Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

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1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x + x a) Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 3 x y = x c) y = x d) y = 3x a) 3] [/, +@) c) ] d) 0] 3 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = x 9 y = x + 3x + c) y = x x d) y = x x 5 e) y = f ) y = x x 3x a) x 9 Ó 0 8 (x + 3) (x 3) Ó 0 8 Dominio = 3] «[3, +@) x + 3x + Ó 0 8 Dominio = Á c) x x Ó 0 8 x ( x) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) x x 5 Ó 0 8 (x + ) (x 5) Ó 0 8 Dominio = ] «[5, +@) e) x > 0 8 > x 8 Dominio = ) f) x 3x > 0 8 x (x 3) > 0 8 Dominio = 0) «(3, +@) Unidad. Funciones elementales

2 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ) «(, +@) y [, +@). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, +@) y [0, +@). 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x. x x a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? a) A (x) = x Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/ y x cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? a) V (x) = x 3 Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Funciones lineales. Interpolación 7 Di cuál es la pendiente de cada recta: a) y = x 5 x y + = 0 c) x + y 5 = 0 d) y = 5 a) c) d) 0 Unidad. Funciones elementales

3 8 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P(, 5) y Q(0, ). Pasa por ( 7, ) y su pendiente es 0,75. c) Corta a los ejes en (3,5; 0) y (0, 5). d) Es paralela a la recta 3x y + = 0 y pasa por (, 3). ( 5) a) m = = 0 9 y = 5 + (x ) = x y = 0,75 (x + 7) = 0,75x 3,5 x y 0 c) + = 8 y = x 5 3,5 5 7 d) m = 3; y = (x + ) = 3x Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) c) 0, d) 0, a) y = x + y = x c) y = 0,05x 0,05 d) y = x 30 0 Calcula, mediante interpolación o extrapolación lineal, los valores de y que faltan en cada tabla: a) x y 0,5 0,5 0, 0,5 x y c) d) x x y 5 y Unidad. Funciones elementales 3

4 a) y =, (x ) 0,5) 8 y 0 =, (0,5 ) 0,5) =, y = 8 + 0,9(x 7) 8 y 0 = 8 + 0,9(0 7) = 39,3 c) y = 5 + 0,9(x 3) 8 y 0 = 5 + 0,9(7 3) =, y = 5 + 0,9(5 3) = 5,8 d) y = 500 +,9(x 85) 8 y 0 = 500 +,9( ) = 795,75 Esta tabla muestra la temperatura atmosférica tomada a diferentes alturas: ALTURA (m) TEMPERATURA ( C) 5,7 8, 5, Calcula la temperatura a 00 m y a 000 m. y = 5 0,00x 8 f ( 00) = 5 0,00 00 = 7,08 f ( 000) = 5 0, =,8 Página Gráfica y expresión analítica Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una de las otras cuatro la expresión analítica que le corresponde. a) y = x I y = 0,5x II c) y = x d) y = x No son funciones III y VI. a) 8 IV 8 I c) 8 V d) 8 II 8 III IV V VI Unidad. Funciones elementales

5 3 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas: a) y = + y = x x + 3 c) y = (x + 3) d) y = x + I II a) 8 III 8 IV c) 8 I d) 8 II III IV Representación de funciones elementales Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice: a) y = 0,5x 3 y = x + 3 c) y = x d) y = 3x a) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, 3) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( 3, 0), ( 3, 0), (0, 3) Unidad. Funciones elementales 5

6 c) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0) 5 Representa las siguientes funciones: a) y = x + x + x y = + 3x + c) y = x + 3x 5 x d) y = + 3x + 3 a) c) d) 8 Unidad. Funciones elementales

7 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta el eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = (x + x + ) y = 5 (x + ) + c) y = x 3 d) y = (x + ) a) Vértice: (, 3 ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 3 0, ) 7 Representa gráficamente las siguientes funciones: si x < 0 x 3 si x < a) y = y = x si 0 Ì x < si x Ó si x Ó x si x < x + si x < c) y = d) y = (3x 5)/ si x Ó x + 3 si x > a) Unidad. Funciones elementales 7

8 c) d) 8 Representa las siguientes funciones: a) y = x + y = c) y = x d) y = a) x x 3 c) d) 9 Representa las siguientes funciones: a) y = x y = x + 3 c) y = + x d) y = x a) 8 8 Unidad. Funciones elementales

9 c) d) 8 Página 5 Transformaciones en una función 0 Representa f (x) = x y, a partir de ella, representa: a) g(x) = f (x) 3 h(x) = f (x + ) f (x) = x a) Esta es la gráfica de la función y = f (x): Unidad. Funciones elementales 9

10 Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f (x ) y = f (x) + a) A partir de la gráfica de f (x) = /x, representa: a) g(x) = f (x) h(x) = f (x 3) c) i(x) = f (x) d) j(x) = f (x) a) f (x) = x g (x) = f (x) c) h(x) = f (x 3) i (x) = f (x) 0 Unidad. Funciones elementales

