ÁNGULOS EN POLÍGONOS. Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : Ejercicio nº 2.-
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- Pedro Soriano Toro
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1 ÁNGULOS EN POLÍGONOS Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : a b c Ejercicio nº.- Halla el valor del ángulo en cada uno de estos casos: a b c Ejercicio nº 3.- Halla el valor de Xˆ, Yˆ, Zˆ, en los siguientes polígonos regulares: a b Ejercicio nº 4.- Calcula la medida de los ángulos desconocidos: a b 1
2 TRIÁNGULOS SEMEJANTES Ejercicio nº 16.- a Los triángulos APQ y ABC, son semejantes? Razona la respuesta. b) Calcula x BP. Ejercicio nº 17.- Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos Cuánto miden los lados a y b? Ejercicio nº 18.- Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo a CD a Explica por qué los triángulos OAB y ODC son semejantes. b Calcula x e y. Ejercicio nº 19.- Dos triángulos ABC y ABC son semejantes y su razón de semejanza es 1,6. Calcula los lados del triángulo ABC si sabemos que AB 10 cm BC 9 cm AC 17 cm Ejercicio nº 0.- En un triángulo ABC, la base AB mide 0 m y la altura relativa a esa base mide 6,6 m. Calcula el área de otro triángulo semejante a ABC, ABC, en el que AB 8 m. 5
3 TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio nº 1.- Halla el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio. Ejercicio nº.- En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 1 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual. Ejercicio nº 3.- Halla la altura de un rectángulo cuya base mide 1 cm y su diagonal, 9 cm. Ejercicio nº 4.- Halla la altura de un triángulo equilátero de 3 cm de lado. Ejercicio nº 5.- El lado de un rombo mide 5 dm, y su diagonal menor mide 14 dm. Cuánto mide la otra diagonal? Ejercicio nº 6.- Desde un punto P se traza una tangente a una circunferencia. La distancia de P al punto de tangencia es de 35 cm, y la distancia de P al centro de la circunferencia es de 37 cm. Cuánto mide el radio? Ejercicio nº 7.- En una circunferencia de radio 1 cm trazamos una recta a 7 cm de su centro. Cuál es la longitud de la cuerda que determina esta recta en la circunferencia? Ejercicio nº 8.- Los radios de dos circunferencias miden 3 cm y 8 cm, respectivamente. El segmento de tangente exterior común mide 1 cm. Calcula la distancia entre sus centros. Ejercicio nº 9.- Los radios de dos circunferencias miden 8 cm y 3 cm, respectivamente. La distancia entre sus centros es de 15 cm. Halla la longitud del segmento de tangente exterior común. Ejercicio nº 30.- En una circunferencia de 41 dm de radio trazamos una cuerda de 18 dm de longitud. Halla la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia. 6
4 LUGAR GEOMÉTRICO Y CÓNICAS Ejercicio nº 31.- Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano, que están a 3 cm de la recta r. Ejercicio nº 3.- Las rectas r y s se cortan en O. Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambas rectas. Ejercicio nº 33.- Tenemos el segmento de extremos A y B. de longitud AB 5 cm. Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de A que de B? Dibújalo. Ejercicio nº 34.- Dado el punto O, cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan cm de O? Dibújalo..O Ejercicio nº 35.- Dibuja el arco capaz para el segmento de extremos A y B, de longitud AB 4 cm correspondiente al ángulo de 90. Ejercicio nº 36.- Usa la siguiente trama para dibujar a Una elipse de focos F y F y constante d 0. 7
5 CÁLCULO DE ÁREAS Ejercicio nº 41.- Halla el área de la parte coloreada de la figura, sabiendo que: E es el punto medio de CD. F es el punto medio de AC. H es el punto medio de AB. G es el punto medio de AH. AB 8 cm y BD 6 cm Ejercicio nº 4.- Halla el área de la siguiente figura: Ejercicio nº 43.- Halla el área de esta figura: 10
