FUNCIONES DE VARIABLE REAL

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1 CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47

2 A. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN. Una relación entre dos conjuntos X e Y de números reales que hace corresponder a cada elemento x del primer conjunto un solo elemento y del segundo conjunto se llama función de y respecto a x. Dicha relación viene expresada por una ecuación en dos variables y = f(x). El conjunto de números reales x para los cuales la fórmula que define la función produce valores también reales se llama dominio de la función. En símbolos, D(f) = {x R : y R, y = f(x)} El conjunto de valores y que se obtienen como resultado de aplicar la fórmula que define la función a los valores del dominio se llama imagen o rango de la función. R(f) = {y R : x D(f), y = f(x)} Gráficamente, el dominio corresponde a los valores del eje de abscisas (X) en los cuales la función se puede representar. La imagen corresponde a los puntos del eje de ordenadas (Y ) para los que existe gráfica. PROBLEMA 2.. Determinar las funciones a las que da lugar la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 = r 2. La ecuación x 2 + y 2 = r 2 no corresponde a una función. Pero si escribimos y = ± r 2 x 2, obtenemos dos funciones cuyo dominio es el intervalo cerrado [ r, r] para ambas, mientras que las imágenes son diferentes: para la primera función es [0, r] y para la segunda, [ r, 0]. Las gráficas son las que se muestran a continuación. 48

3 y = r 2 x 2 y = r 2 x 2 PROBLEMA 2.2. Cuál (o cuáles) de las ecuaciones y = x 2, x = y 2 corresponde a una función de y respecto a x? Las ecuaciones y = x 2, x = y 2 representan dos parábolas. La primera de ellas es una función pero la segunda no es función. Sin embargo, da lugar a dos funciones y = x e y = x. Las gráficas son las siguientes: y = x 2 y = x y = x De las gráficas se observa que el dominio de y = x 2 es todo R y la imagen el conjunto [0, ). El dominio de y = x e y = x es el intervalo [0, ), la imagen de la primera es también el intervalo [0, ) y la de la segunda (, 0]. PROBLEMA 2.3. Encontrar el dominio y el rango de la función y = x. 49

4 . Para poder efectuar la raíz, el radicando debe ser no negativo. Es decir, tenemos que resolver la inecuación x 0. La solución es x, o bien x (, ]. El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operación x. Como x 0, las raíces de números positivos dan números positivos y no falta ninguno. Así que la imagen es el intervalo [0, ). PROBLEMA 2.4. Encontrar el dominio y el rango de la función y = ( x + 2 ) 2.. De nuevo necesitamos efectuar una raíz cuadrada, para lo cual plantearemos la inecuación x La solución es x 2, o bien, x [ 2, ). El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operación ( x + 2 ) 2. La raíz cuadrada da resultados positivos y al elevarlos al cuadrado el resultado también es positivo. De nuevo la imagen es el intervalo [0, ). Observación: No se puede confundir la función anterior con la función y = x + 2, pues el dominio de esta última son todos los reales. La simplificación de la raíz con el cuadrado sí es posible pero sólo para los valores de x 2, que son los del dominio de la función. PROBLEMA 2.5. Encontrar el dominio y el rango de la función y = cos(x 2 ).. En este caso aparece una división, que es una operación válida para números reales no nulos. Debemos plantear la inecuación cos(x 2 ) 0. 50

5 Como la función coseno se anula en los valores ±π/2, ±3π/2, ±5π/2,..., debe ser x 2 ±π/2, ±3π/2, ±5π/2,..., es decir, x ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2,... Todos estos valores formarán el dominio. Como la función coseno toma valores comprendidos entre y, la división de entre números x [, ] resultan números mayores que uno, o menores que -. El rango o imagen será entonces la unión de los intervalos [, ] y [, ). PROBLEMA 2.6. Calcular el dominio de la función y =. x 3 2x +. En este caso aparece una división dentro de una raíz cuadrada. Debemos plantear dos inecuaciones, una que permita la división y otra que permita la raíz. (a) 2x + 0; (b) (x 3)/(2x + ) 0. Al despejar x de (a), resulta x /2. Para resolver (b) es conveniente construir una tabla de signos para el numerador y el denominador y operarlos de acuerdo a las reglas de productos (o cocientes) de signos. En resumen tenemos: x < /2 /2 < x < 3 x > 3 x 3 + 2x (x 3)/(2x + ) + + Esto nos dice que (b) es cierto cuando x /2 o cuando x 3. Reuniendo (a) y (b) queda en definitiva que el dominio de la función es la unión de los intervalos (, /2) y [3, ). PROBLEMA 2.7. Calcular el dominio de la función y = x 2x. 5