11 d) j(x) = f (x) Representa la función f (x) = x y dibuja a partir de ella: a) g(x) = x + h(x) = x 3 c) y = x d) y = x a) f(x) g(x) 0,8 0, f(x) 0, 0, 0, 0,8 0, 0, h(x) 0,5 0,5 3 c) d) y = x f(x) f(x) y = x Valor absoluto de una función Representa la función y = x 5 y comprueba que su expresión analítica en intervalos es: x + 5 si x < 5 y = x 5 si x Ó Unidad. Funciones elementales

12 5 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = x y = x + c) y = x 3 d) y = x 3 a) y = x si x < + x si x Ó 8 0 y = x si x < x + si x Ó c) y = x + 3 si x < 3 x 3 si x Ó d) y = x 3 si x Ì 3 x + 3 si x > 3 Representa y define como funciones a trozos : x 3 x 3 a) y = y = 3x + c) y = d) y = x Mira el ejercicio resuelto número 8. a) x 3 si x < 3 y = y = x 3 si x Ó 3 3x si x < 3x + si x Ó Unidad. Funciones elementales

13 c) y = x + 3 x 3 si x < d) y = si x Ó x si x < x + si x Ó PARA RESOLVER 7 La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95 por 375 kw h de consumo, y en enero 30, por 55 kw h. Cuánto tendrán que pagar si consumen 0 kw h? y = ,(x 375) y(0) = 0 euros 8 Las ventas obtenidas por una empresa han sido de con unos gastos en publicidad de y de con unos gastos publicitarios de Estima cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 000. y = ,5(x 3 000) y( 000) = euros 9 El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 57 km he pagado,85 euros, y por 8 km, 3, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. y =,85 + 0,095(x 57) y (00) =,9 euros 30 Un rectángulo tiene 0 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base x. Cuál es el dominio de esa función? y x x + y = 0; A = x y A (x) = 0x x ; Dom = (0, 0) Unidad. Funciones elementales 3

14 3 Observamos en una farmacia una tabla con los pesos de los niños menores de años, según su edad: x (años) 3 9 y (kg) 0 0 Estima el peso de un niño a los 5 años y a los 0 años. y = 0 + (x ) y = 0 + = 8 kg a los 5 años. y = = 8 kg a los 0 años. 3 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G =000+5x, en euros, y los ingresos mensuales son I = 0x 0,0x, también en euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? La función Beneficio viene dada por la expresión: B = I G = 50x 0,0x x = 0,0x + 5x Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo. El máximo de la función se encuentra en el vértice: b 5 x 0 = = = 5 a 0,0 El beneficio máximo se obtendrá para 5 televisores. 33 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máxima altura? a) ALTURA (m) 0 80 metros. c) segundos TIEMPO (s) Unidad. Funciones elementales

15 Página 3 El precio de venta de un artículo viene dado por p = 0,0x (x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? Representa la función N-º de artículos-ingresos obtenidos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será: 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = INGRESOS I(x) = p x = x 0,0x Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máximos ( euros). 35 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Qué subida produce ingresos máximos? a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. I (x) = (00 + 0x) (00 x) = 0x + 00x c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 x = = = euros a 0 3 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a x + 35x +5 euros y el precio de venta de una unidad es 50 x/ euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unidades producidas. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo. Los ingresos por la venta de x unidades son x (50 x/) euros. Unidad. Funciones elementales 5

16 x a) B (x) = 50x ( x + 35x + 5 ) = + 5x 5 5 El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x = = 5 Deben venderse 5 unidades. x 37 En la base de una montaña de 00 m, la temperatura es de 0 C y sabemos que baja C por cada 80 m de ascensión. Cuál será la temperatura en la cima? Representa la función altura-temperatura y busca su expresión analítica. y = 0 x Si x = 00 8 y = 0 = 3, 3 ) 80 La temperatura en la cima será de 3,3 C. TEMPERATURA ( C) ALTURA (m) 38 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones: x a) y = si x Ì x y = x si x Ì (x )/3 si x > 3 si x > x c) y = x si x < x d) y = si x < 0 x si x Ó x si x Ó 0 a) c) d) Unidad. Funciones elementales

17 39 Representa: a) y = y = x si x Ì x si < x < x si x Ó x / + si x < x 3 si x Ó a) 0 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia y busca su expresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f (x) = (/0)x si 0 Ì x Ì 0 si 0 < x Ì 50 /0 (x 70) si 50 < x Ì 70 Busca la expresión analítica de estas funciones: a) a) f (x) = x si x Ì 3 f (x) = si x > 3 x si x Ì si x > Unidad. Funciones elementales 7

