Congruencia, semejanza y transformaciones isométricas

Transcripción

1 Congruencia, semejanza y transformaciones isométricas Congruencia de triángulos Definición Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. ABC = PQR AB = PQ AC = PR CB = RQ A = P B = Q C = R Postulados de congruencia de triángulos ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. LLA: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

2 Ejercicios 1. En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en T. Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)? I) PTS = STR II) PTS = RTQ III) PSR = RQP II b) Sólo I y II c) Sólo I y III 2. En la figura, PTR y SVQ son congruentes. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) TR // VQ II) PT // SV III) RQV = RPT c) Sólo III d) Sólo I y II 3. El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los triángulos AQP y P RC son congruentes. II) Los triángulos QBP y RP B son congruentes. III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC. c) Sólo III d) Sólo I y II

3 4. El triángulo ABC es isósceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r intersecta a los lados del triángulo en D y E. Cuál(es) de las siguientes afirmaciónes es(son) verdadera(s)? I) ABE = ABD II) BEC = ADC III) ABD = ADC II b) Sólo I y II c) Sólo I y III 5. En la figura, ABC = BAD, entonces es(son) verdadera(s): I) AEC = ADB II) AEC = BED III) AC = DB c) Sólo I y II 6. En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de bases BC y AE, respectivamente. Si BAC = 36 o, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) DAC = CAB II) ABC = ACD III) AEP = DCP b) Sólo I y II c) Sólo I y III

4 7. Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y AD = DB, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ADC = BDC II) ACD = 30 3 III) CD = 2 c) Sólo I y II 8. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? b) Sólo I y II c) Sólo I y III I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes. II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes. III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes. 9. En la figura ABC = ABD. Cuál de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia. II) CAB = DBA III) CBD = 90 c) Sólo III

5 10. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD es bisectriz del ángulo CAB. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El ángulo CDA mide 90. II) AD es eje de simetría del triángulo ABC. III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes. c) Sólo I y II d) Sólo III 11. Si en la figura, DA BA, CB AB y α = β. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) CB = DA II) DB = AC III) OA OB c) Sólo I y II

6 Semejanza de polígonos Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales. A = P B = Q C = R D = S E = T AB PQ = BC QR = CD RS = DE ST = EA TP Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la misma forma. Así, por ejemplo: 1. todos los cuadrados son semejantes entre sí. 2. todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí. 3. todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí. En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si. Semejanza de triángulos El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras. ABC PQR si y solo si: A = P; B = Q; C = R y AB PQ = BC QR = CA RP Teoremas de semejanza de triángulos Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

7 Teorema Fundamental Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro. Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero. Si DE // AB, entonces CDE CAB Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales. Teorema AA (o criterio AA de semejanza) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes. Hipótesis: A = D y C = F Tesis: ABC DEF Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes. Teorema LAL (o criterio LAL de semejanza) Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. CA C A = CB C B C = C ABC A B C

8 Teorema LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. AB A B = BC B C = CA C A Notas: ABC A B C Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL. Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales. Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área. Semejanza de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce: a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales. c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional. Razón entre las alturas de triángulos semejantes Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los lados respectivos.

9 Sea ABC A B C. Por el postulado AA se tiene que ADC A D C. De esa semejanza CD se deduce que: = AC C D A C En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes. h a h a = t c t c = b α b α = = λ Razón de los perimetros de dos triángulos semejantes Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera. Perímetro ABC Perímetro A B C = h c h c = b a b a Razón de las áreas de dos triángulos semejantes = Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera. ( ) 2 ( ) 2 Área ABC hc ba = = = Área A B C h c b a Observación: Al comparar por cociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas. Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si.

10 Notas: Los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes. Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos equiláteros son semejantes) Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos. Perímetro polígono ABCDE = P = a+b+c+d+e Perímetro polígono A B C D E = P = a +b +c +d +e P P = a a ; P P = b b ; ; P P = e e

11 Ejercicios 1. En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el triángulo Q? I) II) III) a) Sólo en I b) Sólo en II c) Sólo en I y en II d) Sólo en II y en III e) En I, en II y en III 2. Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, qué altura tiene la torre? a) 200 metros b) 198, 4 metros c) 113, 2 metros d) 112,5 metros e) 110 metros 3. Qué significa que dos triángulos sean semejantes? a) Que tienen igual área. b) Que tienen igual perímetro. c) Que sus lados son proporcionales. d) Que sus tres lados respectivos coinciden. e) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno.

12 4. En la figura, cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes? I) ACD y BCE II) BEC y AEB III) ACD y CAB c) Sólo III d) Sólo I y II 5. En la figura, cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes? I) ABE AFD II) FEC BDC III) CFE ABE b) Sólo I y II c) Sólo I y III 6. Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si? I) II) III) y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno de ellos son semejantes entre sí.