6 . En este caso aparece un valor absoluto dentro de una raíz cuadrada. Al plantear la inecuación x 2x 0, habrá que separarla en dos casos de acuerdo al signo de la expresión que aparece dentro del valor absoluto. (a) x 2x 0 si x 0 = x 0 si x 0 = x = 0. (b) x 2x 0 si x < 0 = 3x 0 si x < 0 = x < 0. En definitiva, la solución será la unión de los valores obtenidos en (a) y en (b), es decir, el intervalo (, 0]. PROBLEMA 2.8. Encontrar el dominio de las funciones definidas por las siguientes fórmulas: a) f(x) = x 2. b) f(x) = x 2. c) f(x) = x + x 2. d) f(x) = x 2 + x 2. e) f(x) = 2x 2 x. a) f(x) = x 2 está definida cuando x 2 0. Al resolver la inecuación tenemos: x 2 x 2 x x. En definitiva, D(f) = {x : x } = [, ]. b) f(x) = x 2 tiene sentido para x 2 0 y x 2 0. De aquí obtenemos: x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 x R; x 2 0 x 2 x. Se obtiene de lo anterior que D(f) = {x : x } = [, ]. 52

7 c) f(x) = x + no está definida únicamente cuando x = y x = 2, x 2 por lo que D(f) = {x : x, x 2} = R \ {, 2}. d) f(x) = x 2 + x 2 está definida cuando x 2 0 y x 2 0, es decir, cuando x y x, lo que da en definitiva x =, o bien, el conjunto {, }. e) El dominio de la función es el conjunto de puntos para los que 2x 2 x 0. Como las raíces del polinomio son x =, x = /2, debemos resolver la inecuación 2(x )(x + /2) 0. Haciendo una tabla de signos como en el problema 2.6 tenemos que D(f) = (, /2] [, ). PROBLEMA 2.9. Encontrar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x + x 2. b) f(x) = x 2 cos x. c) f(x) = x + x 2. d) f(x) = ln(arc sen x). e) f(x) = ln x sen(ln x). f) f(x) = x x. g) f(x) = x x. a) El dominio de f(x) = x + x 2 será el conjunto de puntos para los que x 0 y x 2 0. Por una parte, x 0 x y por otra, x 2 0 x 2; la intersección de ambos conjuntos es el vacío. Por tanto, D(f) =. x 2 b) Si f(x) =, debe ser cos x 0, es decir cos x. Esto da cos x lugar al conjunto D(f) = R \ {2kπ k Z}. 53

8 c) Como el denominador de la función f(x) = x nunca se anula, el + x2 dominio es todo R. d) Si f(x) = ln(arc sen x), ha de ser arc sen x > 0 lo cual ocurre cuando 0 < x. Luego D(f) = (0, ]. e) El dominio de la función f(x) = ln x será el conjunto intersección sen(ln x) de x > 0 y sen(ln x) 0. Pero sen(ln x) = 0 ln x = kπ con k Z x = e kπ. En definitiva, D(f) = {x x > 0 y x e kπ con k Z}. f) Para que f(x) = esté definida, debe ser x x = 0, es decir x x x x, lo cual ocurre si x < 0. Por tanto, D(f) = (, 0). g) El dominio de f(x) = x x se obtiene como solución de las inecuaciones x 0 y 2 + x > 0. Esto da el conjunto x 0, x > 2, es decir el intervalo ( 2, 0]. B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. Se llama gráfica de una función al conjunto de puntos en el plano que verifican la fórmula que define dicha función. La abscisa de los puntos corresponde a la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente. G(f) = {(x, y) R 2 : x D(f), y = f(x)} Para dibujar una función hay que tener en cuenta la forma en que está definida. Así, si la función es de la forma (a) y = ax + b, será una recta y bastan dos puntos de la misma. (b) y = ax 2 + bx + c, será una parábola y se necesita el vértice y los puntos donde corta a alguno de los ejes. Otra forma será escribirla como y = a(x h) 2 + k y deducir su gráfica de la de y = x 2 como veremos en los ejemplos siguientes. 54

