FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.
|
|
- Natividad Montero San Segundo
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 013 PROF. RUHL, CLAUDIA FUNCIÓN CUADRÁTICA BATÁN, ROMINA FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA Y = a. ( x h ) + k Y = a. x + b. x + c y = a. ( x x1 ). ( x x FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: En todos los casos hallaremos el eje, el vértice, las raíces y haremos un estudio de la función cuadrática dada con su correspondiente gráfica. ACTIVIDAD: Dada la función f(x) = x donde a = 1 Grafícala en tu carpeta para valores h = 0 de x = 1,,3,-1,-.-3.1/,-1/ k = 0 En esta función el cuadrado de todo número es la imagen de la función cuyos valores pueden ser 0 o mayor que 0. Por lo tanto, el conjunto imagen de f (x) es... Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y. Marcar en rojo el punto en que la parábola corta el eje de simetría. Ese punto es el vértice. En este caso las coordenadas del vértice son V = (...,...) IMPORTANTE: EL EJE DE SIMETRÍA ES EL VÉRTICE ES v = ( h ; k ) x = h Completa con lo que se pide en cada caso. DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL a =.. a =. a =.. f(x) = x h =.. j (x) = ( x ) h =. t (x) = (x + 1) h =.. k =.. k =. k =.. eje de simetría x=... eje de simetría x =... eje de simetría x =... vértice V (...,...) vértice V (...,.) vértice V (..,.) ACTIVIDAD : Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego realiza la tabla de valores tomando los valores de «x» convenientemente. Completa el cuadro observando cada gráfica Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento f(x) j(x) t(x) Prof. Ruhl, Claudia ( 1 )
2 DOMINIO: Son todos los valores de x que puede tomar la función, en este caso es r IMAGEN: Son todos los valores de y que toma la función, en este caso r 0 ORDENADA AL ORIGEN: Es el valor que toma Y cuando x = 0. Cualquiera sea la función para calcular la ordenada al origen siempre reemplazamos a x = 0 Calcularemos la ordenada al origen en cada una de las funciones anteriores f (x) = x j (x) = ( x ) t (x) = ( x + 1) y = x y = ( x ) y = ( x + 1) y = 0 y = ( 0 ) y = ( ) y = 0 y = (-) y = 1 y = 4 y = 1 Marca en las gráficas con naranja las tres ordenadas al origen. DESPLAZAMIENTO VERTICAL: Observamos las gráficas de las siguiente funciones completando en cada caso lo que se pide. a =.. a =. a =.. f(x) = x h =.. g (x) = x 1 h =. r (x) = x + h =.. k =.. k =. k =.. eje de simetría x=... eje de simetría x =... eje de simetría x =... vértice V (...,...) vértice V (...,.) vértice V (..,.) ACTIVIDAD :* Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego realiza la tabla de valores tomando los valores de «x» convenientemente. *Calcula la ordenada al orígen Completa el cuadro observando las gráficas y releyendo lo anterior intervalo de crecimiento intervalo de decrecimiento ordenada al orígen f(x) g(x) r(x) CONJUNTO DE POSITIVIDAD: Son todos los valores de x para los cuales los valores de y son positivos. El símbolo correspondiente es C + En f(x) el C + =(0,+ ) en g(x) el C + = (- ; -1) (1 ; + ) en r(x) el C + = CONJUNTO DE NEGATIVIDAD: Son todos los valores de x para los cuales los valores de y son negativos. El símbolo correspondiente el C -. En f(x) el C - = en g(x) el C + = (1 ; -1) en r(x) el C + = RAÍCES: Las raíces son los puntos donde la parábola corta al eje y. Para calcular las raíces para cualquier función, siempre, reemplazamos a y = 0, despejamos para hallar el los valores de x Calculamos las raíces para las tres funciones anteriores Prof. Ruhl, Claudia ( )
