Transformaciones Isométricas

Transcripción

1 Transformaciones Isométricas I o Medio Profesor: Alberto Alvaradejo Ojeda

2 Índice 1. Transformación Isométrica Traslación Ejercicios Suma de vectores 6 3. Composición de traslaciones Definición Ejercicios Simetría axial y central Simetría axial Reflexión con respecto al eje Y Reflexión con respecto al eje X Ejercicios Simetría central Ejercicios Rotación Rotación del triángulo A respecto al origen en 90 o Ejercicios

3 1. Transformación Isométrica Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano aquella transformación que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura en cuestión y que solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías), que serán vistas a continuación y que su estudio será pieza fundamental para la posterior comprensión de contenidos tales como las teselaciones o embaldosados Traslación Traslación es el desplazamiento de una figura en el plano, manteniendo su forma, orientación y medida. Para trasladar una figura necesitamos un vector que nos indica dirección, sentido y magnitud de la traslación. Ejemplo El triángulo ABC de la figura se traslado según el vector u ( 3, 2), obteniéndose el triángulo A B C. Triángulo ABC Vector Traslación Triángulo A B C A(1,-1) A (1+-3,-1+2) A (-2,1) B(2,3) B (2+-3,3+2) B (-1,5) C(4,1) C (4+-3,1+2) C (1,3) En general: P (x, y) trasladado por un vector u (a, b) corresponde a P (x + a, y + b) Alberto Alvaradejo O. 3

4 1.2. Ejercicios 1) Determina el vector que describe cada una de las siguientes traslaciones de los polígonos del plano a) A a B b) E a D c) A a D d) E a C e) F a C f) B a F g) D a E h) F a B 2) Dibuja el triángulo ABC de vértices A( 3, 2), B( 1, 1) y C(2, 1) y trasládalo según los siguientes vectores: a) a(1, 2) b) b( 3, 6) c) c(2, 5) d) d( 3, 7) Alberto Alvaradejo O. 4

5 3) Determinar el vector traslación si: a) M(2, 8) M ( 3, 5) b) P (1, 2) P ( 3, 4) c) Q( 3, 4) Q (4, 5) 4) Resuelve los siguientes problemas : a) La base de un triángulo isósceles tiene como extremos los puntos A(1, 1) y B(5, 1) y el punto del vértice opuesto a la base del triángulo tiene su ordenada negativa. Traslada el triángulo según el vector v ( 4, 5) Cuáles son los nuevos vértices? b) Las coordenadas de tres vértices de un rectángulo son P ( 1, 1), Q(1, 1) y T (1, 4). Traslada el rectángulo según el vector V (3, 3). Cuáles son los nuevos vértices? c) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos a los puntos H( 1, 2) y F ( 4, 5). Traslada el cuadrado según el vector m(5, 1). Cuáles son los nuevos vértices? d) Un triangulo obtusángulo tiene uno de sus vértices sobre el eje de las ordenadas. Traslada el triángulo según el vector e ( 1, 3) y luego el triángulo obtenido según el vector f (2, 5). Cuáles son los nuevos vértices?. e) Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, 1) y M( 1, 5) es trasladado según el vector m(5, 1). Determina un nuevo vector traslación que permita mover el punto K al origen. Alberto Alvaradejo O. 5

6 2. Suma de vectores Se tienen los siguientes vectores Para sumarlos se dibujan uno a continuación del otro Se une el origen de s con el extremo final de m s (2, 2) y m(2, 3) s + m = (2 + 2, 2 + 3) = (4, 1) Si tenemos los vectores Se define la suma Como a (x1, y 1 ) y b (x 2, y 2 ) a + b a + b = (x1 + x 2, y 1 + y 2 ) Alberto Alvaradejo O. 6

7 3. Composición de traslaciones 3.1. Definición Consiste en realizar traslaciones sucesivas. Ejemplo Aplicación Trasladar un punto T con un vector u obteniendo A Trasladar el punto A con un vector v obteniendo B Obtendríamos B si aplicamos a T una traslación con vector u + v Alberto Alvaradejo O. 7

8 3.2. Ejercicios 1) Obtén la suma de los vectores en forma gráfica: a) v + w b) v + w c) v + w Alberto Alvaradejo O. 8

9 2) Dibuja en el plano el cuadrilátero ABCD de coordenadas A(2, 3), B( 1, 4), C( 3, 2) y D( 2, 1). a) Expresa a través de componentes los vectores: AB, BC, CD, DA b) Calcula la suma: AB + BC + CD + DA Alberto Alvaradejo O. 9