9 (c) y = ax + b representa una hipérbola, la cual se podrá escribir como cx + d y = m + n y dibujarla mediante transformaciones de y = /x. x + p (d) y = f(x) corresponde al valor absoluto de la función f(x). Se representa la función y = f(x) y de la parte que quedó debajo del eje Y se toman los puntos simétricos respecto a este eje. (e) Si la función está definida de diferentes maneras en distintos intervalos I,..., I n de números reales, es decir tiene la forma general f (x) si x I f(x) =... habrá que dibujar por separado la función que corresponde a cada uno de los intervalos, para después reunir f n (x) si x I n, sus partes. PROBLEMA 2.0. Dibujar la gráfica de la función f(x) = x + /4. En primer lugar dibujamos la gráfica de y = x + /4 para después trazar la gráfica simétrica respecto al eje X de la parte negativa. Resulta: y = x + /4 y = x + /4 55

10 PROBLEMA 2.. Trazar la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = [x] (donde [x] representa el mayor entero que es menor o igual a x). b) f(x) = [x] x. c) f(x) = {x} (donde {x} es la distancia de x al entero más próximo). a) La función [x] (llamada parte entera de x) es constante en cada intervalo de la forma [n, n + ) donde n es un número entero. Tenemos: b) Debido al apartado anterior, [x] x = n x si x [n, n + ), resultando siempre la parte decimal del número x cambiada de signo (pues n representa la parte entera que se resta). La gráfica se repite en todos los intervalos [n, n + ), con n Z, lo que quiere decir que la función es periódica de período. c) En este caso también la función es periódica y la gráfica queda de la forma: 56

11 PROBLEMA 2.2. Dibujar la gráfica de la función y = { x 2 si x < 2, si x 2. La parábola y = x 2 se debe representar en el intervalo ( 2, 2) que equivale a x < 2. Fuera de este intervalo, la gráfica es una recta horizontal y =. PROBLEMA 2.3. Dibujar la gráfica de la función y = 2 x. Esta gráfica se obtiene a partir de la gráfica de y = /x mediante dos transformaciones: un cambio de signo que produce una simetría respecto al eje X y la suma de dos unidades lo que origina que la gráfica suba dos unidades respecto al eje Y. La sucesión de gráficas es la siguiente: 57

12 y = /x y = /x y = 2 /x PROBLEMA 2.4. Dada la función f(x) = (x 2 x), dibujar la gráfica de la función y = f(x). Como (x 2 x) = x 2 x, vamos a dibujar y = x 2 x, y después tomar su valor absoluto. Podemos escribir, completando cuadrados, x 2 x = (x 2 x + /4) /4 = (x /2) 2 /4. La secuencia de gráficas a dibujar será (a) y = x 2 ; (b) y = (x /2) 2 ; (c) y = (x /2) 2 /4. La parte (b) se obtiene trasladando el vértice media unidad a la derecha, y la parte (c) bajando la gráfica /4 respecto al eje Y. y = x 2 y = (x /2) 2 y = (x /2) 2 /4 En definitiva, tenemos: 58

13 y = x 2 x PROBLEMA 2.5. Representar gráficamente la función f(x) = x + x. Escribimos la función según el signo de x como f(x) = Por tanto basta dibujar las funciones f (x) = x + x y f 2(x) = x x y obtener a partir de ellas la función f(x). { x +x si x 0, x x si x < 0. Si escribimos f (x) = + x y f 2(x) = +, podemos representar x la siguiente secuencia de gráficas: y = /x y = + x y = + x 59