18 Representa y define como funciones a trozos : a) y = x y = x x x c) y = + d) y = x + x x si x < a) y = x + si Ì x Ì y = x si x > x x si x <, x + x + si, Ì x Ì 3, x x si x > 3, (x /) si x < c) y = ( x /) + si Ì x Ì d) y = (x /) si x > x + x si x <,7 x x + si,7 Ì x Ì 0,7 x + x si x > 0,7 dividendo resto 3 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor x + 3 función y = de esta forma: y = +. Comprueba que su gráfica coincide con la de y = /x trasladada unidad hacia la izquierda y ha- x + x + cia arriba. y = x Unidad. Funciones elementales

19 y = + x Representa, utilizando el procedimiento del ejercicio anterior: 3x x x a) y = y = c) y = d) y = x x x + 3 x 3 x 3x a) y = = 3 + x 3 x 3 x y = = + x x Unidad. Funciones elementales 9

20 x c) y = = + x + 3 x x 3 d) y = = x x 8 8 Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Una parábola corta el eje de abscisas en x = y en x = 3. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? f (x) = k (x + ) (x 3) = k (x x 3) 3 + ( ) Vértice 8 x = = ; f () = k = 8 k = La ecuación de la parábola será, por tanto: f (x) = x x 3 30 Unidad. Funciones elementales

21 Encuentra los valores de c para que la función y = x + x + c tenga con el eje de abscisas: a) Dos puntos de corte. Un punto de corte. c) Ningún punto de corte. b ac = + c a) + c > 0 8 c > 3 + c = 0 8 c = 3 c) + c < 0 8 c < 3 7 Esta es la gráfica de una función del tipo: y = a + x b Cuáles son los valores de a y b en esa gráfica? 3 a = ; b = 3 PARA PROFUNDIZAR 8 La distancia que recorre un vehículo desde que se pisa el freno hasta que se para es: d = v v + (d en metros y v en km/h) 00 a) Representa la función en el intervalo [0, 0]. Si un obstáculo está a 00 m, cuál debe ser la velocidad máxima que puede llevar el automóvil para evitar el accidente? v a) d (m) 00 = = v + 00v v + 00v = 0 v v (km/h) 00 ± v = = v = 59,07 (no vale) = v = 5,73 La velocidad debe ser menor de 5 km/h. Unidad. Funciones elementales 3

22 9 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máxima: 30 t). Obtén la expresión analítica y represéntala. a) INGRESOS CARGA (t) f (x) = Es decir: 0x si 0 Ì x Ì 0 [0 (x 0)]x si 0 < x Ì 30 f (x) = 0x si 0 Ì x Ì 0 0x x si 0 < x Ì 30 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = x 3 x y = 3x (x ) c) y = x d) y = 5x x a) Al ser una función polinómica, su dominio es todo Á. Su dominio es todo Á, salvo los puntos que anulan el denominador. (x ) = 0 8 x = 0 8 x = 3 Por tanto: Dom y = Á {3} 3 Unidad. Funciones elementales

23 c) Su dominio son los puntos que hacen que el radicando no sea negativo. x Ó 0 8 x Ì 8 x Ì = Por tanto: Dom y = ] d) Al igual que en el apartado anterior: 5x x Ó 0 8 x(5 x) Ó 0 Esto ocurre si: x Ó 0 y 5 x Ó 0 8 x Ó 0 y x Ì 5 8 x é [0, 5] x Ó 0 y 5 x Ì 0 8 x Ì 0 y x Ó 5 8 Esto no es posible. Por tanto: Dom y = [0, 5]. Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones: x x 3 a) y = x y = c) y = x + d) y = x + x I II a) II III c) IV d) I III IV 3. Representa las siguientes funciones: a) y = 0,5x x + x y = 5 + x c) f(x) = si x Ì 0 x + 3 si x > 0 a) c) Unidad. Funciones elementales 33

24 . Asistir a un gimnasio durante meses nos cuesta. Si asistimos 5 meses, el precio es 570. Cuánto tendremos que pagar si queremos ir durante un año? Vamos a hacer una interpolación lineal. Hallamos la recta que pasa por los puntos (, ) y (5, 570) Su pendiente es m = = = Por tanto, la ecuación de la recta es: y = 3(x ) + 8 y = 3x + 30 De este modo, si queremos saber cuánto se debe pagar si vamos al gimnasio durante un año ( meses), hacemos: y () = = Habrá que pagar. 5. Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión analítica. TEMPERATURA ( C) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). 00 Hallamos la ecuación de esta recta: Pendiente: = 8 8 y = 8(x 0) TIEMPO (min) Para valores de x mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 y = 00. Expresión analítica: f (x) = 8x + 0 si 0 Ì x < 5 00 si 5 Ì x Ì 35. A partir de la gráfica de y = f (x), representa: a) y = + f (x) y = f (x ) c) y = f (x) y = f (x) 3 Unidad. Funciones elementales

25 a) La gráfica se desplaza una unidad hacia arriba. + f (x) La gráfica se desplaza una unidad hacia la derecha. f (x ) c) La gráfica es simétrica a la de f (x), respecto al eje. f (x) Unidad. Funciones elementales 35