Derivada de una función
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- Virginia Peralta Revuelta
- hace 8 años
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1 Derivada de una función Se llama cociente incremental o razón de cambio, a la razón entre el incremento de f y el de la variable x, cuya expresión es: f f(x + ) f(x) = x Definición: f(x La función f es derivable en x = x 0 si lim 0 +) f(x 0 ) existe y es finito. En este caso el límite se designa por f (x 0 ) y recibe el nombre de derivada de la función f es el punto de abscisa x = x 0. Luego También se puede escribir como: Ejemplo: f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ) x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Calcular f (x 0 ) para f(x) = 2x + 5 en x 0 = 3 f(3) = = 11 f(3 + ) = 2 (3 + ) + 5 = = f f(3 + ) f(3) (2 + 11) (3)
2 Calcular f ( 1) para f(x) = x 2 3x. f 2 (3) = 2 f( 1) = ( 1) 2 3( 1) = = 4 f( 1 + ) = ( 1 + ) 2 3( 1 + ) = ( ) = f f( 1 + ) f( 1) ( ) ( 1) Definición: f 2 5 ( 5) ( 1) ( 5) = 5 f ( 1) = 5 Sea f definida en un intervalo (a, b) y derivable en todos los puntos de dico intervalo. Para cada x (a, b) tenemos una correspondiente f (x) R, de esta manera nos queda definida una función (x f (x)) llamada función derivada de f y se indicara f. f (x) f(x + ) f(x) Se dice que la función f es diferenciable en x. El proceso que genera la función f a partir de la función f se llama diferenciación. Ejemplos: Hallar la derivada de la función constante f(x) = k f f(x + ) f(x) k k 0 (x) = 0 f (x) = 0 Hallar la derivada de la función f(x) = x f f(x + ) f(x) (x + ) x (x) = 1 f (x) = 1 Hallar la derivada de la función f(x) = 3x
3 f f(x + ) f(x) 3(x + ) 3x 3x + 3 3x 3 (x) = 3 f (x) = 3 Hallar la derivada de la función f(x) = kx f f(x + ) f(x) k(x + ) 3x kx + k 3x k (x) = k f (x) = k Hallar la derivada de la función f(x) = x 2 f f(x + ) f(x) (x + ) 2 x 2 (x) Si queremos allar f (x) en x 0 = 5 Como f (x) = 2x f (5) = 2 5 = 10 (2x + ) (2x + ) = 2x f (x) = 2x Hallar la derivada de la función f(x) = x 3 x 2 + 2x + 2 x 2 f f(x + ) f(x) (x + ) 3 x 3 x 3 + 3x 2 + 3x x 3 (x) (3x 2 + 3x + ) (3x 2 + 3x + ) = 3x 2 f (x) = 3x 2 En general si f(x) = x n, entonces f (x) = nx n 1 Derivada Laterales Se llama derivada por dereca de la función f en x = x 0 a: f (x 0 + ) + f(x 0 +) f(x 0 ), siempre que este límite exista Se llama derivada por izquierda de la función f en x = x 0 a: f (x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 ), siempre que este límite exista
4 Reglas básicas de derivación (1) Regla de la constante Si f(x) = k, donde k es cualquier número real, entonces: (2) Regla de la potencia. f (x) = 0 (La derivada de una función constante es 0) Si f(x) = x n, donde k es cualquier número real diferente de 0, entonces: f (x) = nx n 1 (3) Regla de una constante por una función. Si f(x) = kg(x), donde k es cualquier número real y existe g (x), entonces: (4) Regla de suma. f (x) = k g (x) Si f(x) = u(x) + v(x), si u (x) y v (x) existen, entonces: (5) Regla de diferencia. f (x) = u (x) + v (x) Si f(x) = u(x) v(x), si u (x) y v (x) existen, entonces: (6) Regla del producto. f (x) = u (x) v (x) Si f(x) = u(x) v(x), si u (x) y v (x) existen, entonces: (7) Regla del cociente f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Si f(x) = u(x), si u (x) y v (x) existe y v(x) 0, entonces: v(x) f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2
5 (8) Regla de la Cadena Si f y g son funciones y es y = f[g(x)], entonces: Derivada Logarítmica. y = f [g(x)] g (x) Se llama derivada logarítmica de una función y = f(x), a la derivada del logaritmo de dica función, es decir: Derivar y = u(x) v(x) (ln y) = y y = f (x) f(x) ln y = ln u(x) v(x) ln y = v(x) ln u(x) Ejemplo: (ln y) = [v(x) ln u(x) ] y y = v (x) ln u(x) + v(x) u (x) u(x) y = y [v (x) ln u(x) + v(x) u(x) u (x)] y = u(x) v(x) [v (x) ln u(x) + v(x) u(x) u (x)] Derivar y = x sen(x) u(x) = x u (x) = 1 v(x) = sen(x) v (x) = cos (x) Entonces como y = u(x) v(x) [v (x) ln u(x) + v(x) u(x) u (x)] y = x sen(x) [cos(x) ln x + sen(x) ] x
6 Recta tangente y normal La función derivada f da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en cualquier punto. Si la derivada se evalúa en x = x 0, entonces f (x 0 ) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x 0, f(x 0 )) Donde la ecuación de la recta tangente a la función en (x 0, f(x 0 )) es: RT: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) Y la recta normal (perpendicular a la recta tangente en dico punto) es: Ejemplo: RN: y = 1 f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ), si f (x 0 ) 0 Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a y = x 3 x en x 0 = 2 x 0 = 2 y 0 = ( 2) 3 ( 2) = 6 Es decir el punto donde debo encontrar la rectas es ( 2, 6) Aora necesitamos la derivada de f f (x) = 3 x 2 1 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es f ( 2) = 3 ( 2) 2 1 = 11 Entonces: RT: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) RT: y = 11 (x ( 2)) + ( 6) RT: y = 11 (x + 2) 6 RT: y = 11 x RT: y = 11 x + 16 RN: y = 1 f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ) RN: y = 1 1 (x + 2) 6 RN: y = x RN: y = x
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