Departamento de Matematicas UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. Precálculo. (2Cos(2w) 1)(2Sen(3w) 2) = 0. hallar β en el intervalo [0, 2π]

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1 Departamento de Matematicas UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. Precálculo Parcial III 15 % Estudiante: Tiempo: 1 h. Fecha: 1 Resolver la ecuación para w en 0 w 2π. (2Cos(2w) 1)(2Sen(3w) 2) = 0 2 Hallar los ceros o raices de f(x) = 2Sen(2πx π 2 ) y graficarla indicando los pasos convenientes desde la función básica y = Sen(x) 3 Expresar las seis funciones del ángulo γ = 1027π 4 4 Si Csc 1 (3β) = 1 2 hallar β en el intervalo [0, 2π]

2 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial MATE Parcial 3 8 de Mayo de 2008 Tiempo: 80 minutos. Justifique TODAS sus respuestas. 1. La señora Piedad Uribe decide irse de campaña durante 5 días a dos ciudades. Sabe que por estar a días en Armenia gana ln(a) votos (ó pierde, si ln(a) es negativo ) y por estar b días en Barranquilla gana b votos. Cuántos días debe estar en cada ciudad para maximizar el número total de votos? 2. Halle una función f tal que f (x) = x 1 x 2, f (1) = 3 2, f(1) = 0 3. Se define Halle f (x) 4. Halle el valor de la expresión f(x) = x 2 cos u du t t 3 dt 5. Halle el área encerrada por las curvas f(x) = sin x, g(x) = sin x, x = 0, x = 2π BONO: Halle el volumen del sólido resultante al hacer girar la región encerrada por las curvas y = 2, x = 0, f(x) = 2x, alrededor del eje y. 1

3 Precálculo Parcial 4 Mayo 12 de Grafique y encuentre el dominio y el rango de las siguientes funciones: a) b) c) d) f(x) = e x f(x) = e x + 2 f(x) = ln(x) f(x) = ln(x + 2) 2. Entre todos los pares de números cuya diferencia es 4, encuentre un par cuyo producto es el mínimo, y diga cual es dicho producto. 3. Considere el siguiente polinomio p(x) = x 3 + 4x 2 x 4 a) Encuentre todos los posibles ceros racionales. b) Encuentre máximo número de ceros racionales positivos y de ceros racionales negativos. c) Dado que -4 es un cero de dicho polinomio encuentre los otros ceros y factorícelo. d) Grafique dicho polinomio. e) Encuentre los valores de x tales que. 4. grafique x 3 + 4x 2 x 4 0 (x) = 5x2 x 2 9 Bono(0.5)Encuentre y grafique la siguiente función f(x) = x2 + 2 x + 1 1

4 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Parcial 4 Precálculo 21 de Noviembre de 2008 Nota: No se permite el uso de calculadora. Lea cuidadosamente el parcial. Cualquier intento de copia será tratado como tal. 1. Hallar las raices del polinomio p(x) = x 3 + 3x 2 2x + 8 sabiendo que 4 es un cero de p(x). Hallar la multiplicidad de cada cero. 2. Hallar puntos de corte con los ejes y asíntotas (oblicuas, verticales y/o horizontales) de la función f(x) = 2x 1 x 2. Graficar f(x) Solucionar la desigualdad 2x 1 x Hallar el dominio y rango de la función ln(e x+1 ). Graficar f(x) = e x Hallar x tal que 2 (x+1) = 16. 1

5 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Parcial 4 de Precalculo. Noviembre 20 de Hallar el valor exacto del número ( log 10 e ) (log e 10). 2. Reolver la ecuación para x. a) (ln x) 2 + ln x = 2. b) 2 2x 12(2 x ) + 35 = Suponga que se depositan 1000 pesos en una cuenta de ahorros, cuya tasa de interés anual es de 3 por ciento. Comparar el valor futuro dentro de 10 años. a) Si se compone el interes mensualmente. b) Si se compone el interes contimuamente. 4. Trazar la gráfica de la función f (x) = x2 x 2 4. Indicando: a) Dominio de f. b) Signo de la función f. c) Asíntotas horizontales, vérticales y oblicuas. d) Comportamiento de f cerca de las asíntotas y cuando x crece infinitamente o decrece infinitamente. e) Simetrias. 5. a) Determinar todas las raices racionales del polinomio q(x) = 6x 4 5x 3 2x 2 8x + 3. b) Factorice completamente el polinomio q(x) = 6x 4 5x 3 2x 2 8x + 3.

