1. Indicar para cada una de las proposiciones, si son verdaderas o falsas, justificando su determinación. + 1 = 1

Transcripción

1 10.7 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Indicar para cada una de las proposiciones, si son verdaderas o falsas, justificando su determinación. 1.1 Si a = c, entonces, necesariamente a = c y b = d b d 1.2 Siempre se cumple que a b + c d = a+c b+d 1.3 Siempre se cumple que 1 a + 1 b + 1 c = a+b+c 1.4 Siempre se cumple que a+b+c 1.5 Siempre se cumple que a 1 a.b.c a.b.c = b.c a.c a.b + a 2 + a 3 = a 1+a 2 +a 3 b 1 b 2 b 3 b 1 +b 2 +b Toda fracción representa una razón. 1.7 Toda razón se puede expresar como una fracción. 1.8 La media proporcional de 3 y 7 es igual a La media proporcional de 11 y 5 es igual a 7, En el ABC de la figura se tiene: P 1 Q 1 P 2 Q 2 P 3 Q 3 AC, los numerales siguientes se refieren a la información proporcionada por esta figura. Determine su validez. 2.1 AP 1 = AP 3 CQ 1 CQ P 1P 2 A = P 1Q 1 P 2 P 3 P 3 Q A P 2 A B = CQ 2 C D P1 Q1 Q2 P2 B P3 Q3 C

2 3. En el ABC de la figura se tiene: QC = AQ ; los numerales siguientes se refieren a la PC PB información suministrada por esta figura. Determine su validez. 3.1 PB = AB y QA = BA PC AC QC BC 3.2 QP AB 4. En la figura se tiene: M, T, K, H son colineales; HK HM = SK SM ;TS H recto. Los numerales siguientes se refieren a la información suministrada por esta figura. Determine su validez. 4.1 KT 4.2 MT = ST KH SH = ST MH SH 4.3 SK es bisectriz de TS H 4.4 SH es bisectriz de FS K 4.5 TK = SK TM SM 5. En el ABC, C recto, AC se divide en 10 segmentos congruentes, AP 1 P 1 P 2 P 9 C; por cada punto P i se traza la paralela a BC; que intercecta en Q i al segmento AB. Si BC = 5 unidades, calcule: P 1 Q 1 + P 2 Q P 9 Q 9

3 6. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas, justificando su determinación. En el ABC de la figura se tiene: P 1 P 1 P 2 P 2 BC ; P 1 S 1 P 2 S 2 AB ; P 1 S 1 P 2 P 2 = {K} 6.1 AP 1 P 1 ~ ABC 6.2 CP 1 S 1 ~ CP 2 S 2 g 6.3 AP 1 P 1 ~ P 2 CS AP = P 1P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 AP 1 P 1 P AP 1 = P 1P 1 KP 2 P 2 P 2 = P 1P 1 = AP 1 KP 2 KP CS 2 = S 2 P 2 = S 1 S 2 = S 1 P 1 S 2 S 1 S 1 P 1 BS 1 AB 6.8 KP 2 = P 1 P 2 = KP 1 BC AC AB 6. 9 P 1P AP 1 = P 1 K P 2 B P 2 S 2 = P 2K AP 2 P 2 P P 2 KS 1 B ~ KP 2 S 2 S P 1 P 2 KP 1 ~ KS 1 S 2 P 2 B P 2 P 1 A P 1 S 1 S 2 P 2 C 7. Demuestre que en triángulos semejantes, las alturas, las medianas y las bisectrices asociadas a lados homólogos, conservan la misma razón de semejanza.

4 8. Los lados de un ABCmiden 7, 10 y 13 unidades. Si el perímetro de un A B C semejante a él mide 90 unidades, calcule: Las medidas de cada lado en el A B C Las medidas de una altura, una mediana y una bisectriz asociadas a uno cualquiera de los lados en el ABC y las medidas respectivas para cada uno de estos elementos asociados al lado homogéneo en el A B C 9. En el ABC de la figura, M 1, M 2,M 3 son puntos medios respectivamente. Demuestre que: AM 1 M 3 ~ BM 1 M 2 ~ CM 2 M 3 ~ M 1 M 2 M 3 ~ ABC B 10. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b unidades respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. Este segmento divide al lado en la razón m:n. calcule la medida del segmento. 11. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 unidades y los lados no paralelos miden 10 y 12 unidades. Calcule: M1 A M 2 La medida de las diagonales del trapecio. La medida de las alturas y los lados del triángulo con vértices en la intersección de los lados no paralelos del trapecio y en los extremos de la base mayor. 12. Se tiene el ABC rectángulo, con las dimensiones indicadas, AH BC.Si b c = 1 3 M3 A C, calcule HC HB B C