13 7. En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, cuál es la altura del poste? a) 3, 5 metros b) 7, 1 metros c) 14 metros d) 35 metros e) No se puede determinar. 8. En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM = 5, AB = 21 y CN = 15, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) CN : AB = CM : ED II) Área EDC = 35 2 III) Área EDC Área ABC = 1 9 b) Sólo I y II c) Sólo I y III 9. En relación a la figura, la razón AN NM a) BC AB b) AB BC c) AC BC d) AN NC e) AM AC es equivalente a: 10. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso? a) 8 m b) 10 m c) 15 m d) 40 3 e) No se puede determinar.

14 11. Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al de la figura? I) II) III) c) Sólo I y III 12. Cual de las siguientes afirmaciones es FALSA? a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes b) Todos los cuadrados son semejantes c) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes d) Todos los círculos son semejantes e) Todos los triángulos isósceles son semejantes 13. Cuál(es) de estas semejanzas es(son) verdadera(s)? I) T 1 T 2 II) T 1 T 3 III) T 2 T 4 c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III

15 Transformaciones isométricas Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta). Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías). Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x, y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella. Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación. Elsentido de giro, quepuedeser obtenido(enelsentidocontrarioal avancedelospunteros del reloj). Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación. Rotacion de 90 (x,y) ( y,x) Rotacion de 180 (x,y) ( x, y) Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P equidisten del eje de simetría y el segmento PP sea perpendicular al eje de simetría.

16 Notas: 1. Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial. 2. Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central. Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se mantiene invariante, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura. El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado. También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos. En el caso de los triángulos, tenemos: En el caso de los cuadriláteros, tenemos: Tipo Ejes Triángulo equilátero Tres ejes se simetría Triángulo isóssceles Un eje de simetría Triángulo escaleno Ningún eje de simetría Tipo Ejes Cuadrado Cuatro ejes de simetría Rectángulo Dos ejes de simetría Rombo Dos ejes de simetría Trapecioisósceles Un eje de simetría Trapezoide Ningún eje de simetría Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo. Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de lados. Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con baldosas, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir. Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos. Con polígonos regulares, la condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360. Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano.

17 Ejercicios 1. Al punto (2,3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5,2). Si al punto ( 2, 1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto. a) (1, 2) b) ( 5,0) c) (3, 1) d) ( 5,2) e) (1,0) 2. En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en 180 en el sentido horario, con centro en A. Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición? a) En (2,2) b) En (2,0) c) En (4,2) d) En (0,0) e) En (0,2) 3. En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de simetría L, es el punto: a) Q b) R c) S d) T e) U 4. Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetría? c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) Cuadrado II) Rombo III) Trapecio 5. El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de cerámicas que se ocuparían es: a) 120 b) 60 c) 40 d) 18 e) 12

18 6. Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un segmento: a) paralelo al eje x. b) paralelo al eje y. c) de la bisectriz del segundo cuadrante. d) de la bisectriz del primer cuadrante. e) perpendicular al eje x. 7. En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de MQ. Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del eje NP? a) S b) Q c) P d) N e) M 8. En la figura, se tiene un círculo de centro ( 3,2) y radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2,1) sitúa al punto P en las coordenadas: a) (1,2) b) (2,1) c) (1,1) d) (2,2) e) (0,2) 9. La figura se rota en el plano, en 180 o en torno al punto P. Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura? a) b) c) d) e)

19 10. En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90 o con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son: a) (6,2) b) ( 3,6) c) (6, 7) d) (6, 3) e) (6, 5) 11. En la figura, cuál es el punto simétrico del punto A( 1, 2) con respecto a la recta y = 3? a) ( 1,8) b) (1,8) c) ( 1,6) d) (7, 2) e) ( 1, 4) 12. Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar (o embaldosar) el plano? I I c) Sólo I y III I) Pentágonos. II) Triángulos equiláteros. III) Hexágonos. 13. Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, 3) con respecto al eje de las ordenadas? a) ( 8, 3) b) (8,3) c) ( 8,3) d) ( 3,8) e) (3,8) 14. La figura en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es un cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. Cuál(es) de ellas tiene(n) simetría central? c) Sólo III d) Sólo I y II I) II) III)

20 15. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría. II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría. III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría. 16. Enlafigura, cuáleselpuntosimétricoalpuntop(2,3),conrespectoalarectaldeecuación y = x? a) (2,1) b) ( 2,3) c) ( 2, 3) d) (2, 3) e) (3,2) 17. Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8, 3) con respecto al eje de las ordenadas? a) ( 8, 3) b) (8,3) c) ( 8,3) d) ( 3,8) e) (3,8) 18. En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadrado A B C D con respecto al eje y. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) D = ( 5,6) II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro. III) Ambos cuadrados tienen igual área. b) Sólo I y II c) Sólo I y III

21 19. En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo) con el triángulo QPR respecto al eje T, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) RS T II) QR // NS III) PMR = NQS I c) Sólo I y II d) Sólo I y III 20. En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujado con línea punteada. Cuáles son los componentes del vector de la traslación? a) (1,2) b) ( 2,1) c) ( 1,2) d) (2,1) e) ( 2, 1) 21. Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central. En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetría central? I c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) Siseredondeantodaslasesquinasdelamisma forma y tamaño. II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño. III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamaño. 22. En la figura, cuál de las siguientes transformaciones rígidas permite obtener el polígono P a partir del polígono Q? a) Simetría (reflexión) con respecto al eje y. b) Rotación en 180 o con respecto al origen. c) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación en 180 o con respecto al origen. d) Simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación en 180 o con respecto al origen. e) Rotación de 90 o con respecto al origen.