6 Tercer Parcial Precálculo MATE1201 Sección 9 Abril 11 de 2008 (Primer semestre de 2008) Nombre: Número de preguntas: 10 Código: Tiempo: 50 minutos Marque aquí sus respuestas: Una rueda de radio 50 centímetros debe recorrer, girando, un camino de 200π metros. Cuántas vueltas dará la rueda en el camino? (A) 50 (B) 100 (C) 200 (D) 400 (E) Si θ es un ángulo en el segundo cuadrante tal que sen θ = 21 5, el valor de sec θ es (A) 2 5 (B) 2 5 (C) (D) 5 21 (E) Si θ es un ángulo agudo (primer cuadrante) con cos(θ) = 1 3, el valor de csc ( π 2 θ) es: (A) 1 3 (B) 8 3 (C) 3 (D) 3 8 (E) 3 4. En qué cuadrante se ubican los ángulos para los que la función coseno toma valores negativos y la función secante toma valores positivos? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) Ninguno 5. La observación del gráfico de una función trigonométrica refleja que el rango de la función es [ 2, 4] y que pasa por el punto (0, 4). Si la ecuación que describe el gráfico está escrita en la forma A cos(x) + B, la pareja (A, B) es: (A) (3, 1) (B) ( 3, 1) (C) (6, 2) (D) (6, 1) (E) ( 6, 2)

7 6. Cuántos valores en el intervalo [0, 2π] cumplen sec(x) = sen(2x)? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 7. cos 1 (cos (950 )) es igual a: (A) 950 (B) 850 (C) 230 (D) 130 (E) Un cohete tiene gasolina para volar un kilómetro. Es lanzado con un ángulo de 30 sobre la horizontal y una vez se queda sin gasolina cae a tierra n una trayectoria recta con ángulo de 45 bajo la horizontal. Cuál de los siguientes valores corresponde a la distancia, en metros entre el punto de disparo y l punto de aterrizaje? (A) 2000 (B) 1000 (C) 1500 (D) (E) Se tienen dos ángulos α y β en el primer cuadrante, y se sabe que sen(α) = 3 5, sen(β) = El valor de sen(α + β) es: (A) (B) 1 (C) 4 9 (D) (E) La suma de todas las soluciones (en grados) de la ecuación 4 cos 2 (x) 1 = 0 en el intervalo [0, 360 ] es: (A) 0 (B) 180 (C) 360 (D) 540 (E) 720

8 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Depto. de matematicas Precálculo Parcial 3 (15 %) Nombre...COD... Tiempo: 50 min. 1. Hallar Sen( 27π 4 11π 6 ) 2. A partir de la gráfica de y = Sen(x) obtener la grafica de y = 3Sen(2x π 2 ) 2 indicando las transformaciones a seguir. Determinar periodo, amplitud, ceros (o raices). 3. Resolver la ecuacion Cos(2x) + 4Sen 2 (x) Sen(x) 3 2 = Resolver la ecuacion 1 Sen 2 (x) + Sen(2x) 4Sen(x) 1 2 = 0 6. Un globo asciende verticalmente a 40 mts min, partiendo del suelo desde un punto a 100 mts de un observador. Cuanto ha variado el angulo de elevacion cuando el tiempo ha variado de 7 a 9 minutos?. La respuesta se deja indicada en terminos correspondientes, es decir sin evaluarlos a aproximacion decimal. Abril 14 de 2008

