Material educativo. Uso no comercial CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO. RESULTADOS PREVIOS AL V POSTULADO DE EUCLIDES.

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1 CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO. RESULTADOS PREVIOS AL V POSTULADO DE EUCLIDES Introducción Al introducirse la definición de rectas paralelas y los primeros teoremas que se relacionan con ella, se incursiona en uno de los temas cruciales en la Geometría Euclidiana y que diera lugar a las polémicas históricas más perdurables en el tiempo y posteriormente a los resultados de mayor relevancia en las matemáticas. Se completan ya todos los resultados de la geometría Euclidiana que no se derivan del postulado de las paralelas. Mantiene su importancia el Método de Reducción al absurdo como una estrategia importante cuando se trata de la demostración de teoremas de trascendencia, como es el caso en este tema del teorema de los Ángulos alternos internos y el teorema del Ángulo exterior en su primera versión entre otros. Objetivos Específicos. 1. Presentar en forma clara y precisa la noción de rectas paralelas en su forma más general mostrando como la condición de intersección vacía no es suficiente para el paralelismo. 2. Enriquecer el trabajo didáctico mostrando como en este punto de la teoría, se pueden formular múltiples problemas cuya solución puede abordarse por el Método de Reducción al absurdo, contrastando como elemento de validez, el Teorema de los Ángulos alternos internos. 3. Aprovechar el nivel de desarrollo teórico para plantear que no es posible demostrar algo que parece tan simple como lo es el teorema recíproco de los Ángulos alternos internos, e ir ambientando la necesidad del Postulado de la Paralela única. 4. Plantear como problema a resolver el hecho de que en la demostración del teorema donde se prueba la existencia de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ella, que pasa con la unicidad dado que en el teorema no se

2 menciona. Así se inicia un tránsito más natural hacia la necesidad del Postulado V de Euclides. 5. Probar señalando claramente porque puede hacerse en este nivel de la teoría y no antes que un triángulo rectángulo tiene un único ángulo recto y hacer lo propio con el cuarto caso de congruencia de triángulos (L-A-A). 6. Mostrar una síntesis de los casos generales de congruencia y señalar algunas designaciones particulares en los triángulos rectángulos, presentando además el caso Hipotenusa-cateto, aprovechando la distribución de sus elementos para abrir la discusión sobre la razón por la cual el caso L-L-A no conduce en general a congruencia de triángulos.

3 5.1 LA RELACIÓN DE PARALELISMO Definición 27. Rectas Paralelas. Sean l y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y lo denotamos como l //r si: i. l es la misma recta r ó ii. l es diferente a r y l r. Consecuencia: Sean l y r dos rectas contenidas en un mismo plano. l r si y solo si l r y l r De otra forma: l r si y solo si l r = {P}, donde P es único. Definición 28. Recta secante a otras dos rectas. Sean l1 l2 ; l1, l2 π ; l1 t A, l2 t B, A B, entonces se dice que la recta t es secante las rectas y. (Ver figura 77). Figura 77. Definición 29. Tercera clasificación angular. Criterio: Posición relativa de los ocho ángulos determinados por una secante con las dos rectas intersectadas. Dadas dos rectas cualesquiera cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos internos aquellos que: l l Tienen exactamente un segmento común. 2. Sus interiores no se intersectan.

4 3. No son adyacentes. Figura 78. En la Figura 78: los ángulos A ' Bˆ ' B y B B C son alternos internos. C ' B ˆ ' B y AB ˆB ' también lo son. Los ángulos A' Bˆ' D' y CB ˆ D son alternos externos; D B C y AB ˆ D también lo son. Los ángulos D' Bˆ' C' y BB C son correspondientes, D B C y B B C, AB ˆ D y A B B, AB ˆB ' y A B D también lo son. Los ángulos A ' Bˆ ' B y AB ˆB ' son colaterales interiores, CB B y CB B también lo son. Los ángulos DBC ˆ y D B C son colaterales exteriores, AB ˆ D y A' Bˆ' D' también lo son.

