Ejercicios. 1. Definir en Maxima las siguientes funciones y evaluarlas en los puntos que se indican:

Transcripción

1 Ejercicios. 1. Definir en Maxima las siguientes funciones y evaluarlas en los puntos que se indican: 2. Graficar las funciones anteriores, definiendo adecuadamente los rangos de x e y, para visualizar su comportamiento. 3. Utilizar el software para analizar gráficamente el comportamiento de la función representando en un mismo gráfico diferentes funciones que se obtienen al asignarle a cada una de las constantes distintos valores y manteniendo la otra fija. 4. Determinar el dominio y los ceros de f(x), h(x) y m(x), utilizando la función Solver. 5. Encontrar los puntos de intersección entre la parábola y la recta, utilizando la función Solver, corroborar el resultado mediante un gráfico y evaluando ambas funciones en los valores de x obtenidos. 6. Calcular los siguientes límites: 7. Calcular la primera y segunda derivada de las funciones del ejercicio 1). 8. Usar el software para resolver el siguiente problema: La población de una colonia de células que crece exponencialmente en un cultivo es de 300 después de 2minutos y de 1400 después de 5 minutos. a) Hallar la fórmula mediante la cual se puede estimar el tamaño poblacional en función del tiempo en minutos. b) Hallar la tasa de crecimiento en porcentaje. c) Representar gráficamente la función. d) Cuál es el tamaño poblacional de la colonia después de 20 minutos?

2 Práctico Ejercicio para analizar funciones: Analizar la función estudiando: Un granjero desea construir una cerca rectangular a la orilla de un río, para lo que dispone de 120m de valla. El lado que mira al río no será cerrado. Cuál es el área de la región más grande que se puede cercar? Se lanza un objeto hacia arriba, la función describe la posición del objeto en función del tiempo con respecto a l suelo. La posición se mide en metros y el tiempo en segundos. a) Indicar el dominio para que la función tenga sentido físico y graficar. b) Hallar la altura máxima que alcanza el objeto. c) La función da la expresión de la velocidad del objeto en función del tiempo. Qué valor tiene en, y en la altura máxima? d) Cuánto tiempo duró el movimiento? e) En qué momento el móvil se encuentra a un metro del suelo? En un instituto de enseñanza de inglés se anotaron 90 personas para el curso inicial. La cuota ha sido fijada en $100 mensuales para cada estudiante. Se formarán grupos de igual número de alumnos. Se ofrecerán becas, y el número de las mismas será determinado por el número de alumnos del grupo. (Si los grupos son de 3 alumnos, el instituto ofrecerá 3 becas. Si los grupos son de 7 alumnos, el total de becas será 7.) La beca consiste en una rebaja del 50% de la cuota. El salario del profesor de cada grupo será de $125 mensuales. De cuántas personas le convendrá al instituto formar los grupos para obtener la mayor ganancia posible? Se desea confeccionar una caja sin tapa que tenga el máximo volumen posible, utilizando un recorte de cartulina de forma cuadrada de 30 cm de lado. Qué dimensiones tendrá la caja? Un área de 5000 pies cuadrados, ha sido planteada para el nuevo exhibidor rectangular de focas en el zoológico local. El borde tendrá 10 pies de ancho en dos de los lados opuestos y 20 pies de ancho en los otros dos lados. El área para la piscina se muestra en la figura. Qué dimensiones maximizará el área de la piscina? Problemas para definir funciones: La población de una colonia de células que crece exponencialmente en un cultivo es de 300 después de 2minutos y de 1400 después de 5 minutos. a) Hallar la fórmula mediante la cual se puede estimar el tamaño poblacional en función del tiempo en minutos (Plantear el sistema de ecuaciones asociados y resolverlo utilizando el Solver.) b) Hallar la tasa de crecimiento en porcentaje. c) Representar gráficamente la función. d) Cuál es el tamaño poblacional de la colonia después de 20 minutos? Temas: Definir funciones (incluso a trozos)

