p'q' 8 p' r' 2,96 qr q' r' 8, 6,48 =,25 e) Cómo resultan las razones obtenidas? Iguales. Entonces los lados homólogos son proporcionales. 4. De acuerdo con la comparación de los ángulos y de los lados de las figuras de los puntos anteriores, escribe la conclusión : Dos o más triángulos son SEMEJANTES cuando tienen sus tres pares de lados homólogos proporcionales y sus tres pares de ángulos homólogos iguales. En general : Dos o más figuras son semejantes cuando tienen todos sus pares de lados homólogos proporcionales y todos sus pares de ángulos homólogos iguales. 2

3 5. Se dibujan (no se construyen) dos pentágonos de distinto tamaño (no es necesario que sean regulares) y se les pone letras a todos sus vértices para nombrarlos. Igualdad de ángulos : aˆ aˆ ' ; bˆ b ˆ ' ; cˆ cˆ ' ; dˆ d ˆ ' y eˆ eˆ ' Proporcionalidad de lados: ab bc cd de ae d' d' e' e' 6. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: I) (L.L.L) b a c a c En símbolos : ab bc ac abc ~ a b c Enunciado: Si dos triángulos tienen sus tres pares de lados homólogos proporcionales, entonces, son semejantes. II) (L.A.L) b a c a c En símbolos : ab bc bˆ b ˆ ' abc ~ a b c Enunciado: Si dos triángulos tienen dos pares de lados homólogos proporcionales y el par de ángulos homólogos, comprendido entre dichos lados, iguales entonces, son semejantes. III) (A.A) b En símbolos : aˆ aˆ' bˆ b ˆ ' abc ~ a b c a c a c Enunciado: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos homólogos iguales, entonces, son semejantes.

4 7. a) Se trabaja aplicando los criterios de semejanza, analizando si hay lados homólogos proporcionales o pares de ángulos homólogos iguales. La justificación es el planteo o afirmaciones que se hacen e indicar el criterio de semejanza que se verifica (en caso de comprobarse la semejanza) En este caso tenemos como datos las medidas de todos los lados de los triángulos; entonces trabajamos con el criterio L.L.L. Para esto se debe cumplir la proporcionalidad entre sus tres pares de lados homólogos Planteamos la proporción, reemplazamos por los datos y comprobamos: ab bc ac ,5 2 = 2 = 2 Verdadero abc ~ a b c (L.L.L) b) En este caso tenemos como datos las medidas de dos pares de lados homólogos de los triángulos y un par de ángulos homólogos comprendidos; entonces trabajamos con el criterio L.A.L. Para esto se debe cumplir la proporcionalidad entre los pares de lados homólogos y la igualdad de ángulos Planteamos la proporción, reemplazamos por los datos y comprobamos Luego, planteamos la igualdad de ángulos, reemplazamos por los datos y comprobamos: ab bc bˆ b ˆ ' ,5 = 0,5 Verdadero 0º = 60º Falso los triángulos no son semejantes Con una sola condición que no se cumpla alcanza para que no haya semejanza c) Se tienen los mismos datos que en el caso anterior, por lo tanto trabajamos igual bc ca cˆ cˆ ' 9 0, = 0, Verdadero 45º = 45º Verdadero abc ~ a b c (L.A.L) 4

5 8. a) Como los triángulos son semejantes, los lados son proporcionales. Para calcular la medida de los mismos se plantea la proporción entre los pares de lados homólogos mn no mo pq qr pr Se reemplaza por los datos : 2 no 6 0 7,5 pr Para calcular no = x cm, se resuelve la ecuación: Para calcular pr = y cm, se resuelve la ecuación: 2 x 0 7, y b) Recordar que el perímetro de una figura es igual a la suma de todos sus lados 9. Igual que el ejerc Para calcular los perímetros, primero hay que averiguar la medida de todos los lados Como los triángulos son semejantes, los lados son proporcionales. Para calcular la medida de los mismos se plantea la proporción entre los pares de lados homólogos ab bc ac Se reemplaza por los datos : Para calcular Para calcular Para calcular a ', se resuelve la ecuación (observar que es una proporción): b ', se resuelve la ecuación : a ', se resuelve la ecuación :

6 . Igual que en el ejerc. anterior. La razón es 2,5 en vez de / df ef d' f ' e' f ' de 2,5 d' e' 8 5 2,5 d' f ' e' f ' d' e' 2. rectáng. abcd ~ rectáng. d' y ab 2 b c 8cm x a 2x d Para calcular la superficie de los rectángulos hay que averiguar primero, la medida de la base y de la altura de ambos. Para calcular la medida de la base y de la altura del rectángulo abcd, según los datos se tiene: Altura = ab = x cm Base = ad = 2x cm Al trazar la diagonal del rectángulo, queda formado un triángulo rectángulo siendo : Hipotenusa = bd = 8cm Cateto = ab = x cm Cateto = ad = 2x cm Se aplica Pitágoras para calcular x y así se obtiene entonces, la base y la altura del rectángulo abcd Para calcular la medida de la base y de la altura del rectángulo a b c d, se tiene la información de que los rectángulos son semejantes (lados proporcionales) y la razón entre los lados homólogos es igual a 2/ Se plantea la proporción, se reemplaza y finalmente se obtiene la medida de todos los lados. Por último se calculan las superficies pedidas. De acuerdo con los datos, determina si los sig. pares de triángulos son semejantes. Justificar. Igual al ejerc. 7 6

