4-1 Cómo clasificar triángulos (págs )

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Sebastián Villalobos Lagos
hace 6 años
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1 Vocabulario ángulo base ángulo del vértice ángulo externo ángulo incluido ángulo interno ángulo interno remoto ángulos correspondientes base catetos de un triángulo isósceles corolario exterior interior lado incluido lados correspondientes línea auxiliar PCTCC polígonos congruentes demostración de coordenadas rigidez del triángulo triángulo acutángulo triángulo equiangular triángulo equilátero triángulo escaleno triángulo isósceles triángulo rectángulo triángulo obtusángulo Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un)? es un triángulo con por lo menos dos lados congruentes. 2. Un nombre que se da a los ángulos de triángulos congruentes que se corresponden entre sí es?. 3. Un(a)? es el lado común de dos ángulos consecutivos de un polígono. 4-1 Cómo clasificar triángulos (págs ) Clasifica el triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados. triángulo rectángulo isósceles Clasifica cada triángulo por las medidas de sus ángulos y longitudes de sus lados Relaciones entre ángulos en triángulos (págs ) EJEMPLO Halla m S. 12x = 3x x 12x = 9x x = 42 x = 14 m S = 6 (14) = 84 Halla m N En LMN, m L = 8x, m M = (2x + 1) y m N = (6x - 1). Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 13

2 4-3 Triángulos congruentes (págs ) EJEMPLO Dado: DEF JKL. Identifica todos los pares de partes correspondientes congruentes. Luego, halla el valor de x. Los pares congruentes son: D J, E K, F L, DE JK, EF KL, y DF JL. Como m E = m K, 90 = 8x Cuando se suma 22 a ambos lados, 112 = 8x. Por lo tanto, x = 14. Dado: PQR XYZ. Identifica las partes correspondientes congruentes. 8. PR? 9. Y? Dado: ABC CDA Halla cada valor. 10. x 11. CD 4-4 Congruencia de los triángulos: LLL y LAL (págs ) Dado: RS UT y VS VT. V es el punto medio de RU. Demuestra: RSV UTV Demostración: Enunciados 1. RS UT 2. VS VT 3. V es el pto. medio de RU. 4. RV UV 5. RSV UTV Razones 1. Dado 2. Dado 3. Dado 4. Def. de pto. medio 5. LLL Pasos 1, 2, Dado: AB DE, DB AE Demuestra: ADB DAE 13. Dado: GJ forma una bisectriz con FH, y FH forma una bisectriz con GJ. Demuestra: FGK HJK 14. Demuestra que ABC XYZ cuando x = -6. Demuestra que ADB CDB cuando s = Demuestra que LMN PQR cuando y = 25. AB = s 2-4s AD = 14-2s = (5) = 14-2 (5) = 5 = 4 BD BD según la propiedad reflexiva. AD CD y AB CB. Por lo tanto, ADB CDB según LLL. 14 Guía de estudio: Repaso

3 4-5 Congruencia de los triángulos: ALA, AAL y HC (págs ) Dado: B es el punto medio de AE. A E, ABC EBD Demuestra: ABC EBD 16. Dado: C es el punto medio de AG. HA GB Demuestra: HAC BGC Demostración: Enunciados 1. A E 2. ABC EBD 3. B es el pto. medio de AE. 4. AB EB 5. ABC EBD Razones 1. Dado 2. Dado 3. Dado 4. Def. de pto. medio 5. ALA Pasos 1, 4, Dado: WX XZ, YZ ZX, WZ YX Demuestra: WZX YXZ 18. Dado: S y V son ángulos rectos. RT = UW. m T = m W Demuestra: RST UVW 4-6 Congruencia de los triángulos: PCTCC (págs ) Dado: JL y HK forman una bisectriz entre sí. Demuestra: JHG LKG Demostración: Enunciados 1. JL y HK forman una bisectriz entre sí. 2. JG LG, and HG KG. 3. JGH LGK 4. JHG LKG 5. JHG LKG 1. Dado Razones 2. Def. de bisectriz 3. Teo. del vértice del 4. LAL Pasos 2, 3 5. PCTCC 19. Dado: M es el punto medio de BD. BC DC Demuestra: Dado: PQ RQ, PS RS Demuestra: QS forma una bisectriz con PQR. 21. Dado: H es el punto medio de GL. L es el punto medio de MK. GM KJ, GJ KM, G K Demuestra: GMH KJL Capítulo 4 Congruencia de los triángulos 15

4 4-7 Introducción a la demostración de coordenadas (págs ) Dado: B es un ángulo recto en el triángulo rectángulo isósceles ABC. E es el punto medio de AB. D es el punto medio de CB. AB CB Demuestra: CE AD Demostración: Usa las coordenadas A (0, 2a), B AD y CE. (0, 0) y C (2a, 0). Traza Según la fórmula del punto medio, E = ( _ , _ 2a ) = (0, a) y D = ( _ 0 + 2a,_ ) = (a, 0) Según la fórmula de distancia, CE = (2a - 0) 2 + (0 - a) 2 = 4a 2 + a 2 = a 5 AD = (a - 0) 2 + (0-2a) 2 = a 2 + 4a 2 = a 5 Por lo tanto, CE AD según la definición de congruencia. Ubica cada figura en el plano cartesiano y da las coordenadas de cada vértice. 22. un triángulo rectángulo con catetos de longitudes r y s 23. un rectángulo con longitud 2p y ancho p 24. un cuadrado con longitud de lado de 8m Para los Ejercicios 25 y 26, asigna coordenadas a cada vértice y escribe una demostración de coordenadas. 25. Dado: En el rectángulo ABCD, E es el punto medio de AB, F es el punto medio de BC, G es el punto medio de CD, y H es el punto medio de AD. Demuestra: EF GH 26. Dado: PQR tiene un Q recto. M es el punto medio de PR. Demuestra: MP = MQ = MR 27. Demuestra que un triángulo con vértices en (3, 5), (3, 2) y (2, 5) es un triángulo rectángulo. 4-8 Triángulos isósceles y equiláteros (págs ) Halla el valor de x. m D + m E + m F = 180 según el teorema de la suma del triángulo. m E = m F según el teorema del triángulo isósceles. m D + 2 m E = 180 Sustitución (3x) = 180 Sustituye los valores 6x = 138 dados. Simplifica. x = 23 Divide ambos lados entre 6. Halla cada valor. 28. x 29. RS 30. Dado: ACD es isósceles y D es el ángulo del vértice. B es el punto medio de AC. AB = x + 5, BC = 2x - 3, y CD = 2x + 6. Halla el perímetro del ACD. 16 Guía de estudio: Repaso