5 5.2 PRIMER CRITERIO DEL PARALELISMO. TEOREMA DE LOS ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS. (PRIMERA VERSIÓN). TEOREMA 25. Teorema de los ángulos alternos internos. ( T.A. I ). Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella una pareja de ángulos alternos internos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas. Demostración. Sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en los puntos B y B' respectivamente y de modo que: Figura 79. Vamos a demostrar que l // r o lo que es lo mismo l r. Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos internos son congruentes y que l no es paralela a r. Entonces se cortarán en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano respecto a t en que están C y C' (Ver Figura 79). Consideremos el triángulo B B' D. Como A' Bˆ' B CBˆ B' (hipótesis) entonces, BBˆ ' D B' Bˆ A (1). (Teorema 24). A' Bˆ' B CBˆ B'.

6 Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta B' A' tal que B' E BD. Unamos B con E. los triángulos B B' D y B B' E son congruentes (L-A-L), de donde: pero BBˆ ' D B' BA ˆ por (1 ). Luego EBB ˆ ' B' BA ˆ. Y como BE y BA están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción del ángulo BE BA, lo que nos dice a la vez que E BA, es decir E pertenece a la recta l. Pero también D l. Luego l DE y como la recta DE es la misma r, se tiene finalmente que r l. Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes. COROLARIO 1. Demostración. E BB ˆ ' BBˆ ' D Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos correspondientes congruentes, entonces, dichas rectas son paralelas. COROLARIO 2. Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos alternos externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas. COROLARIO 3. Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanarias, entonces las dos primeras son paralelas entre sí. Sean l t y r t, l, r, t. Demostremos que l // r.

7 Como l t, entonces AB ˆB ' es recto. Figura 80. Como r t entonces A ' Bˆ ' B es recto y por la tanto su ángulo adyacente C ' B ˆ ' B es recto. Así que A BB ˆ ' C' Bˆ ' B por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas 1 y r ángulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de los ángulos alternos internos, l //r. Definición 30. Ángulo exterior de un triángulo. En un triángulo todo ángulo que hace par lineal con algún ángulo interior del triángulo, se llama ángulo exterior del triángulo.

8 5.3 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR. (PRIMERA VERSIÓN). TEOREMA 26. Teorema del ángulo exterior. ( T. E ). Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no adyacentes a el. Demostración. En un triángulo A BC ángulo AC B del triángulo. Vamos a demostrar: i. Aˆ ACD ˆ. ii. Bˆ ACD ˆ. consideremos el ángulo exterior AC D. Dicho ángulo es adyacente al Figura 81. Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que: ACD ˆ Aˆ y ACD ˆ A. a. Supongamos que ACD ˆ Aˆ. Entonces existe una semirrecta AM en el interior de BA ˆC y tal que ACD ˆ CAM ˆ. Ahora como AM está en el interior de BA ˆ C, por el T.B.T., AM corta a BC en un punto G, G entre B y C.

9 Consideremos las rectas AG, CD y la secante AC. Como ACD ˆ CAˆ G y AC ˆ D y CA ˆ G son ángulos alternos internos, entonces por el T. de A. I., CD AG, contradicción ya que CD y AG se cortan en G. b. Supongamos ahora que ACD ˆ Aˆ. Si consideremos las rectas AB y CD y la secante AC, como ACD ˆ Aˆ, por T. A. I. se tendría que: AB // CD. Contradicción,, ya que AB y CD se cortan en B. Figura 82. Con a. y b. queda demostrado i). ii) La prueba de que Bˆ ACD ˆ es completamente similar y se deja como ejercicio. COROLARIO. En todo triángulo rectángulo, los ángulos interiores diferentes del ángulo recto son agudos. Demostración. ABD ˆ es un ángulo exterior del triángulo BC. Luego Cˆ ABˆ D pero ABD ˆ AB ˆ C, de donde se concluye que: Cˆ ABC ˆ. A Figura 83.

10 De la misma manera se demuestra que el ángulo Aˆ ABC ˆ. Queda probado en consecuencia que todo triángulo rectángulo tiene únicamente un ángulo recto.

11 5.4 EXISTENCIA ÚNICA DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA, POR UN PUNTO EXTERIOR A ELLA. TEOREMA 27. Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una perpendicular a la recta y sólo una. Demostración. 1. Existencia. Sea P l. Tomemos A y B en l, unimos P con A y consideremos el ángulo PA ˆ B. Por el axioma de construcción del ángulo, existe Con AM puede ocurrir: i. Que sea opuesta a AP. ii. Que no sea opuesta a AP. PAB ˆ BAM ˆ AM l :~ P y tal que: Figura 84. i. Si AM es opuesta a AP entonces el ángulo PA ˆ B es recto ya que PA ˆ B y BA ˆ M hacen (1). par lineal y son congruentes. Por lo tanto AP l y pasa por P.