6 Ejercicio nº 44.- Halla el área de la siguiente figura: Ejercicio nº 45.- Halla el área de la siguiente figura: Ejercicio nº 46.- Halla el área de la siguiente figura: 11
7 Ejercicio nº 47.- Halla el área de la parte sombreada: Ejercicio nº 48.- Calcula el área de la parte sombreada: r 0,5 cm R 1,5 cm Ejercicio nº 49.- Halla el área de la zona sombreada: 1
8 Ejercicio nº 50.- Halla el área de la zona coloreada: Radio de la circunferencia 5 cm Ejercicio nº 51.- Halla el área de la parte sombreada: Ejercicio nº 5.- Halla el área de la parte sombreada: Ejercicio nº 53.- Halla el área de la siguiente figura: 13
9 Ejercicio nº 54.- Halla el área de la parte sombreada: Ejercicio nº 55.- Halla el área de la parte sombreada en esta figura: 14
10 SOLUCIONES EJERCICIOS ÁNGULOS EN POLÍGONOS Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : a b c a Triángulo isósceles: b Polígono de cuatro lados trapecio, en este caso: c Ejercicio nº.- Halla el valor del ángulo en cada uno de estos casos: a b c a Polígono de 4 lados la suma de sus ángulos es
11 b c Xˆ Yˆ Luego: Ejercicio nº 3.- Halla el valor de Xˆ, Yˆ, Zˆ, en los siguientes polígonos regulares: a b a Pentágono regular: ˆ Y ˆ 360 X 7 5 Zˆ 360 Yˆ b Heptágono regular: ˆ Y 18,57 7 ˆ 360 X 10,86 7 Zˆ 360 Yˆ ,57 31,43 16
12 Ejercicio nº 4.- Calcula la medida de los ángulos desconocidos: a b a) A ˆ Por ser opuestos por el vértice: Bˆ 35 y Cˆ Aˆ 145 Además, por estar en la misma posición respecto a las dos rectas paralelas, se tiene: Gˆ 35 ; Fˆ Cˆ 145 ; Eˆ Bˆ 35 ; Dˆ Aˆ 145 b) Yˆ Z ˆ Xˆ Zˆ 135 Ejercicio nº 5.- Calcula el valor de Xˆ, Yˆ, Zˆ, en los siguientes polígonos regulares: a b a Hexágono regular: ˆ 360 X 10 6 ˆ Y 10 6 Zˆ 360 Yˆ b Octógono regular: ˆ 360 X ˆ Y Zˆ 360 Yˆ
13 SOLUCIONES EJERCICIOS DE ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Ejercicio nº 6.- Di el valor de los ángulos, y de la figura adjunta. 50 : Ejercicio nº 7.- Cuánto miden los ángulos, y de la siguiente figura? 30 y 30 (abarcan el mismo arco) Ejercicio nº 8.- Tenemos un triángulo inscrito en una semicircunferencia como muestra la figura. Sabiendo que el arco AC 40, halla los siguientes ángulos : 18
14 a) CBA b) CAB c) ACB a) CBA 40 : 0 b) CAB 90 por estar inscrito en una semicircunferencia c) ACB Ejercicio nº 9.- Sabiendo que el ángulo AOB 94, calcula cuanto miden los ángulos Pˆ y Qˆ. Pˆ Qˆ abarcan el mismo arco ˆ ˆ AOB 94 P Q 47 Ejercicio nº 10.- Halla el valor de los seis ángulos señalados en la figura: 5 (abarcan un arco de 50) 45 (abarcan un arco de 90)
15 SOLUCIONES EJERCICIOS MAPAS Y ESCALAS Ejercicio nº 11.- Los lados de un terreno triangular miden 10 m, 170 m y 100 m. Se hace un mapa del terreno a escala y el lado más grande mide 4, cm. a Calcula la escala con la que ha sido dibujada. b Halla la medida en el mapa de los restantes lados. 10 m 1000 a) Escala : , cm 4, b Medida en el mapa de los otros dos lados: 170 m cm 3,4 cm 5000 cm 5000 cm cm cm 5000 cm Ejercicio nº 1.- Un arquitecto ha hecho el siguiente plano a escala 1:80 de un terreno destinado a jardín: Mide sobre el plano AB, AC y BC y calcula las dimensiones reales del jardín. Midiendo en le plano se obtiene AC cm, BC 3,5 cm y AB 5 cm. Las dimensiones reales son AB cm 4 m BC 3, cm,8 m AC cm 1,6 m Ejercicio nº 13.- En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 5,5 cm. a Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 99 km? b En ese mismo mapa, cuál será la distancia real entre dos poblaciones que distan 4 cm? 0
