CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR

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1 INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende todos los números reales entre a y b, sin incluirlos. 2. Intervalo cerrado [a, b]: Comprende todos los números reales entre a y b, inclusive. 3. También puede haber intervalos abiertos sólo por la izquierda o por la derecha. LOGARTIMOS Logaritmo en base a de P es el exponente al que hay que elevar P para obtener a. Log a P = n => a n = P Propiedades: 1.- P Q log P log Q a Si a > 1 y P < Q => log a P < log a Q 2.- log a a = log a 1 = log a (P Q) = log a P + log a Q 5.- log a (P/Q) = log a P log a Q 6.- log a P n = n log a P n loga P 7.- log a P = n 8.- Log K = log 10 K Ln K = log e K FUNCIONES log log a P = log b b P a a Una función real de variable real es una relación entre dos conjuntos de números reales de forma que a cada elemento del conjunto inicial (variable independiente, x) le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto imagen (variable dependiente, y). El dominio de definición es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (es decir, el conjunto inicial). 1

2 El recorrido o rango es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (es decir, el conjunto imagen). Una función es creciente en un intervalo si el valor de y aumenta al aumentar el valor de x. Tipos de funciones elementales 1. Función lineal (recta): y = mx + n 2. Función cuadrática (parábola):y = ax 2 + bx + c. Siempre tiene un máximo o un mínimo. ax + b 3. Hipérbola: y =. Siempre tiene una asíntota vertical y una horizontal. cx + d 2

3 1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1.1 Límite de una función cuando x ó x Límite finito (existe límite) Al crecer el valor de x indefinidamente (o decrecer si tiende a ), la función se acerca a un valor real Operaciones con límites finitos Si lim f x =a y lim g x =b x x : 1. lim f x +g x =lim f x lim g x =a+b x x 2. lim f x g x =lim f x lim g x =a b x x x 3. lim f x g x =lim f x lim g x =a b x x [ 4. lim f x x g x ] = lim f x x lim g x x 5. lim [ f x g x ]= [ lim = a b Si no es b = 0 f x ] lim g x =a b Si f(x) > n f x = n lim x f x = n a Si n es impar o si n es par y f(x) es positiva lim [log f x ]=log [ lim f x x ] =log a Si α > 0 y f(x) > Límites infinitos Al crecer el valor de x indefinidamente (o decrecer si tiende a ), la función crece (o decrece) también indefinidamente. Por ejemplo: 1. lim x k =± si k > 0 2. lim a x =± si a > 1 3. lim log a x=± si a > 1 3

4 1.1.4 Comparación de infinitos Aunque dos funciones tiendan a infinito, puede ser que una tienda más rápido que la otra. En este caso se dice que es un infinito de orden superior. Gráficamente es fácil comprobarlo. Si lim lim [ f x g x ] =0 f x =± y lim g x =±, y g(x) es un infinito de orden superior, En general, si a > 1: lim log a x x a a x 1. Dos polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden. 2. En una suma de varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el del sumando de mayor orden Operaciones con expresiones infinitas 1. La suma (o resta) de un infinito con un número finito es un número infinito. 2. El producto de un número infinito con un número finito (distinto de 0) es un número infinito. 3. El cociente entre un número infinito y uno finito es infinito. Su inverso tiende a cero. 4. El cociente entre un número finito y uno que tiende a cero, tiende a infinito. Su inverso tiende a cero Indeterminaciones Se produce una indeterminación en una operación cuando conocer los límites de las funciones implicadas no es suficiente para saber el límite de la operación. Las indeterminaciones más importantes son: : ± 0 : 0 0 : 0 : 1 ± : 0 0 : ± ± 1.2 Cálculo de límites cuando x ó x Cociente de polinomios Prestamos atención sólo a los términos de mayor grado de numerador y denominador. Si el del numerador es un infinito de orden superior, el límite es ±, si el 4

5 denominador es un infinito de orden superior, el límite es 0, y si son del mismo orden, el límite es el cociente entre los coeficientes Diferencia de polinomios 1. Si se puede efectuar la operación, se realiza y después de calcula el límite de la expresión simplificada. 2. Recurriendo a la comparación de infinitos. 3. Si hay una raíz cuadrada en el minuendo, en el sustraendo o en ambos, se multiplica y divide por la conjugada para eliminar las raíces (igual que al racionalizar expresiones con sumas de raíces) Límite de una potencia Hay veces que se puede calcular sin más que conocer los límites de la base y el exponente, pero en algunos casos esto nos lleva a indeterminaciones del tipo 0, 1 ± ó 0 0. El número e: 1 1 x x =e ; 1 1 x x = 1 e =e 1 Basándonos en esto se pueden obtener algunos límites del tipo 1 ±. Si lim f x =1 y lim g x =, entonces: lim f x g x =e lim [ f x 1] g x x 1.3 Límite de una función en un punto A un punto determinado de una función nos podemos acercar por la derecha (tomando valores mayores que él) o por la izquierda (tomando valores menores que él), y es interesante distinguir lo que ocurre por un lado y por otro Limites laterales infinitos Límite cuando x tiende a c por la izquierda: lim x c Límite cuando x tiende a c por la derecha: lim x c + f x =± f x =± La función tiende a infinito cuando nos acercamos a un valor concreto de la x (c) por la izquierda o por la derecha (o por ambos lados). 5

