Matemáticas Discretas TC1003
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- Gabriel Martínez Páez
- hace 6 años
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1 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: s Válidos Departamento de Matemáticas ITESM Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50
2 En matemáticas y en lógica un argumento no es una disputa. Más bien, es una secuencia estructurada de afirmaciones que terminan en una conclusión. En esta sección veremos cómo determinar si un argumento es válido; es decir, cuándo la conclusión se deduce de los hechos que la preceden. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 2/50
3 Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50
4 Definición Un argumento es una secuencia de afirmaciones. Todas las afirmaciones excepto la última se llamarán premisas, o suposiciones o hipótesis. La declaración final se llamará conclusión. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 3/50
5 Ejemplo Lo siguiente representa a un argumento: 1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan pasa el curso de Discretas. 2. Juan está estudiando adecuadamente. 3. Juan pasará el curso de Discretas. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 4/50
6 s Válidos e Inválidos Definición Diremos que un argumento es argumento válido si para cualquier valor de las variables proposicionales involucradas en las fórmulas que hacen verdaderas las premisas, también la conclusión es verdadera. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 5/50
7 De la propia definición de argumento válido se puede deducir una metodología para verificar la validez de un argumento: 1. Identificar las premisas y la conclusión 2. Construir una tabla de verdad que incluya las premisas y la conclusión 3. Señalar de la tabla sólo aquellos renglones que hacen que todas las premisas sean verdaderas. Estos se llamarán renglones críticos 4. Verificar que para los renglones críticos, la conclusión es verdadera. En tal caso se tiene un válido ó 5. Detectar si existe un renglón crítico con conclusión falsa. En cuyo caso se dirá inválido Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 6/50
8 Ejemplos de validez Veamos ahora cómo se aplica el método descrito para probar la validez o invalidez de un argumento. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 7/50
9 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido: 1. p q 2. q p 3. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q q p p q Válido F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 8/50
10 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p p q F F T T F F T T F T T F F T T T T T T T De donde observamos que de los dos renglones críticos (renglón que corresponde a una combinación de las variables proposicionales que hacen verdaderas todas las hipótesis) uno de ellos tiene la conclusión falsa: concluimos que el argumento es inválido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 9/50
11 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q, 2. p r, 3. p q r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r p q p r q r p q r F F F T T F T F F T T T F T F T F T T F T Válido T F F F F F F F T T T T T T T F T F T F F T T F T F F F T T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 10/50
12 De la cual los renglones críticos son: p q r p q p r q r p q r F F F T T F T F F T T T F T F T F T T F T T F F F F F F F T T T T T T T F T F T F F T T F T F F F T T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 11/50
13 Ejemplo Determine si el siguiente argumento es válido. 1. p q r, 2. p q, 3. q p, 4. r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r q p q p q r p q q p F F F T F T F T F F T T F T F T F T F F F T T F Válido T F F T T F T T F T T F F T T F T F T T T F T T T T F F F T T T T T T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 12/50
14 De la cual los renglones críticos son: p q r q p q p q r p q q p F F F T F T F T F F T T F T F T F T F F F T T F T F F T T F T T F T T F F T T F T F T T T F T T T T F F F T T T T T T F F T T T De donde observamos que el argumento es inválido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 13/50
15 El método de verificación de la validez de un argumento recien visto aunque correcto es uno poco humano y que no se puede llevar a cabo cuando el total de hipótesis a usar no está delimitado. El método de deducción natural consiste en construir un argumento para un conjunto de premisas y una conclusión. Este método se basa en el uso de reglas de inferencia que permiten ir obteniendo fórmulas verdaderas a partir de la suposición de que sean verdaderas un número reducido de fórmulas. Una regla de inferencia es a su vez un argumento y su validez será probada utilizando el método recien visto. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 14/50
16 Reglas Verifiquemos la validez de las reglas de inferencia que utilizaremos en el método de deducción natural. Modus Pones Modus Tollens Silogismo Disjuntivo Adición Disjuntiva Simplificación Conjuntiva Válido Silogismo Hipotético Adición Conjuntiva Regla de Contradicción Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 15/50
17 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus ponens: 1. p q 2. p 3. q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q p q Válido F F T F F F T T F T T F F T F T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 16/50
18 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F T F F F T T F T T F F T F T T T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 17/50