14 y = /x y = x y = + x Reuniendo las dos gráficas en una, resulta en definitiva f(x) = x + x PROBLEMA 2.6. Dibujar el conjunto de los puntos (x, y) que satisfacen las siguientes relaciones a) x + y =. b) x y =. c) x = y. d) x 2 + y 2 = 0. e) xy = 0. f) x 2 2x + y 2 = y. g) x 2 = y 2. h) x = y 2. i) x = y. 60

15 a) En cada uno de los cuadrantes la relación es de la forma: x, y 0 : x + y =, es decir y = x; x 0, y < 0 : x y =, es decir y = x ; x, y < 0 : x y =, es decir y = x; x < 0, y 0 : x + y =, es decir y = + x. Resulta en definitiva, - - b) Análogamente al apartado anterior, descomponemos la ecuación según los signos de x e y: x, y 0 : x y =, es decir y = x ; x 0, y < 0 : x + y =, es decir y = x; x, y < 0 : x + y =, es decir y = + x; x < 0, y 0 : x y =, es decir y = x. - 6

16 c) En este caso descomponemos la ecuación según los signos de x e y : x, y : x = y, es decir y = x; x, y < : x = y, es decir y = 2 x; x, y < : x = y, es decir y = x; x <, y : x = y, es decir y = 2 x d) x 2 + y 2 = 0 x = y = 0. La solución es el origen. e) xy = 0 x = 0 ó y = 0. La solución está formada por los ejes de coordenadas. f) x 2 2x + y 2 = y es la ecuación de una circunferencia. Para determinar el centro y radio, la escribiremos como suma de cuadrados: x 2 2x + y 2 y = 0 (x ) 2 + (y /2) 2 = + /4 = 5/4. Se trata pues de la ecuación de una circunferencia de centro (, /2) y radio 5/2. 62

17 g) x 2 = y 2 x = y. En el primero y tercer cuadrantes, x = y, mientras que en el segundo y cuarto, x = y. h) x = y 2 es la ecuación de una parábola cuya gráfica es la siguiente: i) x = y { x = y si y 0, x = y si y < 0. 63

18 C. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones comunes con números reales se pueden definir para las funciones. Tenemos lo siguiente:. (f + g)(x) = f(x) + g(x) y D(f + g) = D(f) D(g). 2. (f g)(x) = f(x) g(x) y D(f g) = D(f) D(g). 3. (f g)(x) = f(x) g(x) y D(f g) = D(f) D(g). 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) y D(f/g) = D(f) D(g) {x : g(x) 0}. 5. (f n )(x) = [f(x)] n y D(f n ) = D(f), si n N. Además se define la composición entre dos funciones así: 6. (f g)(x) = f[g(x)], siendo D(f g) = {x D(g) : g(x) D(f)}. Cuando al componer dos funciones el resultado es la identidad (y = x), se dice que las funciones son inversas. PROBLEMA 2.7. Una función f es par si f(x) = f( x), x D(f), e impar si f(x) = f( x), x D(f). a) Determinar si f + g es par, impar o no necesariamente ninguna de las dos cosas, en los cuatro casos obtenidos al tomar f par o impar y g par o impar (las soluciones pueden estar convenientemente dispuestas en una tabla 2 2). b) Hágase lo mismo para f g. c) Idem para f g. d) Demostrar que toda función par f puede escribirse de la forma f(x) = g( x ) para una infinidad de funciones g. a) g\f PAR IMPAR PAR par ni par ni impar IMPAR ni par ni impar impar 64

19 b) g\f PAR IMPAR PAR par impar IMPAR impar par c) g\f PAR IMPAR PAR par par IMPAR par impar d) Dada una función par f, basta definir g(x) = f(x) para x 0 y g arbitraria para x < 0 para que f(x) = g( x ). PROBLEMA 2.8. Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares: a) f(x) = ax + a x. 2 b) f(x) = + x + x 2 x + x 2. c) f(x) = ln + x x. d) f(x) = 3 (x + ) (x ) 2. e) f(x) = ln(x + + x 2 ). a) Como f( x) = (a x + a x )/2 = f(x), la función es par. b) La función es impar porque f( x) = x + ( x) 2 + x + ( x) 2 = x + x 2 + x + x 2 = f(x). 65

