FUNCIONES POLINÓMICAS

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1 PRÁCTICAS CON DERIVE 28 NUM.de MATRÍCULA FECHA... APELLIDOS /Nombre...PC PRÁCTICA CUATRO. FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES POLINÓMICAS Dado un entero n 0, la función f(x) =a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n 2 x 2 + a n 1 x + a n se llama FUNCIÓN POLINÓMICA de grado n. Los números reales a i se llaman coeficientes,a 0 0 se denomina coeficiente principal. I. Funciones polinómicas de grado 2. Parábolas. Completar la siguiente tabla: P 1(x) =x 2 + x +1 P 2(x) =x 2 + x +1/4 P 3(x) =x 2 + x 1/2 Gráfica de P 1 Gráfica de P 2 Gráfica de P 3 Raíces de P 1(x) =0 Raíces de P 2(x) =0 Raíces de P 3(x) =0 (Resolver/Expresión) (Resolver/Expresión) (Resolver/Expresión) Puntos de corte con OX de P 1 Puntos de corte con OX de P 2 Puntos de corte con OX de P 3 Completar cuadrados Completar cuadrados Completar cuadrados P 1(x) = P 2(x) = P 3(x) = Vértice de P 1 Vértice de P 2 Vértice de P 3 Transformación aplicada a P 1(x) para obtener P 2(x) = P 3(x) =

2 PRÁCTICAS CON DERIVE 29 II. Funciones polinómicas de grado 3.Cúbicas. * Sea Q(x)=x 3 + bx 2 + cx + d 1. Expresar la relación entre los coeficientes para que la cúbica tenga un único punto de tangencia horizontal, es decir, sea siempre creciente. RELACIÓN 2. Dibujar dos cúbicas bajo las condiciones anteriores dando valores distintos al coeficiente b. Q1(x)= Q2(x) = 3. Qué transformaciones debes aplicar a Q1(x) para obtener Q2(x)? Funciones inversas Se dice que una función es INYECTIVA sí y sólo sí no existen dos puntos en los que la función toma el mismo valor, es decir, ninguna recta horizontal corta a la gráfica de la función más de una vez. Si una función f(x) es inyectiva, se define LA FUNCIÓN INVERSA DE f, simbolizada por f 1, como la única función definida en la imagen de f que verifica f(f 1 (x)) = x x Imagen de f y por tanto, se verifica f 1 (f(x)) = x x Dominio de f Las gráficas de f y f 1 son SIMÉTRICAS respecto de la recta y = x. Derive dispone de una función que calcula la función inversa a una función dada: INVERSE(expresión de la función,variable) 1. Hallar y dibujar, si es posible, la función inversa de Q1(x). Q1 1 (x) = Observa la simetría con respecto a la recta y = x 2. Hallar y dibujar, si es posible, la función inversa de f(x) =x 3 x +1. f 1 (x) =

3 PRÁCTICAS CON DERIVE 30 III. Funciones trigonométricas. Funciones definidas en DERIVE SIN(x) Seno de x ASIN(x) Arcoseno CSC(x) = 1 sen x Cosecante COS(x) Coseno de x ACOS(x) Arcocoseno SEC(x) = 1 cos x Secante TAN(x) Tangente ATAN(x) Arcotangente COT(x) = 1 tg x Cotangente 1. Dibuja las funciones f(x) = sen x, g(x) = 3 sen x, h(x) = sen(3x) a) La transformación que se aplica a f para obtener g es g(x) = Relaciona los períodos y amplitudes de ambas funciones. b) La transformación que se aplica a f para obtener h es h(x) = Relaciona los períodos y amplitudes de ambas funciones. 2. Dibuja la gráfica de la función f(x) = sen x + cos x. Simplifica la expresión (Opciones/Ajustes de Modo/Simplificación/Trigonometría: Collect ) f(x) = sen x + cos x = Período de f= Amplitud de f= 3. * Dibuja la función g(x) = sen x + cos(2x) Período de g= Estudiar la paridad de g. 4. * Dibuja la función h(x) = sen x cos(2x) Período de h= Estudiar la paridad de h.