5 13. Si en un triángulo rectángulo las medidas de sus catetos son a y b unidades respectivamente y la medida de su hipotenusa es igual a c unidades, demuestre que 1 + a 2 1 = 1 b 2 c Propiedad métrica del ortocentro: Demuestre que en todo triángulo, el producto de las medidas de los dos segmentos en los que el ortocentro divide a cada altura, es constante para las tres alturas. 15. En la figura los triángulos: ABC y ABD son rectángulos con AC hipotenusa común y con las dimensiones señaladas. Demuestre que AD = a Un punto P es exterior a C(O, R) y su distancia a O es de 13 cm. Una recta que pasa por P intersecta a C(O, R) en los puntos Q y R de tal forma que el segmento externo PQ mide 9 cm y QR = 7 cm. Calcule el radio de la circunferencia. 17. En el ABC rectángulo de la figura se tiene que T esta entre A y B y con las dimensiones señaladas. Pruebe que AT = x = a.c 2c+a

6 18. En la figura C(O, R) y C(O, R ) son tangentes en T, R = 3R,AB es tangente a ambas circunferencias, AB OO = {P}; TK cuerda diametral. Demuestre que: KP = R 19. Dada C(O, R), AB es una cuerda, WK mediatriz de AB, WK AB = {M}, S entre A y M; DH cuerda, DH AM = {S}. Demuestre que: DSM DHK

7 20. En la figura se tiene: C AD B con las dimensiones señaladas. Calcule AB 21. En el rectángulo ABCD de la figura, P Int (ABCD) con las medidas indicadas calcule PC. Sugerencia: Determine los segmentos asociados a las distancias de P a cada lado del rectángulo y analice los triángulos rectángulos que se generan. 22. En el ABC rectángulo, BM 1 y CM 2 son medianas con BM 1 = 6 y CM 2 = 4,5. Calcule BC. 23. En el ABC de la figura AT y CP son bisectrices del triángulo; a, b, c representan las medidas de los lados como se indica. Si AP PB TC = K, determine el valor de K. TB

8 24. En el ABC rectángulo, de la figura TPQC es un rectángulo, AC = 7, BC = 11, BT = a. Demuestre que el perímetro de PQCT es igual a 242 8a En la C(O, R) de la figura se tiene: AT y DE cuerdas diametrales, PT tangente a C(O, R), B esta entre P y T, PT = 2R, PD PB, D esta entre O y P. Demuestre que: PB 2 = PT BT 26. Calcule, para cada una de las situaciones que se presentan, el valor de la magnitud señalada como x, tenga en cuenta las hipótesis auxiliares.

9 27. Se tiene C(O, R) y C(O, R ) coplanarias, d(o, O ) = 37 unidades, R = 7 unidades, R = 4 unidades. Si T 1 T 1 es un segmento tangente interior a las dos circunferencias, calcule T 1 T Con relación a C(O, R), T 1 T 2 es una cuerda diametral, AT 1 y BT 2 tangentes a C(O, R); AT 2 BT 1 = {K}. Si AT 1 = m y BT 2 = n, demuestre que T 1 T 2 = m. n Sugerencia: Aplique en el AT 1 T 2 las relaciones métricas generadas por la proporcionalidad y tenga en cuenta que este triángulo es semejante al BKT En la figura se tiene ABCD es un trapecio, AB es la base menor, DC es la base mayor, AC BD = {O}, EF AB,O esta entre E y F. Demuestre: 29.1 AO = BO = AB OC OD CD

10 29. 2 OE OF 30. Recta de Euler. Demuestre que en todo triángulo el baricentro, el ortocentro y el circuncentro son colineales. 31. En la figura ABCD es convexo; E punto medio de AC, F punto medio de BD; AE = EC = m; DF = FB = n, EF = h, y las demás medidas indicadas. Demuestre que a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = (2m) 2 + (2n) 2 + (2h) 2. Sugerencia: Aplique la relación de Stewart en ABD para calcular AF 2 Aplique la relación de Stewart en BCD para calcular CF 2 Aplique la relación de Stewart en AFC para calcular FE Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma delos cuadrados de sus diagonales. 33. En la figura los ABC y A B C, se tiene B y B rectos, C C. Demuestre que:ab. A B + BC. B C = AC. A C