Matemáticas Discretas TC1003

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Paula Valverde Ríos
hace 8 años
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1 Matemáticas Discretas TC1003 Inducción Matemática: Sucesiones y s Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 1/19

2 Sucesiones: Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 2/19

3 Sucesiones: Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... El símbolo... " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón: Posición en el renglón Número de ancestros Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 2/19

4 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: a m, a m+1, a m+2,...,a n Cada elemento a k (léase a sub k ) se llama término. La letra k en a k se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. n es el súbíndice del término final. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 3/19

5 Sucesión infinita: definición Definición Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista: a m, a m+1, a m+2,... Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es una fórmula en función de k que evaluada en k da el término a k. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 4/19

6 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: Solución a n = 3 n, para n 4 3 Para n=4: a 4 = = =3 1=3=a 4. Para n=5: a 5 = = =3 1=3=a 5. Para n=6: a 6 = =3 2 =3 2=6=a 6. Para n=7: a 7 = = =3 2=6=a 7. Para n=7: a 8 = = =3 2=6=a 8. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 5/19

7 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: Solución a n = log 2 (n), para n 3 Para n=3: a 3 = log 2 (3) = =1 Para n=4: a 4 = log 2 (4) = 2.0 =2 Para n=6: a 5 = log 2 (5) = =2 Para n=7: a 6 = log 2 (6) = =2 Para n=7: a 7 = log 2 (7) = =2 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 6/19

8 Ejemplo Determine en orden la fórmula general de la sucesión a 1, a 2, a 3,... dados los términos iniciales: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, b) 1 3, 2 9, 3 27, 4 81, 5 243, 6 729,... c) 6, 6, 6, 6, 6, 6,... Ubicándola en la lista 1. a n = n 3 n 2. a n = 6 ( 1) n a 1 = 6,a 2 =+6,a 3 = 6 3. a n = 3 ( 1) n ( 1+n) 4. a n = ( 1) (1+n) n 1+n Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 7/19

9 Notación de Suma La notación: n k=m a k representa la suma desarrollada a m + a m+1 + a m+2 + +a n Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice superior de la suma. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 8/19

10 Notación del La notación: n k=m a k representa la producto desarrollada a m a m+1 a m+2 a n En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto, n se llama el índice superior del producto. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 9/19

11 Ejemplo Determine en orden la evaluación de cada fórmula: 1. 3 n=1 n n=1 n (1+n) 3. 0 n= 1 2 n (3+n) Solución 1. = (1 2 ) n=1 (2 2 ) n=2 (3 2 ) n=3 = 1 4 9=36 2. = 1 (1+0) n=1 + 2 (1+2) n=2 + 3 (1+3) n=3 + 4 (1+4) n=4 = =39 3. = (2 1 (3+ 1)) n= 1 + (2 0 (3+0)) n=0 = 1+6=7 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 10/19

12 Ejemplo Indique en orden la versión compacta de cada desarrollo: a) 1 r+r 2 r 3 + r 4 b) k 3 c) k 2 dentro de la lista: 1. 4 i=0( 1) i r i 2. k n=1 n 3 3. n i=3 i 4. n i=1 i 2 5. k n=1 n 2 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 11/19

13 Ejemplo Indique en orden la versión desarrollada de cada forma compacta: a) 4 n=1(n 3 1) b) 4 n=2(n 2 1) c) 4 n=1(1 t 4 ) dentro de la lista: 1. (2 2 1) (3 2 1) (4 2 1) n 3. (1 t) (1 t 2 ) (1 t 3 ) (1 t 4 ) 4. (1 t 2 ) (1 t 3 ) (1 t 4 ) 5. (1 3 1) (2 3 1) (3 3 1) (4 3 1) Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 12/19

14 de las s Si a m, a m+1,... y b m, b m+1, b m+2,... son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n mse cumple: n a k + k=m c n b k = k=m n a k = k=m n a k k=m n (a k + b k ) k=m n c a k k=m n n b k = (a k b k ) k=m k=m Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 13/19

15 Ejemplo de corrimiento de índice Ejemplo Indique a cuáles sumatorias es equivalente la siquiente: 12 (2+5 n) dentro de la lista: j=11 ( 48+5 j) 2. 7 i= n= k= m=12 (27+5 i) ( 23+5 n) (52+5 k) ( 53+5 m) n=1 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 14/19

16 Queremos que 12 n=1 (2+5 n)= j=11 Por tanto n 1=0= j 11. Si despejamos n de esto, se tiene que el cambio de variable está dado por n= j 10. Por otro lado, el límite superior se obtiene para n=12, así el límite superior de la segunda sumatoria se obtiene para 12= j 10, es decir para j=22: 12 (2+5 n)= 22 (2+5( j 10))= 22 ( 48+5 j) n=1 j=11 j=11 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 15/19

17 Ejemplo Determine en orden los valores de A, B y C para que A (C+B k) se igual a la suma : 2 12 j=3 k=0 (3 5 j)+ 6 (4+ j) j= 3 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 16/19

18 Queremos que la primera sumatoria inicie en 0: 12 j=3 (3 5 j)=... k=0 Por tanto, j 3=0=k 0 da: j=k+3 y límite superior j=12=k+3 k=9: 12 j=3 (3 5 j)= 9 (3 5(k+3))= k=0 9 ( 12 5k) k=0 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 17/19

19 Queremos que la segunda sumatoria inicie en 0: 6 j= 3 (4+ j)=... Por tanto, j ( 3)=0=k 0 da: j=k 3 y límite superior j=6=k 3 k=9: 6 j= 3 (4+ j)= k=0 9 (4+(k 3))= k=0 9 (1+k) k=0 Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 18/19

20 2 12 j=3 (3 5 j)+ 6 j= 3 (4+ j) = 2 9 k=0 ( 12 5k)+ 9 k=0 (1+k) = 9 k=0 ( 2( 12)+( 2)( 5) k)+ 9 k=0 (1+k) = 9 k=0 (24+10 k)+ 9 k=0 (1+k) = 9 k=0 (24+10 k+1+k) = 9 k=0 (25+11 k) Por tanto,la respuesta tiene la forma A k=0 (C+B k) para A=9, B=11 y C= 25. Inducción Matemática: Sucesiones y s Matemáticas Discretas - p. 19/19

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