Parcial 1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL Universidad de los Andes 31 de Agosto de 2010

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1 Parcial 1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL Universidad de los Andes 31 de Agosto de 2010 Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma universidad Firma: Duración: 50 minutos No está permitido el uso de calculadoras, libros, apuntes, etc 1. (10 puntos) Encontrar el dominio de f(x) = 3 e 2x, también encontrar f 1 junto con su dominio. 2. (20 puntos) Calcular los siguientes límites, si es posible: a) lim x 0 x x. b) lim x 0 e ( 1 x ). c) lim x ( x x). 3. (20 puntos) Muestre que la función { x 4 sin(1/x), si x 0. f(x) = 0, si x = 0. Es continua en R = (, ). Hint: Use el teorema del emparedado!

2 Primer Parcial de Cálculo Diferencial Sección 21 Departamento de Matemáticas 8 de febrero de Resuelva la desigualdad 1 x x > Encuentre el dominio de la función f(x) = 1 e x y muestre que f es uno-a-uno. 3. Si f(x) = 1 e x calcule f 1 y encuentre el dominio de f Calcular sin(2 tan 1 x). 5. El isótopo de sodio 24 Na tiene una vida media de 15 horas. Una muestra del isótopo tiene una masa de 8 g. Qué cantidad de la muestra hay luego de 60 horas? 1

3 Cálculo Diferencial - Parcial No. 1 - Sección 25 Universidad de los Andes - Departamento de Matemáticas Febrero 16 de 2010 Sin apuntes, sin libros, sin calculadora. 1. [10 puntos] Graficar la función f(x) = 8 2 x+2. Para qué valores de x se tiene que f(x) = 8? 2. [12 puntos] Sea f(x) = 6 sin 1 ( 1 2 x 1). a) Hallar el valor exacto de f(1). b) Hallar el dominio y el rango de f. c) Graficar f. 2 x si x < 2 3. [12 puntos] Sea f(x) = 2x + 4 si 2 x 1 (x 1) si x > 1 a) Es f continua en 2? Justificar plenamente. b) Es f continua en 1? Justificar plenamente. 4. [16 puntos] Hallar los siguientes límites si existen. Si no existen, explicar por qué: x a) lím x 0 x x 2 + x 2 b) lím x 2 x 2 2x 8 ( 1 c) lím x 1 x 1 1 ) x 1 3x + 5 d) lím x 4x2 2x + 3 Que les vaya bien!!!

4 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 1 Responda justificando matemáticamente cada punto 1. (5 pts) Verdadero o Falso. Respuesta sin justificación no es tenida en cuenta a la hora de calificar. (0,5 pts) Suponga que y = f(x) es una función tal que lím f(x) = L. Entonces la x a siguiente ecuación es verdadera: lím f(x) = L. x a (2 pts) El dominio de la siguiente función 4 x 2 f(x) = x 2 x 6 1, es (, 2) (2, 3) (3, ). (2 pts) Si f(x) = tan 1 (x) = arctan(x) y g(x) = sin(x) entonces el valor exacto de 1+tan(x) la composición de g(x) con f(x) se escribe así (g f)(x) = g(f(x)) = x 1 + x 1 x (5 ptos) (2,5 ptos) Grafique la siguiente función f(x) = ln( x 4 ) 3 a) (0,5 ptos)a partir de la gráfica, calcule lím f(x) =? lím x 3 f(x) =? x b) (0,5 ptos)la función f(x) es 1 1 (inyectiva?) (2,5 ptos) Grafique una función y = f(x) que cumpla con la siguiente condiciones a) (0,5 ptos) f(1) = 1 pero lím f(x) = 3 x 1 b) (0,5 ptos) lím f(x) = 2, lím f(x) = x x c) (0,5 ptos) lím f(x) = +, lím f(x) =, lím f(x) = lím f(x) = x 0 + x 0 x 2 + x 2 d) (0,5 ptos) f(6) = 0, f( 2) = 0, f( 1) = 0, f( 4) = 2 e) (0,5 ptos) En cuáles puntos la función no es continua?