3 Evaluar funciones Graficar (una y varias funciones en un grafico) Calcular ceros (resolver ecuaciones y sistemas) Calcular límites Calcular derivadas Función Como opera Ejemplo abs (expr) Devuelve el valor absoluto de expr. Si la expresión es compleja, retorna el módulo de expr. max (x_1,..., x_n) Devuelve el mayor valor min (x_1,..., x_n) Devuelve el menor valor factorial (x) o x! Devuelve el factorial de un valor exp (x) Representa la función exponencial. log (x) * cos (x) Representa el logaritmo natural (en base e) de x. Representa el coseno de x sin (x) Representa el seno de x tan (x) Representa la tangente de x sqrt (x) o x^(1/2) Raíz cuadrada de x. Maxima no tiene definida una función para el logaritmo de base 10 u otras bases. El usuario puede hacer uso de la definición log10(x):= log(x) / log(10). Contenidos: Presentación y exploración del programa Maxima y su entorno gráfico WXMaxima.

4 Aprender a calcular los ceros, límites y derivadas de funciones conocidas usando el programa. Aprender a definir funciones continuas o a trozos. Analizar los problemas que surgen al querer calcular límites, derivadas e integrales de las funciones a trozos y como solucionarlos. Graficar funciones de una variable. Enfatizar sobre la importancia de haber seleccionado rangos adecuados para las variables. Analizar, usando las herramientas aprendidas, el comportamiento de diferentes funciones. En Maxima, un comentario es cualquier texto encerrado entre las marcas /* y */. Variable opcional: inchar Valor por defecto: %i La variable inchar es el prefijo de las etiquetas de las expresiones introducidas por el usuario. Maxima crea automáticamente una etiqueta para cada expresión de entrada concatenando inchar y linenum. A inchar se le puede asignar cualquier símbolo o cadena, no necesariamente un caracácter sencillo. Puesto que internamente Maxima solo tiene en cuenta el primer carácter del prefijo, los prefijos inchar, outchar y linechar deben comenzar con caracteres diferentes; en caso contrario, sentencias como kill(inlables) pueden dar resultados inesperados. Véase también labels. Ejemplo: (%i1) inchar: "input"; (%o1) input (input2) expand((a+b)^3); (%o2) b + 3 a b + 3 a b + a (input3) Variable opcional: outchar Valor por defecto: %o La variable outchar es el prefijo de las etiquetas de las expresiones calculadas por Maxima. Maxima crea automáticamente una etiqueta para cada expresión calculada concatenando outchar y linenum. A outchar se le puede asignar cualquier símbolo o cadena, no necesariamente un caracácter sencillo. Puesto que internamente Maxima solo tiene en cuenta el primer carácter del prefijo, los prefijos inchar, outchar y linechar deben

5 comenzar con caracteres diferentes; en caso contrario, sentencias como kill(inlables) pueden dar resultados inesperados. Véase también labels. Ejemplo: (%i1) outchar: "output"; (output1) output (%i2) expand((a+b)^3); (output2) b + 3 a b + 3 a b + a (%i3) Como vemos, Maxima opera con aritmética racional y, por defecto, nos devuelve una fracción como resultado. Si añadimos una coma (, ) seguida de la orden numer, se obtendrá una expresión numérica, por defecto, con 16 cifras decimales.

6 Funciones definidas a trozos Las funciones definidas a trozos plantean algunos problemas de difícil solución para Maxima. Esencialmente hay dos formas de definir y trabajar con funciones a trozos: a) definir una función para cada trozo con lo que tendremos que ocuparnos nosotros de ir escogiendo de elegir la función adecuada, o b) utilizar una estructura if-then-else para definirla.4 Cada uno de los métodos tiene sus ventajas e inconvenientes. El primero de ellos nos hace aumentar el número de funciones que definimos, usamos y tenemos que nombrar y recordar. Además de esto, cualquier cosa que queramos hacer, ya sea representar gráficamente o calcular una integral tenemos que plantearlo nosotros. Maxima no se encarga de esto. La principal limitación del segundo método es que las funciones definidas de esta manera no nos sirven para derivarlas o integrarlas, aunque sí podremos dibujar su gráfica. Por ejemplo, la función f.x.. (x2; si x < 0 x3; en otro caso la podemos definir de la siguiente forma utilizando el segundo método (%i13) f(x):=if x< 0 then xb2 else xb3; (%o13) f(x):=if x< 0 then x2 else x3 4 En la sección explicamos con más detalle este tipo de estructuras