16 a Sabemos que 5,5 cm en le plano equivalen a 99 km en la realidad; para averiguar la escala nos interesa saber: 1 cm en el plano, a cuántos kilómetros equivalen en la realidad? 99 km ,5 cm 5,5 La escala es 1: b Distancia real cm 7 km Ejercicio nº 14.- Maria ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula las dimensiones reales de la habitación y de la cama. Dimensiones en el plano de la habitación: Largo 6,5 cm Ancho 6,3 cm Dimensiones reales de la habitación: Largo 6, cm 3,5 m Ancho 6, cm 3,15 m Dimensiones en el plano de la cama: Largo 3,8 cm Ancho,7 cm En realidad, las dimensiones de la cama serán: Largo 3, cm 1,9 m Ancho, cm 1,35 m Ejercicio nº 15.- En un libro de biología observamos el dibujo de una célula. Sabemos que su diámetro real es de 10 5 m y en el dibujo mide 4 cm. a Calcula la escala con la que ha sido dibujada. 1
17 b Una pulga cuyo tamaño es de mm, cuánto medirá si la dibujas con la misma escala? m 10 cm a) Escala,510 1:,510 4 cm 4 cm cm 3 b) Medida de la pulga en el dibujo 0,8 10 cm 800 cm 8 m 4,510 cm SOLUIONES EJERCICIOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Ejercicio nº 16.- a Los triángulos APQ y ABC, son semejantes? Razona la respuesta. b) Calcula x BP. a APQ y ABC son semejantes porque están en posición de Tales, es decir: Tienen un ángulo común, Aˆ. Los lados opuestos a Aˆ PQ y BC son paralelos. b Dado que ambos triángulos son semejantes, los lados son proporcionales 8 8 x 4 8 x x 36 3x x Luego BP 1 cm. Ejercicio nº 17.- Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos
18 Cuánto miden los lados a y b? Por tener los lados paralelos, ambos triángulos son semejantes se puede encajar el triángulo pequeño en el grande y por tanto estar en posición de Tales. Luego los lados son proporcionales: 6 1 1,4 b 4,8 cm,4 b 6 6 a 6 6 a 15 cm,4 6,4 Ejercicio nº 18.- Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo a CD a Explica por qué los triángulos OAB y ODC son semejantes. b Calcula x e y. a) Por ser CD paralelo a AB se tiene que D A y C B ; por tanto los triángulos OAB y ODC tienen dos ángulos respectivamente iguales, luego son semejantes. 13,3 10,6 13,37,5 b) x 9,41 cm x 7,5 10,6 9 10,6 97,5 y 6,37 cm y 7,5 10,6 Ejercicio nº 19.- Dos triángulos ABC y ABC son semejantes y su razón de semejanza es 1,6. Calcula los lados del triángulo ABC si sabemos que AB 10 cm BC 9 cm AC 17 cm Por ser ABC y ABC semejantes, sus lados son proporcionales: AB BC AC 1,6 AB BC AC Luego 3
19 AB 1, cm BC 1,6 9 14,4 cm AC 1,6 17 7, cm Ejercicio nº 0.- En un triángulo ABC, la base AB mide 0 m y la altura relativa a esa base mide 6,6 m. Calcula el área de otro triángulo semejante a ABC, ABC, en el que AB 8 m. Calculamos la altura h del triángulo ABC sabiendo que por ser semejante al triángulo ABC se tiene AB h 0 6,6 6,68 h,64 m AB h 8 h 0 AB h 8,64 Área del triángulo ABC 10,56 m SOLUCIONES EJERCICIOS TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio nº 1.- Halla el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio. Aplicamos el teorema de Pitágoras: x x x ,83 El lado del cuadrado mide,83 cm. Ejercicio nº.- En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 1 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual. 4
20 Aplicamos el teorema de Pitágoras: 1 h 5 h h ,91 La altura mide 10,91 cm. Ejercicio nº 3.- Halla la altura de un rectángulo cuya base mide 1 cm y su diagonal, 9 cm. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 9 x 1 x x La altura mide 0 cm. Ejercicio nº 4.- Halla la altura de un triángulo equilátero de 3 cm de lado. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 3 h 1,5 h 9,5 6,75 h 6,75,6 La altura mide,6 cm. Ejercicio nº 5.- El lado de un rombo mide 5 dm, y su diagonal menor mide 14 dm. Cuánto mide la otra diagonal? Aplicamos el teorema de Pitágoras: 5 x 7 x x