6 1.3.2 Limites laterales finitos Límite cuando x tiende a c por la izquierda: lim x c Límite cuando x tiende a c por la derecha: lim x c + f x =l f x =l La función tiende a un valor real (l) cuando nos acercamos a un valor concreto de la x (c) por la izquierda o por la derecha (o por ambos lados) Límite finito en un punto Si existe lim x c f x =l, esto implica que lim x c 1.4 Cálculo de límites cuando x c En las funciones elementales lim x c Cociente de polinomios lim x c Si Q c 0, entonces lim x c Si Q(c) = 0, entonces: f x = f c P x Q x P x Q x = P c Q c f x = lim f x =l x c + - Si P(c) = 0: se divide numerador y denominador por (x c) y se halla el límite de la función simplificada. - Si P c 0, el límite es ± 1.5 Continuidad en un punto Una función es continua en un punto c si se cumple que lim x c Esto implica que: Existe la función en el punto f x = f c Existe límite por la derecha y por la izquierda en el punto Ambos límites coinciden entre ellos y con el valor de la función Discontinuidad evitable La función no está definida en x = c, pero existe el límite en el punto. 6

7 1.5.2 Discontinuidad de salto finito Existe límite por la izquierda y límite por la derecha en el punto pero no coinciden Discontinuidad de salto infinito No existe límite por la izquierda y/o por la derecha en el punto (es decir, el límite tiende a infinito) Discontinuidad de segunda especie No existe la función por la izquierda o por la derecha en el punto. 7

8 2 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 2.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Derivada Tasa de variación media: es la pendiente la recta que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) T.V.M.[a,b]= T.V.M.[a,a h]= Derivada de f en a: f b f a b a f a h f a h f ' a =lim x a f x f a =lim x a h 0 Si existe f (a) se dice que f es derivable en x = a. f a h f a h El crecimiento de la función en un punto se mide por la pendiente de la tangente a la curva en ese punto, es decir, por f (a) Derivadas laterales Derivada por la izquierda: Derivada por la derecha: f a h f a h f a+h f a h Para que una función sea derivable en un punto, sus dos derivadas laterales deben coincidir. Para que una función sea derivable en un punto es condición necesaria pero no suficiente, que sea continua en el punto. 2.2 FUNCIÓN DERIVADA Si una función es derivable en todos los puntos de un intervalo, se llama función derivada de f a una función f que asocia a cada abscisa x la derivada de f en ese punto (f (x)). Si f es derivable, su derivada es f. Así sucesivamente se definen f, f IV f n). Para que una función sea derivable en un punto es condición necesaria y suficiente que la función derivada sea continua en el punto. 8

9 2.3 REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una función constante: D(k) = 0 Su pendiente es siempre 0 Derivada de x: D(x) = 1 Derivada de una función potencia x n : D(x n ) = n x n-1 Derivada de una suma de funciones: Derivada del producto de un número por una función: D[f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) D[k g(x)] = k g (x) Derivada de un polinomio: D[ax n + bx m + c] = an x n-1 + bm x m Derivada del producto de dos funciones: Derivada del cociente de dos funciones: Derivada de las funciones exponenciales: D[f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) D[ f x f' x g x f x g' x g x ] = g 2 x D[e x ] = e x D[a x ] = a x Ln a Derivada de las funciones logarítmicas: D[Ln x] = 1/x D[log a x] = Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena: Derivada de la función inversa: D [ f 1 x ]= 1 x ln a D[ g f (x)]=d[f[g(x)]]=f'[g(x)] g'(x) 1 f [ f 1 x ] Derivada de las funciones trigonométricas: Derivada de las funciones inversas trigonométricas: D[sen x] = cos x D[cos x] = - sen x D[tg x] = 1 + tg 2 x = cos -2 x 1 D[arc sen x] = 1 x 2 1 D[arc cos x] = 1 x 2 1 D[arc tg x] = 1+x 2 9

