Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Transcripción

1 Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

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3 Índice la cadena Tabla de

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5 Dada una función f : D R R, se dice que es derivable en a R, si existe y es finito el siguiente ĺımite ( ) f(a + h) f(a) f(x) f(a) lím equivalente a lím h 0 h x a x a El valor de este ĺımite se denomina de f(x) en a y se denota por De modo que: Definición o bien f (a) ó df dx (a) f (a) = lím h 0 f(a + h) f(a) h f (a) = lím x a f(x) f(a) x a

6 Ejemplo Calculemos la de f(x) = x 2 en el punto a = 1: f f(1 + h) f(1) (1) = lím = h 0 h (1 + h) 2 1 = lím = h 0 h 1 + h 2 + 2h 1 = lím = h 0 h h(h + 2) = lím = h 0 h = lím h + 2 = 2 h 0

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8 La de una función f(x) en a es un valor numérico que indica la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = a. Por tanto, la ecuación de esta recta tangente se escribe Recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a y f(a) = f (a)(x a)

9 Ejemplo La recta tangente a la función f(x) = x 2 en el punto a = 1 tiene la siguiente ecuación: y f(1) = f (1)(x 1) es decir, y 1 = 2(x 1)

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11 La función f (x) de una función dada f(x) es la que asigna a cada valor de x el valor de la en ese punto f (x) = lím h 0 f(x + h) f(x) h Si la función f (x) es derivable, podemos calcular su, que llamaremos segunda y denotaremos f (x) o f 2) (x). De forma similar se definen la sucesivas tercera, cuarta, etc.

12 Ejemplos de de funciones Ejemplo f(x) = K R f (x) = 0 f(x) = Kx (K R) f (x) = K f(x) = x n (n 1) f (x) = nx n 1 Veamos cuales son las de las siguientes funciones en a = 3 f(x) = 45 f (x) = 0 f (3) = 0 f(x) = 34x f (x) = 34 f (3) = 34 f(x) = x 5 f (x) = 5x 4 f (3) = 5 3 4

13 Funciones

14 Funciones seno y = sen(x) y = cos(x) coseno tangente logaritmo exponencial y = cos(x) y = tg(x) y = y = L(x) y = a x y = sen(x) 1 cos 2 (x) y = 1 x y = a x L(a)

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16 Suma de funciones (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) Producto de una función por un número λ Producto de funciones (λf(x)) = λf (x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Cociente de funciones ( ) f(x) = f (x) g(x) g (x) f(x) g(x) (g(x)) 2 Composición de funciones (regla de la cadena) (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

17 Funciones Ejemplos (x 2 + sen(x)) = 2x + cos(x) (3 sen(x)) = 3 cos(x) (x 2 sen(x)) = 2xsen(x) + x 2 cos(x) ( ) x 2 = 2xsen(x) x2 cos(x) sen(x) (sen(x)) 2 (sen(x 2 )) = cos(x 2 ) 2x (cos(x 3 )) = sen(x 3 ) 3x 2 (tg(x 2 )) = 1 cos 2 (x 2 ) 2x (L(x 4 )) = 1 x 4 4x3 (3 x2 ) = 3 x2 L(3) 2x

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19 Teorema Si una función f(x) es derivable en a entonces es continua en ese punto. La implicación contraria no es cierta, es decir, una función puede ser continua en y no ser derivable en ese punto Ejemplo f(x) = x es continua en a=0 pero no es derivable.

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21 Si una función f : D R R es continua en [a, b] D, derivable en (a, b), entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0 f(a) = f(b) Ejemplo Como f(x) = 2x 2 8x + 11 es continua y derivable en [1, 3] y f(1) = f(3), entonces existe c = 2 [1, 3] tal que f (2) = 0

22 Lagrange

23 Si una función f : D R R es continua en [a, b] D, derivable en (a, b), Ejemplo Como f(x) = 2x 2 8x + 11 es continua y derivable en [1, 4], existe c = 2 5 [1, 4] tal que f(4) f(1) 4 1 = 2 = f (2 5) } entonces existe c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a Es decir, existe c = 2 5 en donde la pendiente de la recta tangente es igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).

24 Cauchy

25 Dadas dos funciones f : D R R y g : D R R, si entonces existe c (a, b) tal que f y g son continuas en [a, b] D, f y g son derivables en (a, b), f (c)(g(b) g(a) = g (c)(f(b) f(a)) Si en lo anterior g (c) no es cero, entonces se puede expresar como f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente de las en el algún punto intermedio.

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27 Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se ha eliminado el punto a, por ejemplo, (a r, a) (a, a + r), con r > 0. Dadas dos funciones f : D R R y g : D R R, si f y g son derivables en un entorno reducido del punto a D, O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ± g (x) no se anula en el entorno reducido, lím x a f (x) g (x), entonces existe lím x a f(x) g(x) y f(x) lím x a g(x) = lím f (x) x a g (x)

28 La es una herramienta para calcular ĺımites que presentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±. Ejemplo Para calcular el siguiente ĺımite sen(x) lím x 0 x podemos utilizar la L Hôpital: sen(x) sen (x) cos(x) lím = lím = lím = 1 x 0 x x 0 x x 0 1 La regla también es válida para calcular ĺımites laterales. En este caso, será necesario que las dos funciones f(x) y g(x) estén definidas a la derecha o a izquierda del punto a, según el ĺımite lateral que queramos calcular. Por ejemplo: Ejemplo L(x) lím x 0 + x = lím L (x) 1/x = lím x 0 + x x =