10 3) Una traslación descrita por el vector v (2, 5) transforma el punto P en P. Si se aplica a P una traslación con vector u (8, 11) se obtiene P. Determinar el vector que traslada de P a P. 4) Trasladar el ABC de la figura con respecto al vector u, para obtener A B C. Luego traslada A B C con respecto a v, para obtener A B C. Cuáles son las coordenadas de A, B, y C. Qué vector traslada directamente ABC a A B C? Alberto Alvaradejo O. 10

11 4. Simetría axial y central 4.1. Simetría axial En la simetría axial cada punto se refleja respecto de una recta llamada eje de simetría o de reflexión. DE: eje de simetría A y A equidistan de la recta DE. AA perpendicular al eje DE. B y B equidistan de la recta DE. BB perpendicular al eje DE. C y C equidistan de la recta DE. CC perpendicular al eje DE. Alberto Alvaradejo O. 11

12 Reflexión con respecto al eje Y Alberto Alvaradejo O. 12

13 Reflexión con respecto al eje X En resumen: La imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P (x, y). Si la reflexión se realiza con respecto al eje Y, la imagen de P resulta P ( x, y). Alberto Alvaradejo O. 13

14 Ejercicios 1) Refleja el punto A respecto de cada recta: 2) Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje X, obteniendo las siguientes imágenes: a) ( 3, 10) b) ( 8, 9) c) (0, 4) d) ( 11, 1) e) ( 21, 0) f) ( 2; 0, 1) g) ( 3, 6; 9, 2) h) ( 2 5, 1 5 ) 3) Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje y, obteniendo las siguientes imágenes: a) (7, 3) b) ( 2, 4) c) ( 3, 0) Alberto Alvaradejo O. 14

15 d) ( 9, 4) e) (0, 10) f) (0, 10) g) (6; 1, 1) h) ( 8, 5; 1, 3) i) ( 2 3, 4 9 ) 4) Aplica las reflexiones y determina los vértices de las imágenes: a) Triángulo de vértices A(0, 0), B(3, 8) y C( 2, 1) respecto del eje X. b) Cuadrilátero de vértices P ( 4, 3), Q(1/8, 2/3), R(2, 2) y S( 1/8, 7) respecto al eje X. c) Pentágono de vértices A( 4, 3), B( 3, 5), C( 1, 5), D(0, 3) y E( 2, 2) respecto al eje X. d) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos los puntos (1, 1) y ( 3, 5). Refleja el cuadrado respecto del eje Y. Cuáles son las coordenadas de los extremos de la diagonal resultante? e) Un rectángulo ha sido reflejado con respecto al eje X quedando los extremos de una diagonal en los puntos (1, 2) y (4, 2) Cuáles son las coordenadas de los vértices del rectángulo original? Alberto Alvaradejo O. 15

16 f) Un rectángulo que tiene dos de sus vértices en los puntos ( 1, 1) y (3, 4), se refleja con respecto al origen. Cuáles son las nuevas coordenadas del rectángulo? g) La diagonal de un pentágono regular de coordenadas E( 4, 1) y H( 5/2; 5, 6) es reflejado con respecto a la recta y = 5, y el resultante es reflejado con respecto a la recta x = 2. Cuáles son las coordenadas de la diagonal del pentágono luego de hacer la segunda reflexión? Alberto Alvaradejo O. 16

17 4.2. Simetría central Es una transformación isométrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo llamado centro de simetría. En la figura, al triángulo ABC se le aplicó una simetría central respecto al origen (0, 0) obteniendo como imagen A B C. A(2, 2) A ( 2, 2) B(4, 2) B ( 4, 2) C(2, 5) C ( 2, 5) En el plano cartesiano, la imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al origen es P ( x, y). Alberto Alvaradejo O. 17

18 4.3. Ejercicios 1) Construye la simétrica a cada figura aplicando simetría central de acuerdo al punto indicado: a) Respecto del punto D b) Respecto del punto E c) Respecto del punto H Alberto Alvaradejo O. 18

19 2) Cuáles son las coordenadas del punto P, simétrico de P en la simetría de centro el punto O? 3) O(1, 1), P ( 3, 3) 4) O( 2, 1), P (2, 3) Alberto Alvaradejo O. 19

20 5. Rotación La rotación es una transformación en el plano que consiste en girar todos los puntos de una figura en torno a un punto O fijo llamado centro de rotación, en una medida angular α llamado ángulo de rotación, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que tiene como centro O y un ángulo α. Recuerda que si el ángulo de rotación es positivo, el giro se realiza en sentido anti horario y si el ángulo de rotación es negativo, el giro se realiza en sentido horario. En la figura el triángulo ABC fue rotado con respecto al punto P en un ángulo de 90 o. Observación: La equivalencia de un ángulo α en sentido antihorario en otro ángulo en sentido horario se puede calcular como 360 o α. Por ejemplo, la rotación en 90 o en sentido antihorario, es equivalente a realizar la rotación en 270( 90 o ) en sentido horario, ya que, 360 o 90 o = 270 o. La rotación de un punto (x, y) respecto de un centro O y un ángulo α puede ser definida como una función R 0,α. Rotación (+): en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. Rotación ( ): en el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj. Alberto Alvaradejo O. 20