9 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Depto. de matematicas Precálculo Parcial 3 (15 %) Nombre...COD... Tiempo 50 min. 1. Sen( 27π 4 11π 6 ) 2. A partir de la gráfica de y = Cos(x) obtener la grafica de y = 3Cos(2x + π 2 ) 2 indicando las transformaciones a seguir. Determinar periodo, amplitud, ceros (o raices). 3. Resolver la ecuacion 1 Sen 2 (x) + Sen(2x) 4Sen(x) 1 2 = 0 4. Un globo asciende verticalmente a 40 mts min, partiendo del suelo desde un punto a 100 mts de un observador. Cuanto ha variado el angulo de elevacion cuando el tiempo ha variado de 7 a 9 minutos?. La respuesta se deja indicada en terminos correspondientes, es decir sin evaluarlos a aproximacion decimal. Abril 14 de 2008

10 Precálculo - Parcial 3 Octubre 28 de 2008 Responda todas las preguntas justificando su respuesta. 1. Grafique la función y = 2 cos( x 2 + π 2 ) Resuelva las siguientes ecuaciones. a) 3 cos 2 x = sin 2 x b) cos 2x + cos x + 1 = 0 3. El presidente y el celador de una empresa se dirigen al edificio donde trabajan, el cual tiene una altura de 100 metros. El presidente arranca desde un punto al oriente del edificio desde donde la punta del edificio se observa a un ángulo de elevación de π/3. El celador arranca desde un punto al occidente del edificio desde donde la punta del edificio se observa a un ángulo de elevación de π/4. Si el presidente viaja a una velocidad de 20 km/h y el celador viaja a 40 km/h, cree usted que el celador se va a ganar un regaño por llegar tarde? (llegar tarde es llegar después que el presidente). 1

11 Precalculo Parcial 3 11 de Abril de Grafique: y(x) = 3 2 cos(2x + π 4 ) 2. Encuentre el valor exacto de 4 cot( π 4 ) + cos( π 3 )csc( π 6 ) 3. Si cos(θ) = 1 3 y tan(θ) < 0, encuentre el valor exacto de cada una de las funciones trigonometricas de θ. 4. Dos edificios estan separados 60 metros entre si. La altura del edificio mas pequeño es de 40 metros, desde la azotea de este edificio el angulo de elevacion al borde de la azotea del edificio mas alto es 45 grados. Cual es la altura del edificio mas alto? 5. Escriba la expresion cos(tan 1 ( x 2 )) como una expresion algebraica.

12 Precalculo Parcial 4 9 de Mayo de Encuentre el conjunto de soluciones para x 3 + 2x 2 > 3x 2. Tiene 100 metros de cerca para construir seis corrales como se muestra en la figura. Encuentre las dimensiones que maximizan el área. cuál es el área máxima? 3. Encuentre las raíces del polinomio f(x) = x 3 + 3x 2 4 y escríbalo como producto de factores lineales 4. La intensidad del sonido, medida en decibeles, de un parlante varía inversamente con respecto al cuadrado de la distancia de una persona al parlante. Cuando una persona se para a 8 pies del parlante la intensidad es 28 decibeles. cuál es la intensidad cuando alguien se para a 4 pies del parlante? 5. Gráfique: y(x) = x2 +4x+3 (x+2) 2

13 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Parcial 3 Precálculo 28 de Octubre del Si sin x = 1 3, cuál es el valor de sec(2x). 2. Graficar las funciones y = sin(x) y ( y = 3 sin 2x π ) + 3, 2 en un mismo plano. 3. Muestre o refute las siguientes identidades sin(x) + cos(x) = 1 4. Encuentre todos los x s tales que cos(x) 1 sin(x) + 1 sin(x) = 2 sec(x) cos(x) 2 cos 2 (x) sin(x) = 1 5. Un observador mira la punta de un edificio, de altura 100 metros, con un ángulo de 30 grados con respecto al piso, otro observador que se encuentra mas cerca al edificio ve la punta del edificio con un ángulo de 60 grados. Encuentre la distancia a la que estan los observadores. 1