12 Figura 85. ii. Supongamos ahora que AM no es opuesta a AP (Figura 84). Tomemos sobre AM el punto T de modo que respecto a la recta l. Por tanto, AT AP. Es claro que P y T están en semiplanos distintos corta a l en Q Ahora, P AQ T AQ (L-A-L). Luego PQA TQˆ A y T Q A PQ B por opuestos por el vértice. O sea que: PQA ˆ PQB ˆ. De donde PQ ˆ B es recto, entonces se tiene que la recta PT es perpendicular a la recta l. 2. Unicidad. Supongamos que por P se pueden trazar dos perpendiculares PQ y PR a 1. Consideremos el triángulo PQ R. Como PR ˆ M y PQ ˆ R son rectos, entonces, PRM ˆ PQˆ R. Contradicción ya que por el T. E. PQR ˆ PRˆ M. Definición 31. PT 1. La longitud del segmento perpendicular trazado desde un punto a una recta es llamada distancia del punto a la recta. 2. El segmento trazado desde el vértice de un triángulo y perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto es llamado altura del triángulo.

13 5.5 EXISTENCIA DE LA PARALELA A UNA RECTA, POR UN PUNTO EXTERIOR A ELLA. Nota: Obsérvese que la proposición asegura que se puede trazar al menos una paralela a la recta dada. Acerca de la unicidad o sea que esa paralela sea única o no, la proposición no afirma nada. Demostración. Sea P l. Demostremos que existe una recta r que pasa por P y tal que r // l. Sea t la perpendicular a l bajada por P. Figura 86. Por P trazamos la recta r perpendicular única a t y contenida en el plano l, P. Entonces ya que r y l forman con t una pareja de ángulos A.I. congruentes. Es importante una pregunta que podemos plantearnos al respecto de este resultado. Si como hemos observado, la demostración se fundamenta en dos teoremas de existencia única. No podríamos garantizar que la demostración hereda la unicidad y esta no puede también afirmarse? TEOREMA 28. Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una paralela a la recta. r // l Podría explorarse la demostración de la unicidad por el Método de Reducción al absurdo?

14 Trate de plantearlo y muestre si llega a una contradicción. Posteriormente tendremos la oportunidad de observar, la importancia que tiene este planteamiento.

15 5.6 CUARTO CASO GENERAL DE CONGRUENCÍA DE TRIÁNGULOS (L-A-A) Demostración. Figura 87. Bastará con demostrar que AB DE ya que de aquí se concluye que A B C D E F (L-A- L). TEOREMA 29. Caso Lado-Ángulo-Ángulo ( L-A-A). Sean los triángulos BC y E F tales que: BAC ˆ EDˆ F y CBA ˆ DEˆ F. Si Razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que no es congruente a DE AB DE. Entonces: i) AB DE ó ii) DE AB. A AC DF ó CB FE entonces: D AB Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicción. A B C D E F i) Si AB DE entonces existe un M entre A y B de modo que AM DE. Por tanto, AM C DE F de donde C M A Eˆ. Pero por hipótesis Bˆ Eˆ, luego C M A B ˆ y se

16 tiene en el triángulo C M B que el ángulo exterior C M A es congruente con el ángulo Bˆ, donde Bˆ es ángulo interior en contradicción con el T.. E. ii) Un razonamiento similar para el caso en que DE AB conduce de nuevo a una contradicción.

17 5.7 LA CONGRUENCIA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA 30. Los cuatro casos de congruencia de triángulos rectángulos. i) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes. Demostración. Sean BC y E F tal que AC DE y AB DF. Como Aˆ Dˆ (por ser rectos), A B AC F DE D (L-A-L). Figura 88. ii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes un cateto y un ángulo agudo, son congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ángulo agudo). Demostración. En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por L-A-A. Figura 89. Figura 90. iii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo, son congruentes.