19 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia modus tollens: 1. p q 2. q 3. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q q p Válido F F T T T F T T F T T F F T F T T T F F Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 18/50
20 De la cual los renglones críticos son: p q p q q p F F T T T F T T F F T F F T T T T T F F De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 19/50
21 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo disjuntivo: 1. p q 2. p 3. q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q p q Válido F F F T F F T T T T T F T F F T T T F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 20/50
22 De la cual los renglones críticos son: p q p q p q F F F T F F T T T T T F T F F T T T F T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 21/50
23 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición disjuntiva: 1. p 2. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q Válido F F F F T T T F T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 22/50
24 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T T T F T T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 23/50
25 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia simplificación conjuntiva: 1. p q 2. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q Válido F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 24/50
26 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 25/50
27 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia silogismo hipotético: 1. p q, 2. q r, 3. p r Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q r p q q r p r F F F T T T F F T T T T Válido F T F T F T F T T T T T T F F F T F T F T F T T T T F T F F T T T T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 26/50
28 De la cual los renglones críticos son: p q r r q q r p r F F F T T T F F T T T T F T F T F T F T T T T T T F F F T F T F T F T T T T F T F F T T T T T T De donde observamos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 27/50
29 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia adición conjuntiva: 1. p 2. q 3. p q Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p q p q Válido F F F F T F T F F T T T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 28/50
30 De la cual los renglones críticos son: p q p q F F F F T F T F F T T T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 29/50
31 Ejemplo Verifique la validez de la regla de inferencia de la regla de contradicción: 1. p F 2. p Solución Realizando la tabla de verdad obtenemos: p F p p F Válido F F T F T F F T Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 30/50
32 De la cual los renglones críticos son: p F p p F F F T F T F F T De donde concluimos que el argumento es válido. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 31/50
33 Una demostración para una proposición es un argumento válido construido para ella. La palabra demostrar una proposición consiste en construir un argumento válido para ella. Una proposición se dice teorema, si es posible demostrarla. Una proposición se dice lema, si es un teorema y posteriormente se planea usarla como una regla de inferencia. Una proposición se dice corolario a un teorema si es posible construir una demostración corta donde el teorema se use como una regla de inferencia. Una proposición se dice conjetura cuando no ha sido posible construir una demostración para ella pero en sustituciones se ha evaluado en verdadero. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 32/50
34 Ejemplos de deducción natural Veamos ahora unos ejemplos del uso de deducción natural. En lo siguiente demostrar consiste en construir un argumento válido. Es decir, ir colocando hipótesis o creando FBFs en una lista que será el argumento. Asimismo, se deberá justificar porqué cada FBB en el argumento es verdadera. El argumento partirá del supuesto que las hipótesis son verdaderas y deberá llegar a la conclusión deseada. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 33/50
35 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p H 2 : p q H 3 : q r C: r Solución FBF Justificación 1. p Hipótesis 1 2. p q..... Hipótesis 2 3. q Modus ponens con 2. y q r.... Hipótesis r Modus ponens con 4. y 5. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 34/50
36 Ejemplo: Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p r H 2 : r s H 3 : t s H 4 : t u H 5 : u C: p Solución 1. u Hipótesis 5 2. t u Hipótesis 4 3. t Silogismo disjuntivo con 2. y t s Hipótesis s Silogismo disjuntivo con 4. y r s Hipótesis r Modus tollens con 6. y p r Hipótesis p Modus tollens con 8. y 7. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 35/50
37 Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q H 2 : p r C: q r Solución 1. p q Hipótesis p q.... Equiv. implicación en p r..... Hipótesis r p..... Conmutatividad en r p.. Equiv. implicación en r q.... Silog. hipotético con 5. y ( r) q.. Equiv. implicación en q r Doble negación y conmutatividad en 7. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 36/50
38 Ejemplo (Lema 2) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : p q C : p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en p q Hipótesis p q Equiv. implicación en q p Prop. conmutativa en ( p r) p.... Lema 1 con 5. y ( p p) r.... Prop. asociativas y conmutativas en p r Ley idempotencia en p r Equiv. implicación en 9. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 37/50