3 F(x) = x g (x) = x - 1 r (x) = x + y = x y = x - 1 y = x + 0 = x 0 = x = x + 0 = x 0 + 1= x 0 = x 0 = x ± 1 = x - = x Como hay una sola = x solución x 1 = +1 x = -1 indica que la función no tiene raíces hay una sola en este caso la función en r porque no hay solución raíz tiene dos raíces Ejemplo: hallaremos el eje de simetría, el vértice, las raíces, graficaremos la función y haremos el estudio de la misma. Ayuda: antes de ver este ejercicio resuelto tienes que haber estudiado todo lo que se encuentra en las páginas anteriores y tener las hojas siempre a mano para consultarlas hasta que lo sepas sin necesidad de recurrir a ellas y = ( x 3 ) - 4 a = 1 eje x = h x = 3 h = 3 vértice (h;k) V = ( 3 ; -4) k = - 4 En caso de que la función no tenga raíces en la gráfica marcar el eje de simetría, el vértice, la ordenada Raíces y = ( x 3 ) - 4 (siempre reemplazamos y=0= 0 = ( x 3 ) = ( x 3 ) ± 4 = x 3 ± + 3 = x = x 1 +5 = x = x +1 = x Ordenada al origen : y = ( x 3 ) + 4 y = ( 0 3 ) + 4 (siempre reemplazamos x=0) y = y = 13 Ubica en ejes cartesianos, el eje de simetría, el vértice, la ordenada al origen y las raíces, une los puntos y ya tendrás la parábola. Si no hay raíces deberás hacer una tabla de valores eligiendo valores cercanos al eje. Observa en dicha gráfica: C + = (- ; 1 ) ( 5 ; + ) C - = ( 1 ; 5 ) (recordar que aquí intervienen las raíces) Intervalo de crecimiento (3 ; + ) (recordar que aquí interviene el eje de simetría) Intervalo de decrecimiento ( - ; 3) El vértice (3 ; -4) es un mínimo Dm. = R Im= r -4 Ejercicio Nº 1: De cada función hallar el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarla y hacer el estudio de la misma. 1) y = ( x 4) 3 ) y = ( x + ) 4 3) y = x +1 4) y = - ( x + 3 ) + 5) y = - x + 4 6) y = ( x 5 ) 7) y = ( x + 3) 3/ 8) y = x 5/4 9) y = ( x + 3/) Ejercicio Nº : Si el gráfico de una función cuadrática pasa por los puntos A = (3 ; 7) y B = (-5 ; 7) la ecuación del eje de simetría es: a) x = -1 b) x = 1 c) y = -1 d) x = 0 Justifica tu respuesta Ejercicio Nº 3: Si una parábola pasa por el punto A = ( 1;6) y el vértice es V = (3;), el punto simétrico de A es: a) B = (5;6) b) B = (-1;6) c) B = (0;6) d) D = ( -1; -6) Justifica tu respuesta Ejercicio Nº 4: El vértice del gráfico de la función f(x) = (x+5) -9 es: a) V = (-9;5) b) V = (-5;-9) c) V = (5; -9) d) V = (9;-5) e) V = (5;9) Justifica Ejercicio Nº5: Si se quiere que la función f(x) = x se desplace de manera que el nuevo vértice sea el punto V = ( -4 ; 9 ). La nueva fórmula es: a) h(x) = ( x-4) + 9 b) h(x) = (x+4) 9 c) h(x) = (x+4) +9 d) h(x) = (x-4) 9 Ejercicio Nº 6: El desplazamiento de h(x) = (x+1) - respecto de f(x) = x es: a) Dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba b) Una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba c) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia arriba d) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo Ejercicio Nº 7: Dados los siguientes vértices escribe en cada caso la fórmula de la función cuadrática correspondiente a cada una de ellas.a) V = ( -3;) b) V = ( 0; ½) c) V = ( ¾ ; 0) d) V = ( 0;0) e) V = (5; - 8) Prof. Ruhl, Claudia ( 3 )