18 Demostración. Figura 91. iv) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son En efecto, sean los triángulos rectángulos BC y DF tales que: y AC DF. Figura 92. Tomemos G BC de modo que B esté entre G y C y además BG EF. Entonces congruentes. aquí se sigue que G ˆ C ˆ y por lo tanto: A AB DE ABG D E F (catetos congruentes) (1). De donde DF AG (hip.). Luego, AC AG, de ABC ABG De (1) y (2) se concluye que ABC D E F. E (L-A-L) (2). Es importante anotar que la estructura que presenta este caso con relación a los elementos respectivamente congruentes, se puede identificar como L-L-A. Surge entonces una pregunta

19 obligada: Es la situación planteada en este caso L-L-A un caso general de congruencia de triángulos?. La respuesta es no. Dejo al lector la construcción de un contraejemplo. COROLARIO. Dado un ángulo Nota: Decimos, en este caso, que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Demostración. AOB ˆ, cualquier punto de su bisectriz equidista de los lados del ángulo, e inversamente, cualquier punto en el interior del ángulo que equidista de los lados pertenece a la bisectriz del ángulo. Basta aplicar los casos iii) y iv) de congruencia de triángulos rectángulos. Figura 93.

20 5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Paralelismo (Resultados previos al V.P.E) Perpendicularidad. Congruencia de triángulos. Primeras consecuencias del V.P.E. 1. En la figura sean t secante a y a l respectivamente. l1 2 Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas. ˆ ' 1.1 ˆ' y son ángulos correspondientes. ˆ ' ˆ' Si entonces l 1 //l. 1.3 Si ˆ ˆ' entonces l 1 //l conlleva necesariamente a l 1 //l Si y ' entonces l 1 //l. 1.6 Si entonces l 1 //l2. ˆ ' ˆ' Si entonces l 1 //l.

21 2. En la figura dada, t es secantes a las rectas y l. l Demostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas Si CAB ˆ ABD ˆ entonces BD l Si DAK ˆ BAD ˆ K' BL ˆ entonces l 1 //l Si CAK ˆ ABL entonces t l 1 y t l Si CA AD y CBA ˆ ABˆ D entonces l 1 //l Cada uno de los siguientes grupos de premisas conllevan a una contradicción con alguna propiedad establecida en la figura. Partiendo de las premisas dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una contradicción Premisas: CAB ˆ ABD ˆ Premisas: CA BD y CB AD Premisas: CAB ˆ ADB ˆ Premisas: BA es bisectriz de CD ˆ B, CBA ˆ CAK ˆ KAˆ D.

22 3. En la figura se tiene: i. AQ SB P. ii. AB AP. iii. M: punto medio de BP. iv. HBA ˆ QRS ˆ. QT v. : bisectriz de PQ ˆ R. Demostrar: 3.1 QTR ˆ ABM ˆ. 3.2 AM //QT. 3.3 QRS ˆ es obtuso. 4. En la figura se tiene: i. ABC. ii. BL Int ABC ˆ. iii. A está entre K y C, T entre P y C. Demostrar: 4.1. LTC ˆ Cˆ Si PTL ˆ BAP ˆ entonces KAB ˆ PLˆ T. ˆ ˆ ˆ 4.3. Si APL KAB ˆ entonces ˆ m ABC m ACB m BAC m APL. 3 ˆ 5. Demostrar el siguiente teorema: 5.1 En un triángulo isósceles las alturas asociadas a los lados congruentes, son congruentes. 5.2 Demuestre el reciproco del punto 1.

23 6. Demostrar: Si en los triángulos ABC y DEF se tiene AB DE ; BC EF y la altura desde C es congruente con la altura desde F, entonces ABC DEF 7. Demostrar: Si AM es una mediana en el ABC, entonces los segmento bajados desde B y C a AM, perpendiculares a esta semirrecta, son congruentes. 8. Si A, B, C, D, E son colineales, BC EF, AD BE, AC DF, probar que BC // EF 9. Sean: l, k, m, n rectas coplanares, si l // m, n l, k m, probar que n// k. Es posible demostrar que la tesis pedida sin recurrir al V.P.E? 10. En la figura K, L, M son colineales, NL, m MLN ˆ m Kˆ m Nˆ, biseca a MNL ˆ. Demostrar que LQ// KN 11. En la figura: F es un punto medio de CD, E es punto medio de AB, Aˆ Bˆ, AD BC. Demostrar que CD // AB. KL LQ

