Departamento de Matemática

Transcripción

1 Departamento de Matemática

2 Isometría, origen griego Igual Medida (ISO = misma METRÍA A = medir) Una trasformación Isométrica produce cambios en una figura que no alteran su tamaño Traslación Rotación Simetría

3 raslaciones raslaciones Visualizaciones Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecánica. Un ascensor panorámico. Un automóvil desplazándose por un camino recto. Un avión n al despegar hasta adquirir velocidad de crucero.

4 Traslaciones en el plano Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se s realiza siguiendo una determinada dirección, sentido y dirección, por lo que toda la traslación queda definida por lo que se llama su vector de traslación

5 Traslaciones en el plano Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares Una figura jamás s rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía No importa el número n de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única.

6 Traslaciones en el plano C' D' D C E' Fig. b F' Fig. a E A' B' F A B Cómo podemos verificar si son la misma figura?

7 Traslaciones en el plano La forma más simple será mover la figura a en línea recta, en dirección adecuada para hacerla coincidir, con la figura b, este movimiento o se llama traslación. Fig. a Fig. b traslación.exe

8 Traslaciones en el plano Fig. a Fig. b La figura se trasladó 11 unidades hacía la derecha y 3 unidades hacía arriba E( - 6,1) E (5,4) = = 3 Para trasladar la fig.a a la fig.b el vector de traslación es (11,3)

9 Generalizando tenemos: Traslaciones en el plano Si al punto (x,y( x,y) ) se le aplica la traslación T (a,b) resulta (x+a,y+b( x+a,y+b) Nota: Si a > 0; se traslada a unidades hacia la derecha Si a < 0; se traslada a a unidades a la izquierda Si b > 0; se traslada b unidades hacia arriba Si b < 0; se traslada b b unidades hacia abajo Agrandar

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11 Traslaciones en el plano Consideraciones en la traslación La traslación es un movimiento directo y el polígono obtenido es igual al original Los vectores son paralelos y tienen la misma magnitud Revisar Construcción

12 Trasladar un polígono en un vector dado Realizar Actividad

13 Trasladar un polígono en un vector dado Realizar Actividad

14 Actividades a Realizar Resolver Guía Nº 1 de Transformaciones Isométricas Realizar guía interactiva con el programa GeoGebra

15 Visualizaciones Un carrusel de niños Las aspas de un ventilador Las ruedas de una bicicleta Los punteros de un reloj análogo Hélices de un avión n o un helicóptero

16 Rotaciones Una rotación n es el giro de una figura en torno a un punto llamado centro de rotación n (O) y un ángulo llamado ángulo de giro (α).( A A α O

17 Observaciones: Rotaciones En una rotación n siempre se conservará las longitudes de los segmentos Si el ángulo de rotación α > 0 0 la rotación n es positiva y contra las manecillas del reloj Si el ángulo de rotación α < 0 0 la rotación n es negativa en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj α > 0 α < 0

18 Rotación n de un segmento Con centro de rotación n perteneciente a la figura B Rot (A (A,45 ) A Centro de rotación Ángulo de giro Ejemplo

19 Con centro de rotación n exterior a la figura B A P Rotar el segmento AB de la forma Rot (P (P,-90) Pasos a realizar

20 Rotaciones existe rotación? Verificar

21 Cómo verificar si dos figuras corresponden a una rotación? Otra forma! Realizar Comprobación

22 Ubicación n del Centro de rotación, dada la figura y su imagen La solución

23 Rotar polígono ABCD de la forma R(O, 50 ) Cómo se realizó esta Rotación?

24 Actividades a Realizar Resolver Guía Nº 2 de Transformaciones Isométricas Realizar guía dibujando y detectando rotaciones

25 Simetrías Las simetrías nos llevan a otro concepto como belleza y perfección. Cuando observamos nuestro entorno podemos maravillarnos con figuras simétricas

26 Simetría en la arquitectura

27 Simetría en la arquitectura

28 Simetría en la arquitectura

29 Simetría en la naturaleza

30 Simetría en la naturaleza

31 Simetría en el cuerpo humano

32 Simetría En cada uno de los casos anteriores se ve claramente que al trazar ar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan. Hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

33 Tipos de Simetría Simetría Axial con respecto a un eje Simetría Central con respecto a un punto Simetría rotacional con respecto a un punto y a un ángulo de giro

34 Simetría Axial o Reflexión A O A La recta L es el eje de simetría d(ao) ) = d(oa ) d(bo ) = d(o B ) B O B d(co ) = d(o C ) AA L C O C BB L CC L L AA //BB //CC

35 Simetría Central El simétrico del punto A con respecto a un punto O es un punto A que cumple que OA = OA y donde los tres puntos pertenecen a una misma recta A O A C B A O A B C

36 Simetría Central Es una transformación en la que a cada punto del plano se le asocia otro punto, llamado imagen, que cumple las siguientes condiciones: El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma ma recta

37 ABC y su simétrico respecto al eje y Ver Construcción

38 Dibujar el eje de Simetría Ver Construcción

39 Simetría Rotacional Una figura tiene simetría rotacional si se puede rotar alrededor de su punto central y hacer que ocupe exactamente el mismo espacio más de una vez. Centro de rotación

40 Ejemplos de Simetrías Rotacionales Una figura tiene orden n si tiene n ángulos distintos que generan simetría rotacional Giro en 72 Orden 5 Giro en 120 Orden 3 Giro en 45 Orden 8 Giro en 90 Orden 4

41 Actividades a Realizar Resolver Guía Nº 2 de Transformaciones Isométricas Realizar guía Usando regla y compás Pronto Teselaciones