20 c) Si escribimos f(x) = ln + x = ln( + x) ln( x), entonces x f( x) = ln x = ln( x) ln( + x) = f(x). + x La función es impar. d) Como f( x) = 3 ( x + ) ( x ) 2 = 3 (x ) (x + ) 2 = f(x), la función es par. e) Podemos escribir f( x) = ln( x + + ( x) 2 ) = ln( x + + x 2 ). Como f(x) + f( x) = ln(x + + x 2 ) + ln( x + + x 2 ) = ln(x + + x 2 )( x + + x 2 ) ( = ln ( + x 2 ) 2 x 2) = ln = 0, se deduce que f(x) = f( x) y la función es impar. PROBLEMA 2.9. Sea f(x) =. Interpretar lo siguiente, averiguando los valores + x de x para los que tiene sentido: a) f(f(x)) b) f(/x). c) f(cx). d) f(x + y). e) f(x) + f(y). f) Para qué números c existe x tal que f(cx) = f(x)? a) f(f(x)) = f ( ) = + x + +x = x++ +x Tiene sentido para x y x 2. b) f(/x) = + x = x+ x = x x +. Tiene sentido para x 0 y x. 66 = x + x + 2.

21 c) f(cx) = + cx. Tiene sentido para x /c si c 0. d) f(x + y) = + (x + y). Tiene sentido cuando x + y. e) f(x) + f(y) = + x + + y = x + y + 2 (x + )(y + ). Tiene sentido para x e y. f) f(cx) = f(x) = + cx = + x. Para que tenga sentido, debe ser x /c si c 0 y x. En esta situación, + cx = = + x = + cx = x = cx. + x Si c =, se verifica para todo x R \ { } y si c, se verifica sólo para x = 0. PROBLEMA Dadas las funciones f(x) = x + /x y g(x) = x +, encontrar la función compuesta. A falta de información más precisa, vamos a realizar las dos composiciones posibles dependiendo del orden en que se escriban las funciones (los resultados serán diferentes pues la composición no es conmutativa). Resulta: (f g)(x) = f ( x + ) = x + + x + ; (g f)(x) = g(x + /x) = x + (/x) +. 67

22 PROBLEMA 2.2. Sea g(x) = x 2 y sea h(x) = { 0 si x Q, si x R \ Q. a) Para qué valores de y es h(y) y? b) Para cuáles es h(y) g(y)? c) Qué es g(h(z)) h(z)? d) Para cuáles w es g(w) w? e) Para cuáles t es g(g(t)) = g(t)? a) Si y Q, h(y) = 0; en este caso, h(y) y cuando 0 y. Si y Q, h(y) = ; en este caso, h(y) y cuando y. En definitiva, h(y) y en el conjunto {y Q : y 0} {y R \ Q : y }. b) Si y Q, h(y) g(y) si y sólo si 0 y 2, lo cual es cierto para todo y. Si y Q, h(y) g(y) si y sólo si y 2, es decir, y. En definitiva, h(y) g(y) en Q {y R \ Q : y }. c) Si z Q, g(h(z)) h(z) = g(0) 0 = 0. Si z Q, g(h(z)) h(z) = g() = = 0. Luego, g(h(z)) h(z) = 0, z R. d) g(w) w cuando w 2 w, o bien w(w ) 0, cuya solución es [0, ]. e) g(g(t)) = g(t) equivale a g(t 2 ) = t 2 t 4 = t 2 t 2 (t 2 ) = t 2 (t )(t + ) = 0. La solución de esta ecuación da los puntos {, 0, }. 68