24 12. Demostrar que toda recta paralela a la base de un triángulo isósceles pasando por un vértice, biseca al ángulo exterior asociado al vértice. 13. Demostrar el teorema del ángulo exterior (Versión 2). La medida de cualquiera de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes. 14. Utilizando el teorema del punto interior, demostrar: la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180. Nota: Como puede observarse los teoremas 13 y 14 son consecuencias del V.P.E. similarmente buena parte de los problemas siguientes, requieren de estos dos teoremas. Indique en cuales de los problemas siguientes, se requieren necesariamente consecuencias del V.P.E. 15. En la figura se tiene ˆ ˆ', ˆ ˆ ', m ˆD 130. Calcular m C ˆ. 16. En la figura se tiene: Aˆ Bˆ, DE AB. Demostrar que ˆ Ê.

25 17. En la figura BC AC, DC AB. Demostrar que ˆ ˆ. 18. En la figura AB // CD, FG biseca a BF ˆ E, EG biseca a DE ˆ F. Demostrar que EG GF. 19. En la figura ABC es isósceles, BC, F Int AB, DF AC, EF BC. Demostrar que AFD ˆ BFE ˆ. AC

26 20. En la figura AC BC, FC EC. Demostrar que DE AB.

27 5.9 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 En la figura t es secante a las rectas 1y a 2 Cada uno de los siguientes grupos de premisas conlleva a una contradicción con alguna propiedad establecida en la figura; cuando se anexan a ésta. Partiendo de las premisas dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una contradicción. i. CA BD Premisas ii. CB AD 1. Agregamos las premisas dadas a la gráfica en consideración. 2. CAB KDB(L-L-L);de i., t ii. y figura. t Consecuencias: CAB 2 KBD

28 3. 1//BD ; de 2 y T A.I, pero esto es absurdo porque 1 BD = {D} de acuerdo a la figura. Ilustración N 2 En la figura se tiene: AD bisectriz de CAB ; BD bisectriz de CBA ; m (ADB) = 130. Calcule m (C. 1. α = α ; de la hipótesis definición de bisectriz. 2. β = β ; de la hipótesis definición de bisectriz. 3. α + m (ADB) + β = 180 ; Teorema suma ángulos interiores en el ADB. 4. (α + α ) + m (C + (β + β ) = 180 ; Teorema suma ángulos interiores ACB. 5. 2α + m (C + 2β = 180 ; sustitución de la hipótesis de 1 y 2 en α + β = = 50 ; sustitución de la hipótesis en 3 y despeja. 7. m (C = = 80 ; de 6 y 5, por qué? Ilustración N 3 En la figura se tiene: i. AB //CD. ii. FG es bisectriz de BFE iii. ) ) EG es bisectriz de ) ) DEF

29 Demuestre que EGGF Demostración 1. α = α ; de ii. definición de bisectriz. 2. β = β ; de iii. definición de bisectriz. 3. BFE FEC; de i. teorema recíproco A.I. 4. m (BFE) = m (FEC) ; de 3 consecuencia de la medida angular. 5. m (BFE) = 2α; de suma angular y m (FEC) = m (FED) ; propiedad ángulos suplementarios. 7. m (FED) = 2β; de suma angular y m (FEC) = 2α; transitividad 4 y α + 2β = 180 ; sustitución 7 y 8 en α + β = 90 ; despejando en m (FGE) = 90 ; suma interiores en FGE y FGE es recto; de 11 consecuencia de la medida. 13. FGEG; de 12 definición general de rectas perpendiculares.

30 Ilustración N 4 En un ABC rectángulo en A se dan los puntos A F B; A D C; B E C, tales que CD CE, BF. BE Hallar la medida del ángulo DEF. i. ABC, A recto. ii. CD CE, BF BE Tesis: determinar m ( DEF ) Demostración iii.c D A; A F B; B E C. 1. α = β, λ = θ; de CD = CE ; BF = BE 2. β + ω + θ = 180 ; de C y son complementarios. 3. m ( C ) + m ( B ) = 90 ; de suma de ángulos interiores en CAB y de i α β λ θ = 90 ; de m ( C ) = 180 α β Por qué? m ( B ) = 180 λ θ. Por qué? = 2(β + θ); de sustitución de 1 en 4 y simplificación. β + θ = ω = 180 ; sustitución de 5 en ω = 45 ; de 6 simplificación. B