5 3. (5 pts) (2,5 pts) Calcule los siguientes límites (1 pto) lím ( x x 2 + 1) x (0,5 ptos) lím (x x 5 4)2 (x + 6) 25 (1 pto) lím x + 2 x 2 x + 2. (2,5 pts) Considere la siguiente función (x + 3) si x < 2 f(x) = (x 3) 2 25 si 2 x < 8. x 7 si x 8 a) (1,25 pts) f(x) es continua en x = 2? b) (1,25 pts) f(x) es continua en x = 8? crg. 2

6 Primer Parcial Cálculo Diferencial MATE1203 Sección 17 eptiembre 1 de 2010 (Segundo semestre de 2010) Recuerde que, a menos que se indique expresamente lo contrario, usted debe justificar plenamente sus respuestas a través de un proceso matemático y/o de castellano escrito Problemas 1. Considere la desigualdad 2 sen(x) tan(x) tan(x) 2 sen(x) > 2. Determine los valores en el intervalo [ 0, π 2 ] para los que se cumple la desigualdad. (Pista: después de un paso sencillo y usual en las desigualdades quedará una expresión fácilmente factorizable). 2. Se muestran a continuación los gráficos de las funciones f(x) punteada y g(x) sólida. Si se sabe que la función g(x) fue obtenida a partir de la función f(x) a través de la asignación de valores para las constantes a, b, c, d en la expresión g(x) = af(cx+d)+b, determine los valores correspondientes para a, b, c y d. Explique claramente su respuesta. 3. Determine dominio, asíntotas y función inversa para la función f(x) = x+2 3x Se define la función x como la parte entera de x, es decir, el mayor valor entero menor o igual que x. Así por ejemplo 5 = 5, 4.9 = 4, π = 3 y 1.2 = 2. Se define también la función e(x) = x + 4 x. Calcule lím e(x), lím e(x) y e(2) y con esos resultados determine si lím e(x) existe y si la función x 2 x 2 + x 2 e(x) es continua cuando x = 2.

7 CÁLCULO DIFERENCIAL - EXAMEN I UNIVERSIDAD DE LOS ANDES TODAS sus respuestas deben ser plenamente justificadas. 1. (a) Resolver para x [0, 2π], cos(x) = 1/2. (b) Verdadero-Falso. Dado a > 0, e 3 ln a + ln(2e a3 +ln 2 ) = ln 4. (c) cot(cos 1 (x)) =? 2. Considere la función (a) Determinar f 1. (b) Hallar rango(f) y rango(f 1 ). f(x) = e 3x Considere la función y = 2x 2 8x 1. Graficar la parábola indicando el vértice. La función es inyectiva? 4. Considere las funciones f(x) = 2x, g(x) = x + 1 y h(x) = sin(x π/4). (a) Hallar F (x) = (f g h)(x). (b) Hacer un MUY BUEN dibujo de la curva F (x). Procedimiento! 5. Considere la recta L dada por la ecuación 3y 2x = 9. Dado x > 0, considere el rectángulo que tiene un vértice en (0, 0), lados sobre los ejes (positivos) X y Y y vértice (x, y) sobre la recta L. Escribir la función A(x) que describe el área de dicho rectángulo. Tiempo: 50 min. 1

8 CÁLCULO DIFERENCIAL - EXAMEN I UNIVERSIDAD DE LOS ANDES TODAS sus respuestas deben ser plenamente justificadas. 1. (a) Resolver para x R, 2 x 3. (b) Resolver para x [0, 2π], sin(x) = 1/2. (c) Resolver para x R, x = log 7 ( 1 49 ). (d) tan(sen 1 (x)) =? 2. Considere la función f(x) = x 2 4x + 7. Graficar la parábola indicando el vértice. Hallar el dominio y el rango. La función es inyectiva? 3. Considere la función (a) Determinar f 1. (b) Hallar Rango de f y Rango de f 1. f(x) = ln(2x 3) 4. Considere las funciones f(x) = x, g(x) = x y h(x) = cos(x π/4). (a) Hallar F (x) = (f g h)(x). (b) Hacer un MUY BUEN dibujo de la curva F (x). En su dibujo debe haber un procedimiento. 5. La distancia entre el origen y un punto (a, b) en R 2 es a 2 + b 2. Encontrar la función de x que describe la distancia entre el origen y un punto en la recta 3x 2y = 1. Tiempo: 50 min. 1

