CAPÍTULO 7. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

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1 CAPÍTULO 7 DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO Introducción Avanzando sobre las propiedades que rodean al triángulo, se han destacado hasta el momento las que se derivan fundamentalmente de la congruencia Ahora se pasa a revisar todas las propiedades que tienen que ver con las relaciones de desigualdad entre sus elementos, bien en un mismo triángulo, bien en triángulos diferentes Debo agregar que el estudiante puede percibir un grado de dificultad mayor a aquel que se maneja en los conceptos de congruencia, pero esta situación es normal puesto que nuestras estructuras mentales están mejor adaptadas para percibir con mayor facilidad las primeras Objetivos Específicos 1 Presentar los resultados que se verifican, para un mismo triángulo en las relaciones métricas de desigualdad entre ángulos y lados y sus recíprocos Mostrar con contraejemplos que estás relaciones solo pueden cumplirse en un mismo triángulo a diferencia de aquellas (teorema de la bisagra y su recíproco) que se verifican en triángulos distintos 2 Destacar la importancia del teorema de la desigualdad triangular y su aplicación en las condiciones métricas de construcción de triángulos 3 Mostrar en los ejercicios propuestos, aplicaciones concretas de este tema en la determinación de rutas mínimas

2 71 RELACIONES LADOS VERSUS ÁNGULOS EN UN MISMO TRIÁNGULO TEOREMA 43 Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor Hipótesis: BC, m AB m BC Tesis: Aˆ Cˆ, A < C Demostración AB Razonemos por reducción al absurdo Figura 114 Supongamos que Aˆ Cˆ, entonces el triángulo BC es isósceles y por tanto AB BC Absurdo Luego Aˆ Cˆ Como m AB m BC, existe D entre B y C tal que BD AB (Figura 115) A Figura 115

3 ABD Por tanto es isósceles y BAD ˆ BDˆ A esto es Como el ángulo es exterior al triángulo DC,, luego Ahora, como D está entre B y C, entonces AD está en el interior del ángulo y TBT Luego y en consecuencia A

4 72 RELACIONES ÁNGULOS VERSUS LADOS EN UN MISMO TRIÁNGULO De otro modo: En cualquier triángulo BC, si entonces: m AB m AC (Figura 116) TEOREMA 44 Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor Demostración Razonemos por reducción al absurdo Sea y supongamos que AB m AC Si m AB m AC entonces el triángulo ABC es isósceles y por tanto Absurdo! Figura 116 Si m AB m AC entonces, por el teorema anterior, Absurdo! Luego, m AB m AC Observación Los teoremas 43 y 44 nos dicen que en un mismo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa A m

5 73 RELACIONES PERPENDICULAR VERSUS OBLICUAS Definición 32: Rectas Oblicuas Se designan en esta forma a dos rectas distintas que se intersectan sin formar ángulos rectos TEOREMA 45 Si desde un punto exterior a una recta se trazan un segmento perpendicular y dos segmentos oblicuos, entonces: i) ii) El segmento perpendicular es el de menor longitud De los segmentos oblicuos es mayor el que se aparta más del pie de la perpendicular iii) Si los dos segmentos oblicuos no tienen la misma longitud, el de mayor longitud se aparta más del pie de la perpendicular Demostración i) Sea Q el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta L, y sea R cualquier otro punto de L Veamos que: m PQ mpr Figura 117

6 En efecto, sea S un punto de L, tal que Q esté entre S y R Entonces PQS ˆ es exterior a el triángulo Q R, luego Como, entonces y por el teorema 44, m P PR mpq Los numerales ii) y iii) se dejan al lector Observaciones El teorema anterior nos permite afirmar que la distancia de un punto a una recta es el segmento de menor medida que se puede trazar entre el punto y la recta Análogamente queda demostrado que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos por qué?

7 74 TEOREMA DE LA DESIGUALDAD TRIÁNGULAR TEOREMA 46 (Desigualdad Triangular) La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado Demostración Sea ABC Figura 118 Tomemos un punto D sobre la recta BC, tal que B esté entre D y C y DB AB Como m DC m DB m BC entonces, m DC m AB m BC (1) Además, (2) ya que B está en el interior de DA ˆ C Como DAB es isósceles, por (2) y (3) y, en consecuencia en DC, m AC mdc De (1 ) y (4) se deduce que: (4) (Teorema 44) AC AB BC A COROLARIO 1 La longitud de un lado cualquiera de un triángulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados En efecto, como m AC m AB m BC entonces, m BC m AC m AB