21 5.1. Rotación del triángulo A respecto al origen en 90 o A(0, 0) A (0, 0) A (0, 0) A (0, 0) B(3, 0) B (0, 3) B ( 3, 0) B (0, 3) C(0, 2) C ( 2, 0) C (0, 2) C (2, 0) Para rotar un punto P (x, y) en el plano cartesiano respecto al origen (O) y un ángulo de rotación α, el punto imagen se obtiene utilizando las siguientes expresiones: R(0, 90 o )(x, y) = ( y, x) R(0, 180 o )(x, y) = ( x, y) R(0, 270 o )(x, y) = (y, x) R(0, 360 o )(x, y) = (x, y) R(0, 90 o )(x, y) = (y, x) R(0, 180 o )(x, y) = ( x, y) R(0, 270 o )(x, y) = ( y, x) R(0, 360 o )(x, y) = (x, y) Alberto Alvaradejo O. 21

22 5.2. Ejercicios 1) Aplica la rotación con respecto al origen según el ángulo de giro indicado para cada uno de los puntos. a) R(0, 90 o )(5, 2) b) R(0, 270 o )(1, 1) c) R(0, 180 o )( 8, 3) d) R(0, 360 o )( 6, 5) e) R(0, 270 o )(9, 15) f) R(0, 90 o )( 14, 36) g) R(0, 180 o )( 2, 7) h) R(0, 360 o )( 32, 5) 2) Identifica el ángulo de rotación aplicado para obtener la imagen dada. a) R(0, α)( 1, 3) = (3, 1) b) R(0, α)(5, 2) = ( 2, 5) c) R(0, α)( 6, 7) = (6, 7) d) R(0, β)( 1, 5) = (5, 1) e) R(0, µ)( 8, 10) = (8, 10) f) R(0, γ)(5, 3) = ( 3, 5) g) R(0, δ)(1, 5) = (1, 5) h) R(0, ɛ)( 3, 7) = ( 7, 3) 3) Identifica las coordenadas del punto original, dados el ángulo de giro y su imagen. a) R(0, 90 o )(x, y) = (5, 9) b) R(0, 180 o )(x, y) = ( 1, 2) c) R(0, 270 o )(x, y) = ( 8, 0) d) R(0, 360 o )(x, y) = ( 10, 3 e) R(0, 90 o )(x, y) = ( 7, 11) f) R(0, 180 o )(x, y) = (6, 1) g) R(0, 270 o )(x, y) = ( 4, 13) h) R(0, 360 o )(x, y) = ( 5, 2) Alberto Alvaradejo O. 22

23 4) Identifica el ángulo de giro opuesto equivalente al ángulo dado. a) 60 o b) 370 o c) 120 o d) 10 o e) 200 o f) 180 o 5) Resuelve los siguientes problemas. a) Cuáles son las coordenadas del punto ( 3, 5) una vez que se le ha aplicado la rotación R(0, 90 o ) b) Cuáles son las coordenadas del punto (1, 7) una vez que se le ha aplicado la rotación R(0, 180 o )? c) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 90 o son (4, 1), cuáles son las coordenadas del punto antes de rotarlo? d) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 180 o son ( 2, 5), cuáles son las coordenadas del punto antes de rotarlo? e) Los vértices de un triángulo son A( 1, 1), B( 3, 1) y C( 1, 4) y se le ha aplicado una rotación R(0, 90 o ). Cuáles son los vértices después de la rotación? Alberto Alvaradejo O. 23

24 f) El cuadrado cuyos extremos de la diagonal son los puntos M(3, 1) y N(3, 1) se le ha aplicado una rotación R(0, 180 o ) Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del cuadrado? g) Uno de los vértices de un triángulo está sobre el origen y los otros dos corresponden a los puntos P ( 3, 1) y Q(0, 5) Cuál es la nueva coordenada de P al ser rotado en 90 o? h) A un cuadrilátero ABCD se le ha aplicado la rotación R(O, 90 o ). Si la figura resultante tiene vértices A ( 3, 4), B ( 4, 7), C ( 1, 8) y D ( 1, 7), determina los vértices del cuadrilátero ABCD. i) Un arquitecto está modificando el plano de un departamento. Le solicitaron rotar en 180 o la puerta cuyos vértices se ubican en los puntos (7, 2) y (6, 3), considerando como centro de rotación el punto (1, 3) Cuáles son las coordenadas del nuevo lugar donde irá la puerta?. Alberto Alvaradejo O. 24