21 La otra diagonal mide x 48 dm. Ejercicio nº 6.- Desde un punto P se traza una tangente a una circunferencia. La distancia de P al punto de tangencia es de 35 cm, y la distancia de P al centro de la circunferencia es de 37 cm. Cuánto mide el radio? Aplicamos el teorema de Pitágoras: 37 r r 15 r r cm Ejercicio nº 7.- En una circunferencia de radio 1 cm trazamos una recta a 7 cm de su centro. Cuál es la longitud de la cuerda que determina esta recta en la circunferencia? Aplicamos el teorema de Pitágoras: 1 x 7 x x 95 9,75 Longitud de la cuerda x 19,50 cm Ejercicio nº 8.- Los radios de dos circunferencias miden 3 cm y 8 cm, respectivamente. El segmento de tangente exterior común mide 1 cm. Calcula la distancia entre sus centros. 6
22 Aplicamos el teorema de Pitágoras: x x cm Ejercicio nº 9.- Los radios de dos circunferencias miden 8 cm y 3 cm, respectivamente. La distancia entre sus centros es de 15 cm. Halla la longitud del segmento de tangente exterior común. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 15 x 5 x x 00 14,14 cm Ejercicio nº 30.- En una circunferencia de 41 dm de radio trazamos una cuerda de 18 dm de longitud. Halla la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 41 y 9 y y dm 7
23 SOLUCIONES EJERCICIOS LUGAR GEOMÉTRICO Y CÓNICAS Ejercicio nº 31.- Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano, que están a 3 cm de la recta r. Los puntos del plano que están a 3 cm de r, son dos rectas paralelas a r : Ejercicio nº 3.- Las rectas r y s se cortan en O. Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambas rectas. 8
24 El lugar geométrico obtenido es la bisectriz del ángulo Oˆ. Ejercicio nº 33.- Tenemos el segmento de extremos A y B. de longitud AB 5 cm. Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de A que de B? Dibújalo. El lugar geométrico pedido es la mediatriz del segmento AB. Ejercicio nº 34.- Dado el punto O, cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan cm de O? Dibújalo..O El lugar geométrico es una circunferencia de centro O y radio cm. Ejercicio nº 35.- Dibuja el arco capaz para el segmento de extremos A y B, de longitud AB 4 cm correspondiente al ángulo de 90. 9
25 El arco capaz correspondiente al ángulo de 90 es una semicircunferencia. Ejercicio nº 36.- Usa la siguiente trama para dibujar a Una elipse de focos F y F y constante d 0. b Una hipérbola de focos F y F y constante d 4. a En la elipse se observa que: PF 14 PF PF PF 6 Cualquier punto de la elipse cumple esta condición. b En la hipérbola se observa que: 30
26 QF 7 QF 11 RF 9 RF 5 QFQF RF RF Cualquier punto de la hipérbola cumple que SF SF 4. Ejercicio nº 37.- Usa la trama dada para dibujar a Una elipse de focos F y F y constante d 8. b Una hipérbola de focos F y F y constante d 6. a En la elipse se observa que: PF 13 PF PF PF 15 Se puede comprobar que cualquier punto de la elipse dibujada cumple esta condición. b En la hipérbola se observa que: RF 14 RF RF RF 8 31
27 QF 6 QF 1 QFQF Se puede comprobar que cualquier punto de la hipérbola cumple que SF SF 6. Ejercicio nº 38.- Utiliza la trama adjunta para dibujar las parábolas de foco F y directrices d 1 y d : La parábola de foco F y directriz d 1 verifica que: PF 6 PF distp, d distp, d1 6 1 Se puede comprobar que cualquier punto de esta parábola está a la misma distancia del foco F que de la directriz d 1. La parábola de foco F y directriz d verifica que: QF 5 QF distq, d distq, d 5 Cualquier punto de la citada parábola está a la misma distancia de F que de d. 3
28 Ejercicio nº 39.- Utiliza la trama adjunta para dibujar a Una elipse de focos F y F y constante d 16. b Una hipérbola de focos F y F y constante d 8. a En la elipse se observa que PF 6 PF PF PF 10 Cualquier punto de la elipse dibujada cumple esta condición. b En la hipérbola se observa que: QF 15 QFQF QF 7 RF 7 RF 15 RF RF Cualquier punto de la hipérbola cumple que SF SF 8 33