7 4. Se trabaja con un razonamiento igual al del ejerc.7 ; al no tener todas las medidas, las igualdades planteadas deben justificarse a través de distintas propiedades a) ab ac por Teorema de Thales ya que bc // pq ap aq aˆ aˆ ángulo común abc ~ apq (L.A.L) a) otra forma : bˆ pˆ por ser ángulos correspondientes entre bc // pq aˆ aˆ ángulo común abc ~ apq (A.A) b) bac ˆ qaˆ p por ser ángulos opuestos por el vértice bˆ pˆ por ser ángulos alternos internos entre bc // pq abc ~ apq (A.A) b) otra forma : ca ba por Teorema de Thales ya que A // B // C aq ap bac ˆ qap ˆ por ser ángulos opuestos por el vértice abc ~ apq (L.A.L) 5. a) Igual al ejercicio anterior III) abc ˆ mbˆ n por ser ángulos opuestos por el vértice acb ˆ bnm ˆ por ser ángulos rectos porque mc y an son alturas abc ~ mbn (A.A) 7

8 b) I) bm bn mn II) ba bc ac ab cb ac III) bn bm mn bm bn mn ba bc ac 6. a) bˆ dˆ ángulos rectos del rectángulo abcd bcf ˆ ced ˆ por ser ángulos alternos internos entre ed //bc fbc ~ edc (A.A) b) Proporcionalidad de lados : fc bc ec ed bf cd 7. a) Misma justificación que el ejerc. 4 b). b) ab bc de ce ac cd c) Igual que el ejerc a) De acuerdo con la definición y propiedad de la base media de un triángulo, se deduce que mn es paralelo a ac, mn es la mitad de ac, el punto m está en la mitad de ab y el punto n está en la mitad de bc Como mn es la mitad de ac, entonces ac = 20cm. Al ser un triángulo equilátero, sus tres lados son iguales. Con esta información, ya podemos calcular el perímetro. b) Estos triángulos no son semejantes porque el primero tiene un ángulo recto ( mp ac ), en cambio, el segundo, tiene todos sus ángulos de 60º (pues es un triángulo equilátero). Para que haya semejanza tienen que tener los pares de ángulos iguales c) Estos triángulos son semejantes porque al ser mn // ac, los ángulos son iguales (también hay proporcionalidad de lados) d) Hallar la superficie del rectángulo mnqp. Para hallar la superficie, necesitamos conocer : la Base = pq = mn = 0cm y la Altura = mp Para calcular mp, trabajamos con el triángulo rectángulo apm donde : am es la hipotenusa, mp y ap son los catetos. 8

9 Calculamos, entonces, los lados de dicho triángulo aplicando el teorema de Pitágoras: am = 0cm ap = 5cm mp = x cm porque el punto m está en la mitad de ab = 20cm porque pq = 0cm está en el centro de ac = 20cm (sobran 5cm de cada lado) 9. Cálculo de mb : al ser c = 90º y mr // ac, se deduce que el triángulo mrb es rectángulo en rˆ, entonces aplicamos el teorema de Pitágoras. Hipotenusa = mb = x cm Cateto = br = 4cm Cateto = mr = cm Cálculo de bc y ac : como mr // ac, se deduce que los triángulos son semejantes. Planteamos la proporcionalidad de lados y reemplazamos : ab bc ac mb br mr y trabajamos igual que en el ejerc. 8 9 bc ac Para calcular los perímetros de los triángulos, debemos primero, calcular las medidas de todos los lados. Como mr // ab, se deduce que los triángulos son semejantes. Planteamos la proporcionalidad de lados y reemplazamos : ab bc ac mr rc mc 2x x 4 x 5 rc 6 2x x Trabajamos con la proporción de manera tal de tener una sola incógnita (x) 5 6 que la que vamos a hallar resolviendo la ecuación que quedó planteada. Una vez obtenido el valor de x, lo reemplazamos en la proporción para calcular rc Con el valor de x, obtenemos también la medida de los lados restantes. 9

10 2. Como bs ac, significa que bs es altura del triángulo. Al ser un triángulo isósceles, la altura divide a la base ac en dos partes iguales. Al mismo tiempo, el triángulo abc queda dividido en dos triángulos iguales. Trabajamos con una de esas mitades : b rs = 40cm bs =,25m = 25cm r q sc = 7,5cm br = 85cm ( ) s c Los triángulos rbq y sbc son semejantes. Escribimos la proporcionalidad de lados y reemplazamos: br rq bq bs sc bc 85 rq 25 7, 5 bq bc Como la consigna del ejercicio es calcular pq, calculamos rq que es su mitad. Para esto trabajamos con la ecuación : 85 rq 25 7,5 Luego : rq. 2 = pq 22. a) Para el perímetro necesitamos tener la medida de los tres lados del triángulo. Para calcular los lados, observamos que los triángulos son semejantes. Escribimos la proporcionalidad de lados y reemplazamos: ar rt at ab bc ac ab = ar + rb = x x = x + 5 De la ecuación : x 5 x 5 4 6, calculamos x Al conocer x, obtenemos la medida de ar x 5 x at ac Para calcular at, aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo atr. Finalmente tenemos todos los datos necesarios para calcular el perímetro pedido. b) Para la superficie necesitamos tener la medida de la base = ac y la de la altura = bc = 6cm Para calcular ac, podemos aplicar Pitágoras o podemos trabajar con la proporción planteada al comienzo. 0