Derive V Límites y derivadas

Transcripción

1 Derive V 1. Cálculo de límites. Otra de las operaciones que podemos realizar con Derive es el cálculo de límites. El programa se encarga de aplicar automáticamente las reglas necesarias para evaluar las posibles indeterminaciones. Los pasos a seguir para calcular límites son los siguientes: Escribimos y resaltamos la expresión de la función a la cual le queremos calcular el límite. Seleccionamos la opción del menú Cálculo / Límites o hacemos clic en el botón de la barra de herramientas. En la ventana emergente seleccionamos la variable y el punto en el que se va a calcular el límite. Finalmente hacemos clic en el botón Simplificar, y el programa escribirá la expresión del límite y el resultado del mismo. OBSERVACIÓN: Para introducir el símbolo de infinito, se hará desde el botón correspondiente de la barra de símbolos matemáticos. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 1

2 Observa los ejemplos que se muestran en la siguiente captura de imagen: Manuel Otero (Departamento de matemáticas)

3 . Cálculo de sumatorios. Derive permite calcular la suma de un número finito de términos de una sucesión de números. Para ello seguiremos los pasos que se exponen a continuación: Escribimos y seleccionamos la expresión de la sucesión. Seleccionamos la opción del menú Cálculo / Sumas y series, o hacemos clic en el botón de la barra de herramientas. En la ventana emergente seleccionamos la variable y el tipo Definida para la suma, identificando además tanto el límite inferior como el superior del sumatorio, que se corresponderá con el primer y último elemento de la sucesión. Hacemos clic en el botón Simplificar, y el programa escribirá la expresión del sumatorio y el resultado del mismo. Manuel Otero (Departamento de matemáticas)

4 Si en todo el proceso anterior, introducimos en el límite superior n, obtendremos la expresión que permite hallar dicho valor. Expresión de la suma de los n primeros términos de la expresión n+1 Si en la expresión anterior se sustituye la variable por 0 obtendremos la suma de los veinte primeros términos. OBSERVACIÓN: De forma análoga en vez de la suma de un número finito de términos de una sucesión, podremos calcular el producto de un número finito de términos de una sucesión.. Cálculo diferencial. Otra de las opciones de cálculo del programa Derive es el del cálculo diferencial, que nos permite obtener la derivada de cualquier función. Esto nos abre un amplio abanico de posibilidades relacionadas con las aplicaciones de las derivadas como son: optimización de funciones, localización de máximos, mínimos y puntos de inflexión, estudio de la monotonía y curvatura de una función, etc. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 4

5 Veamos como podemos calcular derivadas sencillas siguiendo los siguientes pasos: Escribimos y resaltamos la expresión que deseamos derivar. Seleccionamos la opción del menú Cálculo / Derivadas, o hacemos clic en el botón de la barra de herramientas. En la ventana emergente especificamos la variable respecto a la cual deseamos derivar, así como el orden de la derivada. Hacemos clic en el botón Simplificar, y el programa escribirá tanto la expresión de la derivada (diferencial) como su resultado. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 5

6 OBSERVACIÓN 1: Si lo que deseamos es calcular la derivada de una función en un punto concreto, bastará con sustituir la variable por el punto en el que se quiere calcular la derivada OBSERVACIÓN : Como ya sabemos, el cálculo de derivadas sucesivas de una función se puede realizar paso a paso (1ª derivada, ª derivada ) para lo cual habrá que derivar sucesivamente las distintas funciones derivadas, o bien se puede calcular directamente la derivada de un determinado orden para lo cual habrá que especificar en la ventana del Cálculo / Derivadas el orden de la derivada que se desea calcular. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 6

7 OBSERVACIÓN: El cálculo de derivadas se puede realizar también definiendo una función f(x) en Derive y a continuación empleando la notación f (x), siendo el símbolo de apóstrofe que se encuentra en la tecla de interrogación. Esto nos permite hacer referencia a la evaluación de la derivada de una función en un punto, que como sabemos representa la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 7

8 1. Calcula los siguientes límites: x x senx a) lim b) lim x 0 x x x x c) lim d) lim x x x 5 x x e x x 1 ( + ) x x 7x 6 e) lim f) lim x x 1 4 x x x 1x + x + 0. Introduce la siguiente función definida a trozos x x si x < 1 f( x) = x si 1 x x + si x > y calcula los siguientes límites: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) lim f x b) lim f x + x 1 x 1 c) lim f x d) lim f x + x x f) lim f x g) lim f x x x +. Calcula la suma de los cuadrados de los cien primeros números naturales exceptuando el cero. 4. Obtén la expresión de la suma de los cubos de los n primeros números naturales exceptuando el cero. 5. Calcula el producto de los cuadrados de los veinte primeros números naturales exceptuando el cero. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 8

9 6. Obtén la expresión que permita calcular la suma aproximada de los 100 primeros términos de la sucesión n n Calcula la derivada de las siguientes funciones: x a) b) e x + x ( ) c) sen x d) ( x + x+ 1) x + x 7. Introduce las siguientes funciones y calcula su derivada empleando la simbología f (x). Representa a continuación de cada una de ellas y en una misma ventana D la gráfica de cada función y su correspondiente derivada. a) f(x) x x 4 b) g(x) = + = x 1 c) h(x) = d) j(x) = x + 1 x + 1 x 5x + 7 x 8. Calcula el valor de la derivada de la función en los puntos x =, x = 0, x =. 4 p(x) = x + x x La recta tangente a una función en un punto x tiene por ecuación 0 ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r x = f x + f' x x x. Calcula ecuación de la recta tangente de la función f(x) = x x + 1 en el punto x =. A continuación inserta una ventana D en la que aparezca la 0 representación gráfica de la función f así como la de la recta tangente calculada. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 9

10 9. Estudia los máximos y los mínimos de la función f( x) = x x + 1; recuerda para ello que dichos puntos son aquellos en los cuales la derivada vale cero, es decir, debes calcular la derivada y resolver la ecuación que resulta de igualar la derivada a cero. Comprueba el resultado obtenido con la representación gráfica del ejercicio anterior. 10. Inserta la función f( x) = x. A continuación y haciendo uso de la x 1 derivada calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento (recuerda que para ello debes derivar y resolver las inecuaciones f( x) < 0,f( x) > 0 ) y los máximos y los mínimos. A continuación inserta una ventana D con la representación gráfica de la función anterior para comprobar los resultados obtenidos. x Calcula el valor de la tercera derivada de la función h( x) e el punto x =. = en 1. Introduce el texto EJERCICIO Nº antes de la solución de cada uno de ellos. (Letra Comic Sans, Tamaño 16, Negrita, color rojo y subrayado). 1. Guarda todos ejercicios hechos en una hoja de Derive en formato dfw con el nombre Derive5_tu nombre y súbelo a la Wiki. Manuel Otero (Departamento de matemáticas) 10