9 Universidad de los Andes Mate Cálculo Diferencial PARCIAL 1 (02/16/2010) 1 Departamento de Matemáticas Favor firmar el tema y devolverlo con el examen Nombre: Código: 1. Realice lo que se indica a) Halle el dominio de b) Resuelva la ecuación f(x) = x 2 25 x 2 lnx + ln(x 1) = ln(5x 8). c) Calcule d) Calcule el límite valor:[2.4] ( ( )) ( ( )) 12 3 sin 2tan 1 cos 2sin lím h 2 1 h x 2 2. Realice lo que se indica a) Use transformaciones para hacer la gráfica de f(x) = 1 + ln( x + 3) a partir de la gráfica de g(x) = lnx. Si hay alguna asíntota indiquela claramente. Es f inyectiva? Explique. b) Halle gráficamente la inversa de f. Cuál es su dominio? Su rango? c) Halle una fórmula para f 1. Calcule f f 1. valor:[1.8] 3. Encuentre los valores de a y b para los cuales f es continua en toda parte { x + 1 si 2 < x < 1 f(x) = x 2 + ax + b si x 1 o x 2 [valor: 0.8] Tiempo: 1:20 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad.

10 MATE PARCIAL 1 (08/06/2010) 1 1. Basados en la grafica de f(x) = sen x en el intervalo [ π, π], grafique: a) f(x) + 1. b) 2 f(x). c) f(4x). d) f( x ). e) f(x). f ) f( x). Valor:[1.0] 2. Resuelva: a) En el intervalo[0, 2π), sen x = tan x. b) Dominio de f(x) = 25 x 2 x 1 c) ln(x 2) + ln(x 3) = ln 2. d) Valor exacto de sin ( 2tan 1 ( 12 5 Valor:[2.4] 3. Considere la función a) Halle él dominio de f. )) ( cos 2sin 1 ( )) 3 4 f(x) = 1 + ex 1 e x b) Halle una fórmula para f 1 y su dominio. c) Verifique que ( f 1 f)(x) = x d) Cuáles son los rangos de f y f 1? Valor:[1.6] Bono: Resuelva para x: e 4x 3e 2x 4 = 0 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad.

11 Cálculo Diferencial - Parcial No. 1 Universidad de los Andes - Departamento de Matemáticas Sin apuntes, sin libros, sin calculadora. 1. [20 puntos, 5 c/u] a) Resolver la siguiente desigualdad: x x. b) sen(tan 1 (x)) =? c) Simplificar la siguiente expresión e 3 ln 2 + ln(2e π ln 2 ) d) Si f(x) = x 2 6x + 1, g(x) = x y h(x) = e x, encontrar f h g. 2. [10 puntos] Considere la función f(x) = x a) Hacer un MUY BUEN dibujo de la gráfica de f(x). b) Para qué valores de x, se tiene que f(x) = 1? 3. [10 puntos] Considere la función, f(x) = 3 + e 1 x a) Determinar f 1 (x). b) Hallar rango(f) y rango(f 1 ). 4. [10 puntos] Considere la recta L dada por la ecuación 3y 2x = 9. Dado x > 0, considere el rectángulo que tiene un vértice en el (0, 0), lados sobre los ejes (positivos) X y Y y vértice (x, y) sobre la recta L. Haga un dibujo de la situación. Escribir la función P (x) que describe el perímetro de dicho rectángulo.

12 Cálculo Diferencial - Parcial No. 1 Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes Febrero 17 de 2010 Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma universidad Firma: Duración: 80 minutos No está permitido el uso de calculadoras, libros, apuntes, etc Resolver cada punto en una hoja separada. Todos los puntos valen lo mismo. 1. Sea f(x) = e x (a) A partir de la gráfica de g(x) = e x, encontrar la gráfica de f(x). Si hay alguna asintota indíquela claramente con una linea punteada. Es f inyectiva? Explique su respuesta! (b) Encontrar una fórmula para f 1, la inversa de f. Diga cúales son el dominio y el rango de f 1.

13 2. (a) Encontrar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación: e 8x 5e 4x = 24 (b) Muestre que si y entonces f(x) = cos x 1 + sin x g(x) = arcsin x (f g)(x) = 1 x 2

14 3. Calcular los siguientes límites: (a) lim x 4 x 2 x 4 (b) lim x 1 x x 2 1 3

15 4. (a) Diga cúal es el signíficado formal de la siguiente expresión: lim f(x) = x a + (b) Demuestre formalmente que si f(x) = x 1, entonces lim f(x) = x 1 + 4

16 5. Sea f(x) = { e x 3 + c 2 si x 3 c sin( xπ 2 ) + x si x > 3 Encontrar los valores de c que hacen que f sea continua en todo R. Explicar claramente su respuesta. 5