8 COROLARIO 2 Sea M un punto interior del triángulo m Figura 119 BC Entonces, A AM mmc mab mbc

9 75 TEOREMA DE LA BISAGRA (CHARNELA) TEOREMA 47 Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el lado opuesto del primer triángulo es mayor que el lado opuesto del segundo Figura 120 Hipótesis: DE Tesis: m BC m EF AB AC DF Demostración Como existe un punto Q interior a ˆ tal que CAQ ˆ EDˆ F (Ver Figura 121) Figura 121 Sobre AQ tomemos un punto K tal que AK DE El triángulo AK C D E F (L-A-L)

10 Por tanto: CK EF (1) Tracemos la bisectriz de BAK ˆ, sea M el punto donde la bisectriz corta al lado BC Ya que AB DE y AK DE, entonces AB AK Luego, ABM AK M (L-A-L) y en consecuencia, BM MK (2) En el triángulo CKM, m CK m MK m MC (Teorema 46) mmc mbc, entonces: EF mbc De (1) y (2) m EF m BM m MC Pero, m BM m

11 76 TEOREMA DUAL DE LA BISAGRA TEOREMA 48 Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo Hipótesis: Demostración AC DF AB DE m BC mef Razonemos por reducción al absurdo Supongamos que Figura 122 Tesis: Si entonces ABC D E F (L-A-L) y en consecuencia BC EF Absurdo! Si, entonces m BC m EF Absurdo! m Luego, BC > m EF

12 77 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Desigualdades en el triángulo 1 Determinar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas 11 En todo triángulo el valor de cualquier ángulo es menor que la suma de los otros dos 12 En todo triángulo la medida de un lado es mayor que la diferencia de las medidas de los otros dos lados 13 Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces no puede ser isósceles 14 Dados: ABC y A' B' C' i Si y entonces BC AC ii Si entonces AB AC y AB BC iii Si AC AB y AB BC entonces ˆ ˆ iv Si ' entonces BC B'C' v Si ˆ ˆ' y ˆ ˆ ' entonces ' vi Si AB A'B' y BC B'C' y A' C' AC entonces ' vii Si AB A'B' y ˆ ˆ ', entonces, ' viii Si AB BC A' B' B' C' entonces AC A'C' ix Si ' ' entonces ' x Si AB A'B' y AC A'C' entonces BC B'C' 2 En la figura se tiene: i P Int ABC ii AP AB iii HB AH

13 Bajo la hipótesis anterior, indicar para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera, falsa o no es posible afirmar nada por falta de información 21 AB PB 22 PAB ˆ APB ˆ 23 AP PB 24 AC AB 25 APB ˆ Cˆ 3 Demostrar: 26 AC CB AP PB 27 CBA ˆ CAB ˆ 28 APB ˆ ABP ˆ 29 CBA ˆ PAB ˆ 210 PH AH 31 Si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, dicho punto no equidista de los extremos del segmento 32 Si un punto no equidista de los extremos de un segmento, dicho punto no pertenece a la mediatriz del segmento 33 Si un punto interior a un ángulo no pertenece a la bisectriz del ángulo, dicho punto no equidista de los lados del ángulo 34 Reciproco del literal anterior 4 En un triángulo ABC, AM es la mediana asociada a BC y AH es la altura correspondiente a BC Si C está entre M y H demostrar que: 41 AM AB 42 AM AC 43 AB AC 44 m AMB ˆ 5 En un triángulo ABC, las bisectrices de Bˆ y Ĉ se cortan en D; AD AC y DH BC Demostrar: 51 BD CD 52 BH CH 6 En la figura se tiene que: A, B, C son colineales AB BD CD Demostrar 61 ABD ˆ ADB ˆ 62 AD DC 63 AD BC mamc ˆ

14 7 Demostrar que la altura asociada a la hipotenusa en un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa 8 En la figura se tiene que: D está entre A y C, AD DB ; AB AD Demostrar que: ABC es escaleno 9 En la figura se tiene que: D está entre A y B, F está entre A y C, CD BF 0 AB AC, BD FC Demostrar que: 91 BF CD 92 m DOF ˆ 3 10 Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo está comprendida entre el semiperímetro y el perímetro del triángulo

15 11 Demostrar que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está comprendida en el semiperímetro y el perímetro del triángulo 12 Sean: A B Determinar un punto P, P l ; tal que AP PB sea mínima Demuestre que P es único 13 Sean: A, B puntos interiores de XOY ˆ Localizar los puntos P y Q sobre OX y OY respectivamente de tal manera que AP PQ QB sea mínima

16 78 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 Demuestre que en un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es menor que la hipotenusa i ABC Hipótesis ii iii Tesis: AH < BC Demostración BACrecto AH BC 1 BA < BC ; de ii Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas 2 AH < ; AB de iii Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas 3 AH < ; BC de 1 y 2 transitividad Ilustración N 2 En la figura se tiene: i ABC ii D está entre A y B

