Guía 1: Construcciones de rectas y trazos

Transcripción

1 Guía 1: Construcciones de rectas y trazos Descripción Usando regla y compás Las acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted conozca algunos procedimientos para construir: una recta perpendicular en un punto P de una recta L; la perpendicular a una recta desde un punto P que no pertenece a dicha recta, Simetral de un trazo, una recta paralela a una recta L y que pasa por un punto P y dividir un trazo en partes iguales. Estas construcciones deberá realizarlas al estilo griego, es decir con regla y compás. Recursos regla compás escuadra lápiz grafito goma de borrar papel Construcción de una recta perpendicular en un punto P de una recta L. Observe la siguiente construcción. 1. Dada una recta L y un punto P en ella. 2. Con un compás se hace centro en P y con una misma abertura se marcan los puntos A y B en la recta L. Así, AP PB. 6

2 3. Con un compás, con centro en A y luego en B, y con una misma abertura de compás, dibuje dos arcos de circunferencia cuya intersección origina C. 4. Trace la recta que pasa por los puntos C y P. Entonces, esa es la perpendicular en el punto P de la recta L. Ahora, realice su construcción en el siguiente cuadro. 7

3 Construcción de la perpendicular a una recta L desde un punto P que no pertenece a dicha recta. Lea y observe las siguientes acciones. 1. Dado una recta L y un punto P que no pertenece a la recta. 2. Con un compás y una misma abertura, con centro en P se marcan los puntos A y B en la recta L. Así, AP PB 3. Con un compás, con centro en A y luego en B, y con una misma abertura del compás, dibuje dos arcos de circunferencia cuya intersección origina C. 4. Trace la recta que pasa por los puntos C y P. Así, se construye la recta perpendicular a una recta L desde un punto P que no pertenece a dicha recta. 8

4 A continuación con la figura, realice su construcción. Construcción de la simetral de un trazo. La simetral es la recta perpendicular en el punto medio de un trazo. 1. Dado un trazo AB. 2. Con el compás y abertura mayor que la mitad de AB, con centro en A y luego en B, dibuje los arcos de circunferencia que se intersectan sobre y por debajo del trazo en C y D respectivamente. 3. Trace la recta que pasa por los puntos C y D. De esa forma, se obtiene la simetral del segmento AB donde M es el punto de intersección entre AB y CD. Así, AM MB. 9

5 Realice en el siguiente cuadro su construcción. Cómo asegurar que para cualquier punto M así obtenido, se tiene que efectivamente AM MB? y, además, qué m( AMC)=m( CMB)=m( BMD)=m( DMA)=90, es decir, AB CD? Para responder a estas interrogantes, debemos recurrir a lo que en matemática se denomina demostración y que consiste en comprobar la veracidad y generalidad de una afirmación apoyándose de un conjunto mínimo de afirmaciones llamados axiomas, que se consideran verdaderas de hecho, además de disponer de algunos conceptos primitivos como trazo, rayo, ángulo y figuras congruentes (las definiciones sobre estos conceptos las encontrará en el Material de Referencia de la Unidad I). Los axiomas que utilizaremos son los siguientes. Axioma 1 Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos (aquellos, que si se superponen, los triángulos coincidirían) tienen la misma longitud (Lado-Lado- Lado simbolizado por LLL). 10

6 Axioma 2 Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno y los correspondientes lados homólogos en el otro triángulo, tienen la misma longitud y los ángulos formados por estos lados en ambos triángulos, son también de la misma medida (L ado- Ángulo-Lado (LAL)). Axioma 3 Dos triángulos son congruentes si un par de lados homólogos tienen la misma longitud y los ángulos homólogos cuyo vértice se ubican en los extremos del lado, son también de la misma medida (Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)). En estricto rigor, estos axiomas son teoremas y como tales deben ser demostrados. Veamos la demostración de la simetral De acuerdo a la construcción, se tiene. Datos conocidos: AD DB BC CA ACB; CBD; BDA; DAC son triángulos isósceles. Por demostrar: AM MB ; m( AMC)=m( CMB)=m( BMD)=m( DMA)=90 esto es AB CD. Demostración: (i) En los triángulos DAC y CBD se tiene: AD DB ( dato conocido ) AC CB ( dato conocido ) CD DC ( lado común ) 11

7 En consecuencia, DAC CBD ( por Axioma 1 - LLL) Por lo tanto, ACD BCD (dos ángulos que tienen igual medida, se denominan ángulos congruentes y, además, ángulos homólogos de triángulos congruentes son congruentes). (ii) En los triángulos ACM y BCM tiene: ACD BCD ACM BCM ( por (i) ) AC CB ( dato conocido ) CM MC ( lado común ) En consecuencia, ACM BCM ( por Axioma 2 - LAL) Por lo tanto, AM BM y AMC BMC. Por esto último, AMC BMC 180 implica que m ( AMC) m( BMC) 90. (iii) De igual manera se tiene que ADM BDM, entonces AMD DMB implica que m( AMD) m( DMB) 90 y AM BM. lo que Finalmente, por (i), (ii) y (iii) ha quedado demostrado que AM BM ; AB CD. Construcción de una recta paralela a una recta L, que pasa por un punto P Usando regla y compás realice la siguiente construcción. 1. Dada la recta L. 2. Dibuje un punto P, que no pertenezca a L. 3. Dibuje un punto A cualquiera en la recta L. 4. Con centro en el punto A y radio AP determine B en L, tal que AB AP. 5. Utilizando la medida del trazo AP, trace arcos con centro en P y B para determinar el punto C. 6. Dibuje una recta L` que contenga los puntos P y C. 12

8 De esa forma, ha construido una recta paralela a una recta L, que pasa por un punto P que no pertenece a esa recta. Realice en este cuadro su construcción. Dividir un trazo en partes iguales. Observe como se divide un trazo en tres partes iguales: 1. Dado el trazo AB. 2. Trace un rayo L` con origen en A, determinándose un ángulo agudo. 3. Con un compás y con una misma abertura, se marcan los puntos C, D y E en el rayo L, tal que AC CD DE. 4. Unir con un trazo los puntos E y B. 5. Por los puntos C y D, trazar paralelas a EB. Para ello, apóyese en los procedimientos anteriores. 13

9 6. Compruebe que las distancias AC `, C`D` y D`B son iguales. Proceda a comparar estos trazos con un compás. A continuación, divida el trazo en cuatro partes iguales utilizando el procedimiento anterior. Compruebe, con un compás, que las distancias de los trazos generados por la división del trazo AB tienen igual longitud. 14