10 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.1 PRIMERA DERIVADA Si f(x) es derivable en un punto x 0, la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto es: y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) Crecimiento de funciones La función f(x) es creciente en un punto x 0 si existe un entorno (x 0 a, x 0 + a) tal que, para todo punto x del entorno, si x < x 0 entonces f(x) < f(x 0 ), y si x > x 0 entonces f(x) > f(x 0 ). Es decir, el signo de (x x 0 ) es igual al signo de [f(x)-f(x 0 )]. x x 0 f x >f x 0 Análogamente, una función es decreciente en un punto si el signo de (x x 0 ) es distinto del signo de [f(x)-f(x 0 )]. Si f(x) es derivable en el punto x 0 : f x creciente en x 0 f ' x 0 0 f x decreciente en x 0 f ' x Máximos y mínimos relativos Una función f(x) tiene un máximo relativo en el punto x 0 si y sólo si existe un entorno del punto (x 0 a, x 0 +a) tal que, para todo x que pertenezca al entorno, f(x) < f(x 0 ). La definición para un mínimo relativo es análoga (f(x) > f(x 0 )) Si f(x) es derivable en el punto x 0 y tiene un máximo o un mínimo relativo, entonces f (x 0 ) = 0. Puede ocurrir que un punto con derivada nula no sea ni máximo ni mínimo. Puede ser un punto de inflexión con tangente horizontal. Para distinguir máximos, mínimos y puntos de inflexión: MÁXIMO: f > 0 a su izquierda f < 0 a su derecha MÍNIMO: f < 0 a su izquierda f > 0 a su derecha P. INFLEXIÓN f tiene el mismo signo a ambos lados del punto 10

11 3.2 SEGUNDA DERIVADA Concavidad, convexidad y punto de inflexión Dada una función f(x) trazamos una recta tangente a ella en el punto P, cuya ecuación es t(x). Si en las cercanías de P f(x) < t(x), entonces la curva es cóncava Si en las cercanías de P f(x) > t(x), entonces la curva es convexa Si en las cercanías de P, a un lado es f(x) > t(x) y al otro es f(x) < t(x), entonces P es un punto de inflexión. Si f(x) tiene segunda derivada en x 0 : Si f(x) es cóncava en x 0 f (x) es decreciente en x 0 f ' ' x 0 0 Si f(x) es convexa en x 0 f (x) es creciente en x 0 f ' ' x 0 0 Si f(x) tiene un punto de inflexión en x 0 f ' ' x 0 =0 Por ello: f (x 0 ) < 0 f es cóncava en x 0 f (x 0 ) > 0 f es convexa en x 0 f (x 0 ) = 0 y f (x 0 ) 0 f tiene un punto de inflexión en x 0 MÁXIMO: f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 MÍNIMO: f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0 REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Sean f y g dos funciones derivables en un entorno de un punto a (donde a puede ser +, ó un número finito), y lim f x =0 y lim g x =0, entonces: lim x a x a x a Puede aplicarse en indeterminaciones del tipo 0 0 ó ± ± Puede aplicarse tantas veces como sea necesario. f x g x =lim x a f ' x g' x En indeterminaciones del tipo 0, operando: 0 =0 1 = 0 = y podemos aplicar la regla de L Hôpital. 11

12 4 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 4.1 PASOS EN LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Dominio de definición Son los valores de la variable x para los que existe la función f(x). Casos en los que f(x) no existe: Cuando se anulen los denominadores. Cuando el radicando de las raíces de índice par sea negativo. En el caso de logaritmos de números negativos Simetrías Función par: Si f(x) = f(-x), la función es simétrica respecto al eje Y. Función impar: Si f(-x) = -f(x), la función es simétrica respecto del Origen de coordenadas Ramas infinitas Asíntotas verticales: Si lim x a vertical. Asíntotas horizontales: Si lim x ± f x =±, entonces la recta x = a es una asíntota f x =l, entonces y = l es una asíntota horizontal. Para ver la posición de la curva respecto a ella haremos lim x ± positivo, la curva está por encima de la asíntota, y si es negativo por debajo. Asíntotas oblicuas: La recta y = mx + n es una asíntota oblicua si: lim x ± f x =± y lim x ± f x =m 0 y x lim [ f x mx ]=n x ± f x l. Si es Crecimiento En los intervalos donde la función sea derivable, si es f (x) > 0 la función es creciente, y si es f (x) < 0 la función es decreciente. Cuando f (x) = 0 estamos ante un punto de tangente horizontal (máximo, mínimo o punto de inflexión) 12