23 PROBLEMA a) Supóngase que H es una función e y un número tal que H(H(y)) = y. Cuál es el valor de H(H(H(... (H(y)... ))) (80 veces)? b) La misma pregunta sustituyendo 80 por 8. c) La misma pregunta de a) si H(H(y)) = H(y). a) Por hipótesis H 2 (y) = H(H(y)) = y. Procediendo por recurrencia, obtenemos sucesivamente que H 3 (y) = H(H 2 (y)) = H(y); H 4 (y) = H(H 3 (y)) = H(H(y)) = y;... H 2n (y) = H(y); H 2n (y) = y. de modo que H(H(H(... (H(y)... ))) = H 80 (y) = y. b) Por el mismo razonamiento anterior, H 8 (y) = H(H 80 (y)) = H(y). c) Si H 2 (y) = H(H(y)) = H(y), H 3 (y) = H 2 (y) = H(y), y así sucesivamente, se puede obtener por recurrencia que H n (y) = H 2 (y) = H(y) y en particular, H 80 (y) = H(y). PROBLEMA Dadas las funciones P (x) = 2 x, Q(x) = x 2, R(x) = sen x, determinar los siguientes valores (en cada caso la solución debe ser un número): a) (Q P )(y). b) (Q R)(y). c) (Q P R)(t) + (R P )(t). 69

24 a) (Q P )(y) = Q(P (y)) = Q(2 y ) = (2 y ) 2 = 2 2y. b) (Q R)(y) = Q(R(y)) = Q(sen y) = sen 2 y. c) (Q P R)(t) + (R P )(t) = (QP )(R(t)) + R(P (t)) = Q(P (sen t)) + R(2 t ) = Q(2 sen t ) + sen(2 t ) = (2 sen t ) 2 + sen(2 t ) = 2 2 sen t + sen(2 t ). PROBLEMA Expresar cada una de las siguientes funciones en términos de las funciones P (x) = 2 x, Q(x) = x 2, R(x) = sen x. a) f(x) = 2 sen x. b) f(x) = sen 2 x. c) f(x) = sen x 2. d) f(x) = sen 2 x. e) f(t) = 2 2t. ( f) f(u) = sen 2 u + 2 u2). ( ( ))) g) f(y) = sen sen sen (2 22sen y. h) f(a) = 2 sen2 a + sen a sen(a2 +sen a). a) f(x) = 2 sen x = P (sen x) = (P Ŗ)(x) = f = P Ŗ. b) f(x) = sen 2 x = R(2 x ) = (RP )(x) = f = RP. c) f(x) = sen x 2 = R(x 2 ) = (RQ )(x) = f = RQ. d) f(x) = sen 2 x = Q(sen x) = (QŖ)(x) = f = QŖ. e) f(t) = 2 2t = P (2 t ) = (P P )(t) = f = P P. ( f) f(u) = sen 2 u + 2 u2) ( = R 2 u + 2 u2) = R(P (u) + P (u 2 )) = R[P (u) + (P Q )(u)] = [R( P + P Q )](u) = f = R( P + P Q ). 70

25 ( ( ))) g) f(y) = sen sen sen (2 22sen y = R (R (R (P (P (P (R(y))))))) = f = RŖŖP P P Ŗ. h) Como en los casos anteriores, podemos escribir f(a) = 2 sen2 a + sen a sen(a2 +sen a) = P (sen 2 a) + R(a 2 ) + P (sen(a 2 + sen a)) = P (Q(sen a)) + R(Q(a)) + P (R(a 2 + sen a)) = (P Q Ŗ)(a) + (RQ )(a) + (P Ŗ)(Q + R)(a) = f = P Q Ŗ + RQ + P Ŗ( Q + R). PROBLEMA Demostrar o dar un contraejemplo de las siguientes proposiciones: a) f (g + h) = f g + f h. b) (g + h) f = g f + h f. c) d) f g = f g. f g = f g. a) Si tomamos g(x) = h(x) = y f una función para la que f(2) f()+f() (por ejemplo f(x) = x 2 ), resulta que [f (g +h)](x) = f(2) pero [f g + f h](x) = f() + f(). La proposición es falsa. b) [(g + h) f](x) = (g + h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) = (g f)(x) + (h f)(x) = (gf + hf )(x), x, por lo que la proposición es cierta. c) Como ( ) (x) = f g la proposición es cierta. f(g(x)) = ( ) ( ) (g(x)) = f f g (x), d) Sea g(x) = 2 y f una función para la que f(/2) /f(2) (cualquier función f(x) = k con k lo cumple). Entonces f g (x) = ( f(2) pero f ) (x) = f(/2). g 7