17 iii iv F está entre A y C BF CD = {O} v AB > AC vi BD FC Demuestre: Demostración 1 BF > CD 2m (DOF) > α+β+θ 3 1 ACB > ABC; de 5 Teorema relaciones lados vs ángulos en el ABC 2 BF > CD de vi Y 1 Teorema de la bisagra en los BCF y BCD 3 m (DOF) > ; Teorema Ext en OBD 4 m (DOF) > ; Teorema Ext en OCF 5 m (DOF) > m (OFC) ; Teorema Ext en OCF ) 6 m (OFC) > m ( ; Teorema Ext en ABF 7 m (DOF) > m ( ; transitividad 5 y 6 8 3m (DOF) > m ( +m ( ) + m ( ) sumando miembro a miembro 7, 3, 4 9 m (DOF) > α+β+θ ; despejando en 8 3 ) )

18 Ilustración N 3 Demuestre que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está comprendida entre el semiperímetro y el perímetro del triangulo Hipótesis Tesis: i ABC ii AM 1 mediana iii BM 2 mediana iv CM 3 mediana AB+BC+AC 2 Demostración < AM 1 + BM 2 + CM 3 < AB + BC + AC 1 AM 1 > AB BM 1 ; Teorema desigualdad triangular en ABM 1 2 AM 1 > AC CM 1 ; Teorema desigualdad triangular en ACM 1 3 2AM 1 > AB + AC (BM 1 + CM 1 ) ; sumando miembro a miembro 1 y 2 4 2AM 1 > AB + AC BC ; propiedad de la medida en 3 Este resultado es en consecuencia un teorema que podemos aplicar a las otras dos medianas, así: 5 2BM 2 > BA + BC AC; Teorema 6 2CM 3 > CA + CB AB ; Teorema

19 7 2(AM 1 + BM 2 + CM 3 ) > AB + BC + AC ; sumando miembro a miembro 4, 5 y 6 8 AM 1 + BM 2 + CM 3 > AB+BC+AC 2 ; despejando en 7 Para determinar la cota superior se requiere de una construcción auxiliar así: 9 En la semirrecta opuesta a M 1 A, construimos M 1 P M 1 A Axioma construcción del segmento 10 Determinamos CP ; definición segmento 11 AM1B CM1P ; Teorema propiedad ángulos opuestos por el vértice 12 AM 1 B PM 1 C (L-A-L); de ii Consecuencias: AB PC AP < AC + PC ; Teorema de la desigualdad triangular en ACP 14 2AM 1 < AC + AB ; sustitución de 9 y 12 en 13 Este resultado se constituye también en otro teorema que se aplica a las otras dos medianas así: 15 2BM 2 < BA + BC Teorema 16 2CM 3 < CA + CB Teorema 17 2(AM 1 + BM 2 + CM 3 ) < 2(AB + BC + AC) ; sumando miembro a miembro 14, 15 y AM 1 + BM 2 + CM 3 < AB + BC + AC ; ley cancelativa en AB+BC+AC 2 Ilustración N 4 < AM 1 + BM 2 + CM 3 < AB + BC + AC; de 8 y 18 Sea P un punto interior cualquiera del triángulo ABC Demostrar que PA + PB < CA + CB

20 Hipótesis i Sea ABC ii P ε interior del ABC Tesis: PA + PB < CA + CB Demostración 1 AP BC = {M}; teorema de la barra transversal 2 AM < AC + CM ; por desigualdad triangular 3 PB < BM + MP ; razón de 2 4 (AM + PB) < AC + CM + BM + MP ; propiedad de los reales 5 (AP + PM + PB) < AC + CM + BM + MP ; de la figura: AM = AP + PM 6 PA + PB < CA + CB; propiedad de la medida y CM + MB = CB IlustraciónN 5 En un triángulo ABC se da A D B tal que CB CD DA Demostrar que: AC > CD, ACB > A ; AC > DB Hipót i ABC ii iii A D B CB CD DA Tesis: AC > CD, ACB > A ; AC > DB Demostración 1 AB > AD ; de la relación A D B 2 AB > CB ; sustitución de iii) en 1 3 ACB > A; de 2; relación lados versus ángulos en ABC

21 4 ADC > B; ADC es exterior al BCD 5 ADC > CDB ; sustitución en 4 de B y CDB 6 CDB > A ; CDB es exterior al ABC 7 ADC > A; de 5 y 6; transitividad 8 AC > CD ; de 7; relación ángulos versus lados en ADC 9 CB CD DA ; hipótesis iii 10 ADC > DCB; ADC es exterior al DCB 11 AC > DB ; de 9 y 10; teorema de la bisagra