Matemáticas Discretas TC1003

Transcripción

1 Matemáticas Discretas TC1003 Funciones 1-a-1, sobre e inversas Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 1/14

2 Función 1 a 1 Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función 1-a-1 o inyectiva si para cualquier dos elementos x 1 y x 2 de X se cumple: si F(x 1 )=F(x 2 ) entonces x 1 = x 2 Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 2/14

3 Función 1 a 1 Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función 1-a-1 o inyectiva si para cualquier dos elementos x 1 y x 2 de X se cumple: si F(x 1 )=F(x 2 ) entonces x 1 = x 2 Equivalentemente, si tomamos la contrapositiva: si x 1 x 2 entonces F(x 1 )F(x 2 ) Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 2/14

4 Función 1 a 1 Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función 1-a-1 o inyectiva si para cualquier dos elementos x 1 y x 2 de X se cumple: si F(x 1 )=F(x 2 ) entonces x 1 = x 2 Equivalentemente, si tomamos la contrapositiva: si x 1 x 2 entonces F(x 1 )F(x 2 ) Simbólicamente F : X Y es 1-a-1 x 1 x 2, (F(x 1 )=F(x 2 ) x 1 = x 2 ) Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 2/14

5 Tomando la negación de lo anterior: F : X Y no es 1-a-1 x 1 x 2, (F(x 1 )=F(x 2 ) x 1 x 2 ) Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 3/14

6 x 1 x 2 X... F. F(x 1 ). F(x 2 ). siempre separa puntos Y x 1 x 2 X... F Y. F(x 1 ). Función no 1-a-1 colapsa al menos dos puntos Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 4/14

7 a b c d X F Y u v w x y Ejemplo Cómo es F? a b c d X G Y u v w x y Cómo es G? Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 5/14

8 Ejemplo Indique cómo son las funciones: f : Z Zdefinida por f (z)=2 z. f : Z Zdefinida por f (z)=4 z 5. f : Z Zdefinida por f (z)=z 2. f : N Zdefinida por f (z)=z 2. f : (R {0}) Rdefinida por f (x)= x+1. x x f : R Rdefinida por f (x)= x f : (R {1}) Rdefinida por f (x)= x+1 x 1. Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 6/14

9 Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función Sobre o suprayectiva si y sólo si para cualquier elemento y de Y es posible encontrar un elemento x de X tal que y=f(x). Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 7/14

10 Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función Sobre o suprayectiva si y sólo si para cualquier elemento y de Y es posible encontrar un elemento x de X tal que y = F(x). Simbólicamente F : X Y es sobre y Y, x X, tal que y=f(x) Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 7/14

11 Tomando la negación de lo anterior: F : X Y no es sobre y Y, x X, F(x)y Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 8/14

12 X X F Y Y F sobre: Cada y de Y es imagen de al menos un x de X F F no sobre: Hay almenos un y de Y que no es imagen de ningún x de X Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 9/14

13 a b c d X F Y u v w x y Ejemplo Cómo es F? a b c d X G Y u w y Cómo es G? Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 10/14

14 Ejemplo Indique cómo son las funciones: f : R Rdefinida por f (x)=4 x 1. f : Z Zdefinida por f (z)=4 z 1. f : R Zdefinida por f (x)= x. Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 11/14

15 Función Biyectiva Sea F una función del conjunto X al conjunto Y. Diremos que F es una función biyectiva o correspondencia 1-a-1 si y sólo si F es inyectiva y también sobre. Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 12/14

16 Función Teorema Sea F una función del conjunto X al conjunto Y biyectiva. Entonces: {(y, x) Y X (x, y) F} es una función de Y en X. Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 13/14

17 Función Teorema Sea F una función del conjunto X al conjunto Y biyectiva. Entonces: {(y, x) Y X (x, y) F} es una función de Y en X. La función que refiere el teorema anterior se llamará la función inversa de F y se simbolizará por F 1. Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 13/14

18 Ejemplo log a (x) vs a x sen(x) vs arcsen(x) o sen 1 (x) Funciones 1-a-1, sobre e inversas Matemáticas Discretas - p. 14/14