26 La proposición es falsa. PROBLEMA a) Sea f(x) = x +. Existen funciones g tales que f g = g f? b) Sea f una función constante. Para qué funciones g se cumple f g = g f? c) Supóngase que f g = g f, g. Demostrar que f es la función identidad. d) Si f < g, se cumple h f = h g? Es f h < g h? a) Para que f g = g f debe ser f(g(x)) = g(f(x)), x, es decir g(x)+ = g(x + ). La función g debe ser solución de la ecuación g(x + ) g(x) =. En particular es válida cualquier función g(x) = x + k con k constante. b) Si (f g)(x) = (g f)(x) y f(x) = k, entonces k = g(k) por lo que basta tomar cualquier función g tal que g(k) = k. c) Probaremos el contrarrecíproco, es decir, si f identidad, entonces existe g tal que f g g f: f identidad = a, a (a a ) : f(a) = a. Entonces (g f)(a) = g(a ) y (f g)(a) = f(g(a)). Elegimos g tal que g(a) = g(a ) = a. De este modo, f(g(a)) = f(a) = a y g(f(a)) = g(a ) = a. Como a a, entonces g f f g, como queríamos probar. d) Si f(x) < g(x), no tiene por qué cumplirse que h(f(x)) = h(g(x)) (basta definir h = identidad). Sin embargo, como f(h(x)) < g(h(x)), h(x), sí es cierto que f h < g h. 72

27 PROBLEMA Hallar la función inversa de f en los siguientes casos: a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = ln(x/2). c) f(x) = x 2. d) f(x) = arc tg 3x. e) f(x) = 3 x 3. { x si x 0, f) f(x) = x 2 si x > 0. En qué campos estarán definidas estas funciones inversas? Utilizaremos en todos los casos la equivalencia y = f(x) x = f (y). a) f(x) = 2x + 3 y = 2f (y) + 3 f (y) = y 3 2. La función está definida en todo el campo real. b) f(x) = ln x 2 y = ln f (y) e y = f (y) 2 2 El dominio de definición es todo R. f (y) = 2e y. c) f(x) = x 2 y = [f (y)] 2 f (y) = y +. Está definida cuando y + 0, es decir en [, ). d) f(x) = arc tg 3x y = arc tg 3f (y) f (y) = tg y 3. Esta función está definida en R \ {y cos y = 0} = R \ {(2k + )π/2 : k Z}. e) f(x) = 3 x 3 y = 3 f (y) 3 y 3 = f (y) 3 función está definida en todo R. { x si x 0, f) f(x) = x 2 si x > 0. f (y) 3 = y 3 f (y) = 3 y 3. La Si x 0, como y = x, también y 0 y f (y) = y. 73

28 Si x > 0, como y = x 2 también y > 0 y [f (y)] 2 = y es decir, f (y) = y. { En definitiva, f y si y 0, (y) = y el dominio es todo R. y si y > 0, PROBLEMA Sea f(x) = ax + b cx a, x a/c. Probar que f (x) = f(x). Para calcular la inversa de una función, despejamos x de la ecuación que define dicha función. Así pues, de y = ax + b cx a obtenemos y(cx a) = ax + b = cyx ay = ax + b = x(cy a) = ay + b = x = ay + b cy a = f (x) = ax + b cx a = f (x) = f(x). 74

29 D. EJERCICIOS PROPUESTOS..- Determina de las siguientes ecuaciones cuáles corresponden a una función. En caso de no serlo, encuentra las fórmulas de todas las funciones a que dan lugar las ecuaciones correspondientes. En cualquier caso encuentra el dominio y la imagen. (Se recomienda dibujar la gráfica). a) x y =. Resp.: Sí ; y = /x ; R {0}; R {0}. b) x 2 y 2 =. Resp.: No; y = /x, y = /x; R {0}, R {0}; R {0}, R {0}. c) xy =. Resp.: Sí ; y = /x; R {0}; R {0}. 2.- En los siguientes ejercicios se dan las ecuaciones de ciertas funciones. Encontrar su dominio y su rango. a) y = + x. Resp.: [0, ); [, ). b) y = cos /x. Resp.: R {0}; [, ]. c) y = x + x. Resp.: R; [0, ). 3.- Encontrar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x x. Resp.: [, ). b) f(x) = 3 x + 5. Resp.: [ 5, 4) (4, ). 75