13 4.1.5 Concavidad y convexidad En los intervalos en que f (x) sea derivable, si es f (x) > 0 la función es convexa (si, en algún punto, f (x) = 0, es un mínimo), si es f (x) < 0 la función es cóncava (si, en algún punto, f (x) = 0, es un máximo) y si es f (x) = 0 (con f (x) 0) estamos ante un punto de inflexión Puntos de corte con los ejes El punto de corte con el eje Y es (0, f(0)) y el punto de corte con el eje X es (x 0, 0). Suelen ser fáciles de hallar y dan una idea de por dónde va la curva Otros puntos A veces es necesario o conveniente hallar otros puntos para precisar la forma de la curva. 4.2 FUNCIONES POLINÓMICAS (y = P(x) ) 1.- Observar si hay algún tipo de simetría. Si sólo tiene términos de grado par, la función es par; si sólo tiene términos de grado impar, la función es impar. 2.- Hallar lim x f x y lim x f x 3.- Resolver la ecuación P (x) = 0 para hallar los puntos de tangente horizontal. 4.- Obtener, si es fácil, los puntos de corte con los ejes. 4.3 FUNCIONES RACIONALES (y = P(x)/Q(x) ) 1.- Observar si hay algún tipo de simetría. 2.- Ver para qué valores de x se anula Q(x). En estas abscisas habrá asíntotas verticales. 3.- Asíntotas horizontales: Si grado de P(x) grado de Q(x), entonces P x lim x ± Q x =l. La recta y = l es una asíntota horizontal. 4.- Si grado de P(x) = grado de Q(x) + 1, hay una asíntota oblicua y = mx + n. mx + n es el cociente de la división P(x)/Q(x). 5.- Hallar los puntos de tangente horizontal y los puntos de inflexión. 13

14 4.4 OTROS TIPOS DE FUNCIONES Funciones con radicales: Estudiar el dominio y los límites lim x ± f x. Funciones exponenciales: Suelen tener una asíntota horizontal y una rama parabólica. y = a x Pasa por el punto (0,1) y (1,a) Funciones logarítmicas: Al ser la función inversa de una exponencial, será simétrica de ella respecto de la recta y = x. Suelen tener una asíntota vertical y una rama parabólica. y = log a x Pasa por el punto (1,0) y (a,1) 14

15 5 CÁLCULO Y APLICACIONES DE INTEGRALES 5.1 REGLAS BÁSICAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES Si F(x) es una función tal que F (x) = f(x). Entonces f x =F x se llama primitiva de f(x) o integral de f(x). Evidentemente, si F (x) = f(x), también es F x k '= f x k R, así que: f x =F x +k Propiedades Ya que el proceso de integración es opuesto al de derivación, la mayoría de las propiedades de la integral se deducen directamente de las de la derivada. [ f x +g x ]= f x g x c f x =c f x Integrales inmediatas 1=x+k x n = x n 1 1 k n 1 = x +k n 1 2 x 1 x =ln x +k e x =e x +k a x = ax ln a +k ln x =x ln x x+k log a x= x ln x x k ln a senx= cos x+k cos x =senx+k tgx= ln cos x +k 1 =arctg x k 1 x² 15

16 5.1.3 Aplicación de la regla de la cadena Recordamos la regla de la cadena: D[ g f (x)]=d[f[g(x)]]=f'[g(x)] g'(x) por tanto, aplicándola al cálculo integral: f ' [ g x ] f ' x = f [ g x ] k Ejemplo: 3x² e x³ =e x³ k 3x² =ln x³ 1 k x³ INTEGRAL DEFINIDA La integral de una función definida entre dos valores de x, representa el área encerrada entre la curva de la función y el eje X. La integral tendrá un valor positivo si la curva está por encima del eje X y un valor negativo si está por debajo Teorema fundamental del cálculo x Si f es una función continua en [a, b], entonces la función F x = a f x / x [a,b], es derivable y se verifica que F (x) = f(x) Regla de Barrow para cálculo de integrales definidas Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) es una primitiva suya, b entonces: a f x =G b G a Propiedades de la integral definida 1) a a f x =0 f 2) Si f(x) > 0 y continua en [a, b], entonces a b f x 0, y si f(x) < 0 y continua en [a, b], entonces a b f x 0. 3) x [a, b] si f x g x a b f x a b g x 16

17 5.2.4 Cálculo de áreas mediante integrales 1) Área entre la curva y el eje X: habrá que hallar los puntos de corte de la función con el eje X, hallar las integrales definidas entre estos puntos y luego sumarlas en valor absoluto. 2) Área comprendida entre dos curvas: habrá que hallar los puntos de corte entre las dos curvas, hallar las integrales de ambas curvas definidas entre estos puntos y luego restar, en cada tramo, la menor de la mayor. 17