5 Respuestas, continuación CAPÍTULO 4 Vocabulario 1. triángulo isósceles 2. ángulos correspondientes 3. lado incluido 4-1. Cómo clasificar triángulos equiangular; equil. 5. obtuso; escaleno 4-2 Relaciones entre ángulos en triángulos Respuestas: Capítulo 4 61

6 Respuestas, continuación 4-3 Triángulos congruentes 8. XZ 9. Q Congruencia de los triángulos: LLL y LAL AB DE, DB AE (Dado) 2. DA DA (Prop. reflex. de ) 3. ADB DAE (LLL Pasos 1, 2) GJ forma una bisectriz con FH y FH forma una bisectriz con GJ. (Dado) 2. GK JK, FK HK (Def. de bisectriz de segm.) 3. GKF JKH (Teorema de opuestos por el vértice) 4. FGK HJK (LAL Pasos 2, 3) 14. BC = (-6)² + 36 = 72; YZ = 2(-6)² = 72; BC YZ; C Z; AC XZ. Por lo tanto, ABC XYZ según LAL. 15. PQ = 25-1 = 24; QR = 25; y PR = 25² - (25-1)² - 42 = 7; LM PQ; MN QR; LN PR; por lo tanto LMN PQR según LLL. 62 Respuestas: Capítulo 4

7 Respuestas, continuación 4-5 Congruencia de los triángulos: ALA, AAL y HC C es el pto. med. de AG. (Dado) 2. GC AC (Def. de pto. med.) 3. HA GB (Dado) 4. HAC BGC (Teorema de alt. int.) 5. HCA BCG (Teorema de opuestos por el vértice ) 6. HAC BGC (ALA Pasos 4, 2, 5) WX XZ, YZ ZX (Dado) 2. WXZ y YZX son rectos (Def. de ) 3. WZX y YXZ son rectáng. (Def. de rectáng.) 4. XZ XZ (prop. reflex. de ) 5. WZ YX (Dado) 6. WZX YXZ (HC Pasos 5, 4) PQ RQ (Dado) 2. PS RS (Dado) 3. QS QS (prop. reflex. de ) 4. PQS RQS (LLL Pasos 1, 2, 3) 5. PQS RQS (PCTCC) 6. QS forma una bisectriz con PQR. (Def. de bisectriz) H es el pto. med. de GJ y L es el pto. med. de MK.(Dado) 2. GH = JH, ML = KL (Def. de pto. med.) 3. GH JH, ML KL (Def. de ) 4. GJ KM (Dado) 5. GH KL (prop. de de la div.) 6. GM KJ, G K (Dado) 7. GMH KJL (LAL Pasos 5, 6) 8. GMH KJL (PCTCC) S y V son rectos (Dado) 2. S V (Teorema de rectos ) 3. RT = UW (Dado) 4. RT UW (Def. de ) 5. m T = m W (Dado) 6. T W (Def. de ) 7. RST UVW (AAL Pasos 2, 6, 4) 4-6 Congruencia de los triángulos: PCTCC M es el pto. med. de BD. (Dado) 2. MB DM (Def. de pto. med.) 3. BC DC (Dado) 4. CM CM (prop. reflex. de ) 5. CBM CDM (LLL Pasos 2, 3, 4) (PCTCC) Respuestas: Capítulo 4 63

8 Respuestas, continuación 4-7 Introducción a la demostración de coordenadas 22. (0, 0), (r, 0), (0, s) 4-8 Triángulos isósceles y equiláteros unidades 23. (0, 0), (2p, 0), (2p, p), (0, p) 24. (0, 0), (8m, 0), (8m, 8m), (0, 8m) 25. Usa las coord. A(0, 0), B(2a, 0), C(2a, 2b) y D(0, 2b). Luego, según la fórm.del pto. med., las coord. son E(a, 0), F(2a, b), G(a, 2b) y H(0, b). Según la fórmula de dist., EF = (2a - a)² + (b - 0)² = a² + b², y GH = (0 - a)² + (b - 2b)² = a² + b². Por lo tanto, EF GH según la def. de. 26. Usa las coord. P(0, 2b), Q(0, 0), y R(2a, 0). Luego, según la fórm.del pto. med., las coord. son M(a, b). Según la fórmula de dist., QM = (a 0)² + (b 0)² = (a² + b²) PM = (a - 0)² + (b - 2b)² = (a² + b²) y RM = (2a - a)² + (0 - b)² = (a² + b²). Por lo tanto, QM = PM = RM. Por def., M está equidistante de los vértices de PQR. 27. En un rectáng., a² + b² = c². (3-3)² + (5-2)² = 3 ; (3-2)² + (2-5)² = 10, (2-3)² + (5-5)² = 1 y 3² + 1² = ( 10)². Como = 10, es un rectáng. 64 Respuestas: Capítulo 4

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