30 x c) f(x) = (x )(x + 2). Resp.: ( 2, 0] (, ). 4.- Si el dominio de la función f(x) es el intervalo [a, b], cuál es el dominio de la función g(x) = f(mx + n) con m > 0? Resp.: D(g) = [(a n)/m, (b n)/m]. 5.- Dibujar la gráfica de las siguientes funciones: a) y = x. Resp.: b) y = x + x +. Resp.: c) y = x + 4 x 2. 76

31 Resp.: d) y = Resp.: x 3 + x + 4. e) y = x 8x. Resp.: 6.- Dibujar la gráfica de las siguientes funciones: a) y = signo(x 2 4). 77

32 Resp.: b) y = [/x]. Resp.: c) y = 3 [3x]. Resp.: d) y = x [x]. 78

33 Resp.: 7.- Sea la función f(x) = x 2. Representar la función y = f(x + 2). Resp.: 8.- Dibujar la gráfica de la función 2x si x <, f(x) = x 2 si x 2, 3 si x > 2. Resp.: 9.- Dada la gráfica de f(x), dibujar f(x) + 2, 2f(x), 2 f(x), [f(x)]: 79

34 y = f(x) -2 Resp.: 3 y = f(x) y = 2f(x) -2-2 y = 2 f(x) y = [f(x)] Sea la función f(x) definida así: 3x si x < 0, f(x) = x 2 + 2x si 0 x 2, si x > 2. Dibujar la gráfica de f(x) y la de 2 f(x). 80

35 Resp.:.- En el intervalo 4π x 4π, dibujar las siguientes gráficas: a) f(x) = cos x. b) f(x) = cos 2x. c) f(x) = cos x. d) f(x) = cos(x/2). 8

36 2.- Cuál es la relación entre las siguientes funciones? a) f(x) = x 2x2. x b) g(x) = 2x. c) h(x) = x2 2x 3 x 2. d) i(x) = 4x + 4x 2. e) j(x) = (x3 + x)( 2x) x( + x 2. ) Resp.: f = h = j, g = i. 3.- La misma pregunta anterior para las funciones: a) f(x) = x. b) g(x) = x 2. c) h(x) = x signo x. Resp.: Son todas iguales. 4.- Dadas f(x) = x, g(x) = x, probar que (f + g)(x) = 0 no tiene solución en su dominio. x Resp.: (f + g)(x) =. x 5.- Construir una función polinómica de grado 3, sabiendo que es simétrica respecto al origen y que pasa por (, 0) y (-, 0). Resp.: f(x) = ax 3 ax, a Dadas las funciones f(x) = (x 2 x), g(x) = x + /4, hallar gf y su dominio. Resp.: (/ gf )(x) = x /2 ; Dom = R {/2}. 7.- Dadas f(x) = x, g(x) = x, (a) hallar f g y dibujarla. (b) Idem para g f. 82

37 (c) Idem para f (si existe). Resp.: (f g)(x) = x ; (g f)(x) = x ; (f )(x) = x 2 para x Dadas f(x) = x x, g(x) = x, (a) Calcular (f g)(x). (b) Calcular (g g)(9). (c) Probar que f(x) f( x) =. x Resp.: (f g)(x) = ; (g g)(9) = 3. x 9.- Hallar la función inversa de f en los siguientes casos: a) f(x) = (x ) 3. Resp.: f (x) = 3 x +. b) f(x) = { x x si x es racional, si x es irracional. Resp.: f (x) = f(x). c) f(x) = x + [x]. Resp.: f (x) = x n cuando x [2n, 2n + ), n Z. d) f(x) = x si < x <. x2 Resp.: f (x) = + + 4x 2. 2x 20.- Para qué valores de los parámetros a, b, c, d la función f(x) = ax + b cx + d es inversa de sí misma? Resp.: a = d. 2.- En qué intervalo tiene inversa la función f(x) = y = x + 2 x. Resp.: (2, ). 83

38 22.- Probar que si f es una función creciente, también lo es f Demostrar que si f y g son inyectivas, también lo es (f g) y comprobar que (f g) = g f. 84