22 23. El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B( 3,8) y C(3,7). Si se aplica una traslación según el vector (5, 7), las nuevas coordenadas del triángulo serán: I b) Sólo I y II c) Sólo I y III I) A (7, 4) II) B ( 8,1) III) C (8,0) 24. En la figura, el ABC se traslada según el vector (4,2). Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A se traslada al punto de coordenadas (6,3). II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5. III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al perímetro del triángulo ABC. b) Sólo I y II c) Sólo I y III 25. En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia tiene radio 1. Si se gira 2 toda la figura en torno al centro O en 180 o, en el sentido de la flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas: ( ) 1 a) 2, 1 2 ( ) 1 b) 2,0 ( c) 1 ) 2, 1 2 d) e) ( 0, 1 ) 2 ( 1 2, 1 ) 2

23 26. Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2), B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia arriba, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4) II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7) III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4) 27. El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados iguales y uno distinto es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Dado el punto P de coordenadas (7, 9), cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje y? a) ( 7, 9) b) (7,9) c) ( 7,9) d) ( 9,7) e) ( 9, 7) 29. Si a un triángulo ABC de vértices A(1,2), B( 2,1) y C(4,0), se le aplica la traslación según el vector u = ( 5, 7), cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) A se transforma en A ( 4,9) II) B se transforma en B ( 3,8) III) C se transforma en C ( 1,7) e) Sólo II y III

24 30. A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS. Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante? a) b) c) d) e) 31. Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) respecto de y = x. Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación? a) b) c) d) e)

25 32. En la figura, las coordenadas del punto A son ( 4, 1), cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, 1). II) Al rotar el punto A en 90 en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto ( 1, 4). III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto ( 2,1). c) Sólo III d) Sólo I y III 33. Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L? a) b) c) d) e)

26 34. En la figura, el cuadrado A B C D es la imagen del cuadrado ABCD bajo una: I) Rotación de 180 o con centro en el origen. II) Simetría respecto al origen. III) Simetría respecto al eje x. c) Sólo III d) Sólo I y II 35. La recta L es simetral del segmento AB. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) AO = OB II) B es simétrico de A respecto a L. III) ARB es escaleno. c) Sólo III d) Sólo I y II 36. El trazo AB, con A = ( 4, 3) y B = (5, 1), se traslada 3 unidades a la izquierda en la abscisay5unidadeshaciaarribaenlaordenada.elnuevotrazoa B quedaconcoordenadas: a) ( 7,2) y (2,4) b) ( 1,2) y (8,4) c) (1,0) y (10,0) d) ( 9,0) y (0,2) e) ( 7,2) y (2,6)

27 37. Todos los triángulos son congruentes. En que caso(s) son simétricos respecto de la recta L? I) II) III) c) Sólo III d) Sólo I y III e) Ninguna de las anteriores. 38. La figura esta formada por 4 triángulos equiláteros congruentes entre sí Cuál(es) de las figuras en I), en II) y en III) se obtiene(n) por alguna rotación con respecto al centro de la figura? I) II) III) b) Sólo I y II c) Sólo I y III

28 39. El dominó esta formado por dos cuadrados congruentes entre sí, como lo muestra la figura. Cada una de las figuras presentadas en I), en II) y en III) están formadas por cuadrados congruentes a los que forman el dominó. Cuál(es) de ellas es(son) posible(s) de embaldosar (o teselar) completamente con el dominó? I) II) III) I b) Sólo I y II c) Sólo I y III 40. Se desea teselar un baño cuadrado que mide 10 m por lado. Se tienen tres tipos de baldosas: una cuadrada de lado 30 cm, una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triángulo rectángulo de catetos 20 y 50 cm. Con cuál de las baldosas se puede embaldosar el baño completo? a) Solo con los triángulos. b) Solo con los cuadrados. c) Con los cuadrados y rectángulos. d) Solo con los rectángulos. e) Con ninguna de las figuras. 41. Cual de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? a) El triangulo tiene tres ejes de simetría. b) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetría. c) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetría. d) El trapecio isósceles tiene un eje de simetría. e) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetría.

29 42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha ubicado el punto P(a,b). Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) El simétrico de P con respecto al eje x es P (a, b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P ( a, b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante. c) Sólo I y II d) Sólo I y III