29 Ejercicio nº 40.- Utiliza la siguiente trama para dibujar: a Una parábola de foco F y directriz d 1. b Una parábola de foco F y directriz d. a) La parábola de foco F y directriz d 1 verifica que: PF 6 PF distp, d1 distp, d1 6 Se puede comprobar que cualquier punto de esta parábola está a la misma distancia del foco F que de la directriz d 1. b La parábola de foco F y directriz d verifica que: QF 7 QF distq, d distq, d 7 Cualquier punto de esta parábola está a la misma distancia de F que de la directriz d. 34
30 SOLUCIONES EJERCICIOS CÁLCULO DE ÁREAS Ejercicio nº 41.- Halla el área de la parte coloreada de la figura, sabiendo que: E es el punto medio de CD. F es el punto medio de AC. H es el punto medio de AB. G es el punto medio de AH. AB 8 cm y BD 6 cm Área del rectángulo bh cm bh 3 Área de 3 cm bh 43 Área de 6 cm bh 4 6 Área de 1 cm Área de la parte coloreada cm Ejercicio nº 4.- Halla el área de la siguiente figura: 35
31 Hallamos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras: 5 x 4 x cm La base mayor del trapecio medirá cm. r Área de 6,8 cm B b h Área de cm Área total 6,8 8,8 cm Ejercicio nº 43.- Halla el área de esta figura: Hallamos la altura del triángulo equilátero: h ,93 cm bh 8 6,93 Área del triángulo 7,71cm r 4 Área del semicírculo 8 5,13 cm Área total 7,71 5,13 5,84 cm 36
32 Ejercicio nº 44.- Halla el área de la siguiente figura: Área del rectángulo bh cm bh 6 4 Área del triángulo 1 cm Área del paralelogramo bh 4 10, cm Área total cm Ejercicio nº 45.- Halla el área de la siguiente figura: 37
33 Área de bh 5,51 5,5 cm Área de bh 1,5 3 4,5 cm bh 1,5 1 Área de 0,75 cm Área total 5,5 4,5 0,75 10,75 cm Ejercicio nº 46.- Halla el área de la siguiente figura: r,5 80 Área del sector circular 4,36 cm Área del rectángulo bh 5 10 cm Área del círculo formado por los dos semicírculosr 1 3,14 cm Área total 4, ,14 11, cm Ejercicio nº 47.- Halla el área de la parte sombreada: 38
34 Área del rectángulo cm Área del segmento de parábola cm 3 Área de cm Calculamos la base del triángulo: x cm 15 5 Área del triángulo 30 cm Área total cm Ejercicio nº 48.- Calcula el área de la parte sombreada: r 0,5 cm R 1,5 cm ab 1,5 Área de la semielipse 1,5 4,71cm Área del rectángulo bh 73 1cm R r Área de la corona circular 1,5 0,5 6,8 cm Área total 4,71 1 6,8 38,7 cm 39
35 Ejercicio nº 49.- Halla el área de la zona sombreada: Área del segmento de parábola 91 7 cm 3 3 Área del semicírculo 14,14 cm Área total 7 14,14 86,14 cm Ejercicio nº 50.- Halla el área de la zona coloreada: Radio de la circunferencia 5 cm bh 55 Área de Área de 1,5 cm r 5 Área de 6,5 19,63 cm 4 4 Área total 1,5 19,63 44,63 cm 40
36 Ejercicio nº 51.- Halla el área de la parte sombreada: 3 La parte sombreada ocupa del área del cuadrado. Por tanto: Área 6 13,5 cm 8 8 Ejercicio nº 5.- Halla el área de la parte sombreada: La parte sombreada ocupa lo mismo que la que está sin sombrear, es decir, la mitad del rectángulo. Por tanto: 1 36 Área cm Ejercicio nº 53.- Halla el área de la siguiente figura: Como y, el área total es el área del rectángulo de base 5,5 cm y altura 3 cm; es decir: 41
37 Área 5,5 3 16,5 cm Ejercicio nº 54.- Halla el área de la parte sombreada: La parte sombreada equivale a 1 5 Área 5 6,5 cm del cuadrado. Por tanto: Ejercicio nº 55.- Halla el área de la parte sombreada en esta figura: La parte sombreada ocupa 4 Área 6 16 cm del cuadrado. Por tanto, su área es: Área del rectángulo cm 4
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8 GEOMETRÍA DEL PLANO
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