39 Ejemplo (Lema 3) Demuestre que la conclusión se deduce de las hipótesis: H 1 : p q r H 2 : q r C: p r Solución 1. p q r Hipótesis p (q r)..... Equiv. implicación en q ( p r)..... Prop. asociativas y conmutativas en q r Hipótesis q r Equiv. implicación en ( p r) r..... Lema 1 con 3. y p (r r)..... Prop. asociativa en p r Ley idempotencia en p r Equiv. implicación en 8. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 38/50
40 Qué ocurre cuando después de un argumento no obtenemos algo correcto? Hay dos alternativas importantes: Cuando el argumento es válido: en éste a su vez tenemos dos alternativas importantes: Cuando se partió de alguna hipótesis falsa. Cuando durante la demostración se añadieron involuntariamente hipótesis adicionales. Cuando el argumento es inválido: este caso ocurre cuando alguna regla de inferencia ha sido mal interpretada o se ha usado una proposicional como regla de inferencia cuando es una contingencia. En este caso se dice que el argumento es una falacia. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 39/50
41 En esta lectura veremos algunos ejemplos interesantes que se presentaron en la realización de la tarea. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 40/50
42 El problema de los mentirosos y los honestos Supongamos que estás en el pueblo donde las personas son siempre mentirosas o siempre honestas. Digamos que te encuentras a dos personas; llamémosles A y B. Sólo A habla y dice: ambos somos mentirosos. Indique la opción que declara cómo son A y B. A A es honesto es pero B mentiroso B A es mentiroso pero B es honesto Válido C A y B son honestos D A y B son mentirosos E No es posible concluir Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 41/50
43 La metodología que seguiremos para resolver el problema será la revisión exhaustiva de los casos posibles. Para cada uno de ellos elaboraremos un argumento lógico y veremos si nos lleva a una contradicción lógica. Aquellos casos que conduzcan a una contradicción se descartarán. Los casos posibles son Caso I: A es honesto y B son honesto Caso II: A es honesto y B es mentiroso Válido Caso III: A es mentiroso y B es honesto Caso IV: A es mentiroso y B es mentiroso En el desarrollo de los casos, si x es honesto entoces lo que dice x se toma como cierto. Si x es mentiroso, lo contrario de lo que dice x es cierto. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 42/50
44 Caso I Tomemos p: A es honesto y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. p q Lo que dice A 4. p Simplificación conjuntiva en p p Adición conjuntiva con 1. y F Ley de inversas en 5. Por tanto, el caso I no puede ocurrir. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 43/50
45 Caso II Tomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Así lo que dice A es p q. Siendo A honesto lo que dice se toma como cierto. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. p q Lo que dice A 4. p Simplificación conjuntiva en p p Adición conjuntiva con 1. y F Ley de inversas en 5. Por tanto, el caso II no puede ocurrir. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 44/50
46 Caso III Tomemos p: A es mentiroso y q: B es honesto. Así lo que dice A es p q. Siendo A mentiroso lo que dice se toma como falso. Por tanto, lo contrario a lo que dice A se toma como verdadero. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. (p q) Lo contrario de lo que dice A 4. p q De Morgan y doble negación en q Silogismo disjuntivo con 4. y 1. Así, no hay forma de avanzar y llegar a una contradicción. Por tanto, el caso III puede ocurrir. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 45/50
47 Caso IV Tomemos p: A es mentiroso y q: B es mentiroso. Así lo que dice A es p q. Siendo A mentiroso lo que dice se toma como falso. Así el razonamiento queda: 1. p Condición del caso I 2. q Condición del caso I 3. (p q) Lo contrario de lo que dice A 4. p q De Morgan en q Silogismo disjuntivo con 1. y q q Adición conjuntiva con 2. y F Ley de inversas en 6. Por tanto, el caso IV no puede ocurrir. Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 46/50
48 A B C D Por consiguiente el único caso posible es el caso III: A es mentiroso y B es honesto: A es honesto es pero B mentiroso A es mentiroso pero B es honesto A y B son honestos A y B son mentirosos Válido E No es posible concluir Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 47/50
49 El problema del grupo Supón el mismo pueblo y supón que te encuentras un grupo de 6 nativos: U, V, W, X, Y y Z. Y hablan de la siguiente forma: U dice: ninguno de nosotros es honesto. V dice: Al menos 3 de nosotros son honestos. W dice: A lo más 3 de nosotros son honestos. X dice: Exactamente 5 de nosotros son honestos. Y dice: Exactamente 2 de nosotros son honestos. Válido Z dice: Exactamente 1 de nosotros es honesto. Quiénes son honestos y quénes son mentirosos? Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 48/50
50 La clave de este problema está en el número de honestos: 0 y estaría diciendo la verdad U. Imposible. 1 y estarían diciendo la verdad W y Z. Imposible. 2 y estarían diciendo la verdad W y Y. No hay contradicción. 3 y sólo U y V estarían diciendo la verdad. Imposible. 4 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible. Válido 5 y sólo estarían diciendo la verdad V y X. Imposible. 6 y sólo estaría diciendo la verdad V. Imposible. Por tanto, sólo hay dos honestos y son W y Y. Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 49/50
51 Temas Vistos Concepto de argumento válido y argumento inválido Renglón crítico Método de verificación de válidez de argumento por tablas de verdad Regla de Método de Válido Módulo I: s Válidos Matemáticas Discretas - p. 50/50
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