4 PRÁCTICAS CON DERIVE 31 IV. Funciones exponenciales y logarítmicas. Funciones definidas en DERIVE. Simplifica las funciones hiperbólicas: EXP(x) Exponencial de base e LN(x) Logaritmo Neperiano SINH(x) = ASINH(x) = Seno hiperbólico Argumento Seno hiperbólico COSH(x) = ACOSH(x) = Coseno hiperbólico Argumento Coseno hiperbólico TANH(x) = ATANH(x) = Tangente hiperbólica Argumento Tangente hiperbólica LOG(x, a) Logaritmo en base a log a x = b x = a b 1. Sean f(x) =e x g(x)=lnx se verifica: f g(x) = Dom (f g) = Img (f g)= g f(x) = Dom (g f) = Img (g f)= 2. * Razonar si las siguientes igualdades son ciertas, compruébalo analítica y gráficamente: a) ln(e x2 )=e ln( x2 ) b) ln(x 3 )=3lnx c) ln(x 2 )=2lnx

5 PRÁCTICAS CON DERIVE * Dado un número real a verificando 0 < 1 a < 1 <a ( ) 1 x a) Las funciones f(x) =, g(x)=a x son simétricas respecto a a b) Las funciones f(x) = log 1/a x, g(x) = log a x son simétricas respecto a 4. Dada la función f(x) =3 x. Determinar la función: a) Simétrica respecto al eje de ordenadas h(x) = b) Simétrica respecto al eje de abcisas h(x) = c) Simétrica respecto a la recta y = x h(x) = 5. Dada la función f(x) =e x2. Dibujar su gráfica. a) Estudiar el dominio e imagen de f. b) Estudiar su paridad e indicar las simetrías de la gráfica de f. c) Determina el punto máximo de la función. d) Dibuja las asíntotas a la curva y escribr sus ecuaciones: V. Otras Funciones Elementales Valor Absoluto ABS(x) = x = { x si x 0 x si x<0 Dom ( x ) = Img ( x ) = 1. Dibuja la función f(x) = x. Determina y dibuja la función que: a) desplaza la gráfica de f dos unidades a la izquierda g 1 (x) = b) desplaza la gráfica de f dos unidades hacia arriba g 2 (x) = c) desplaza la gráfica de f tres unidades a la derecha y una unidad hacia abajo g 3 (x) =

6 PRÁCTICAS CON DERIVE * Dibuja las gráficas de f(x) =x 2 +x 6 yde g(x)= x 2 +x 6. Qué transformación se realiza en la gráfica de f para obtener g? Expresa g como composición de las funciones f y valor absoluto. g(x)= 3. * Dibuja las gráficas de f(x) =x 2 10x+25 y de g(x) =x 2 10 x +25. Qué transformación se realiza en la gráfica de f para obtener g? Expresa g como composición de las funciones f y valor absoluto. Estudia la paridad de g. g(x)= Funciones Máximo y Mínimo Derive dispone de las funciones máximo y mínimo, definidas como x y MAX(x, y)= + x + y Comprueba la definiciones anteriores. 2. Dibuja las gráficas de las funciones MIN(x, y)= x + y 2 x y 2 x, y IR f(x) =x 2 2x 2, g(x) =x 1, h M (x) =máx{f(x),g(x)}, h m (x) =mín{f(x),g(x)} 3. Determina el dominio y la imagen de las funciones del apartado anterior. Dom (g) = Img (g) = Dom (h M ) = Img (h M )= Dom (h m ) = Img (h m )= * Parte Entera y funciones similares Busca en la ayuda de Derive información sobre Funciones Continuas a Trozos. Utilizando las funciones descritas en la ayuda, determina y dibuja la gráfica de: 1. Parte entera de x [x] =mayor entero menor o igual que x [x] = Dom ([x]) = Img ([x]) = 2. f(x) =x [x] = 3. Distancia de x al entero más próximo d(x) = Dom (d) = Img (d)= 4. f y d son funciones periódicas, determina para cada una de ellas cúal es su período. Período (f) = Período (d) =

7 PRÁCTICAS CON DERIVE 34 * Hipérbolas Dibuja la gráfica de f(x) = 1 x. 1. Calcula 2. Halla la asíntota horizontal y la asíntota vertical de f Asíntota Horizontal de f Asíntota Vertical de f 3. Describe las simetrías de la gráfica de f. 4. Determina y dibuja la familia de hipérbolas que tienen las mismas asíntotas que f.(para dibujar unas cuantas puedes utilizar la función VECTOR) 5. Determina la expresión de una hipérbola cuyas asíntotas sean las rectas x = 5, y = 0 f 1 (x) = 6. Describe las simetrías de la gráfica de f Determina la expresión de una hipérbola cuyas asíntotas sean las rectas x = 0, y = 3 f 2 (x) = 8. Describe las simetrías de la gráfica de f Determina la expresión de una hipérbola cuyas asíntotas sean las rectas x = 4, y = 2 f 3 (x) = 10. Describe las simetrías de la gráfica de f Qué transformación en el plano relaciona las gráficas de f, f 1,f 2,f 3?

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