4 FORMA POLINÓMICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: La fórmula general de una función cuadrática en forma polinómica es: y = a x + b x + c Tomemos la siguiente función para calcular el eje, el vértice, las raíces y graficarla junto con el estudio de la misma: f(x) = x x -3 a= 1 b=- c = -3 EJE: Para calcularlo deberemos utilizar la siguiente fórmula y reemplazarla por los valores correspondiente EJE x = - b eje x = - ( -) x = x = 1. a. 1 1 VÉRTICE: como el vértice es el par ordenado (x,y) estando el mismo sobre el eje de simetría, para hallar y reemplazamos en la función dada a la x por 1.. x=1 f (x) = x - x 3 y = y = 1 3 y = - 4 Vértice: V = ( x ; y ) V = ( 1 ; -4 ) RAÍCES: Para calcular las raíces en forma polinómica deberemos reemplazar en la siguiente fórmula x 1 x = -b ± b - 4. a. c. a Reemplazamos por los valores que tiene la función f(x) x1 x = - (-) ± ( -) (-3) x1 x = ± x1 x = ± x1x = ± 4 x1 = + 4 x1 = 6 x1 = 3 RAÍCES x = 4 x = - x = -1 ORDENADA AL ORIGEN: Se calcula igual que en la forma canónica, se reemplaza a x = 0 calculando y f(x) = x x -3 ordenada al origen y = y = - 3 Ordenada al origen Con el eje, el vértice, las raíces, y la ordenada al origen que acabamos de calcular grafica la función cuadrática correspondiente a f(x) En tu carpeta y realiza el estudio de la misma El vértice puede ser máximo o mínimo MÁXIMO: Cuando la función pasa de ser cresciente a decresciente MÍNIMO: Cuando la función pasa de se decresciente a cresciente Ejercicio Nº8: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes funciones cuadráticas en forma polinómica.(c +, C -, máximo o mínimo, intervalo de crecimiento, intervalo de decrecimiento, dominio, imagen) a) y = x 6 x + 10 b) y = x c) y = x -8.x + 4 d) y = x. x + 5 e) y = x. x + 5 f) y = ½. x + 3 g) y = 6 x - /3 h) y = - 4/3 x i) y = ½ x + 3 x j) y =3/ x 1/3 k) y = x ½ x 5 l) y = x 1/3 x m) y = 4 x 1 x + 5 n) y = x x 1 ñ) y = x + x + 5 Prof. Ruhl, Claudia (4)
5 FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: La formula general de una función cuadrática escrita en forma factorizada es la siguiente: y = a.( x - x1 ). ( x - x ) donde x 1 y x son las raíces de la función. Tomemos la siguiente función escrita en forma factorizada y hallemos el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, la gráfica y hagamos un estudio de la misma. En forma factorizada tenemos automáticamente las raíces de la función que en nuestro ejemplo son f (x) = ( x + 4). ( x ) x1 = -4 x = Por lo tanto solamente deberemos hallar el eje, el vértice y la ordenada al origen. Ordenada al origen: como hemos dicho anteriormente, reemplazamos a x = 0 y obtenemos el valor de y. y = ( ). ( 0 ) y = 4. ( ) y = - 8 Eje de simetría: Para hallarlo utilizaremos las raíces y como el eje se simetría se encuentra en el punto medio de ambas aplicamos la siguiente fórmula Eje de simetría = x1 + x En nuestro ejemplo lo calculamos así: Eje de simetría = eje de simetría x = 1 Como dijimos antes, para hallar el vértice reemplazamos el valor del eje en la función original f(x) = ( x + 4 ). ( x ) y = ( ). ( - 1 ) y = 3. ( - 3) y = - 9 Por lo tanto el vértice será V = ( -1; -9 ) Con los datos anteriores grafica la función en tu carpeta y realiza el estudio de la misma Ejercicio Nº 9: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes funciones cuadráticas en forma factorizada. a) y = ( x 5 ). ( x + 1 ) b) y = ( x + 7 ). ( x + 1 ) c) y = ( x 4 ). ( x 8) d) y = ( x 1 ). ( x 6 ) e) y = ( x + 10 ). ( x + 3) f) y = ( x 4 ). ( x + 3) Ejercicio Nº 10: Con los siguientes datos escribe la función cuadrática correspondiente, grafícala y realiza el estudio de la misma.( en todas las funciones el valor de a = 1) a) V = ( 5; - 3) b) x1 = 3 x = -1 c) V = ( ; 3 ) d) x1 = 0 x = 5 e) V = ( - 4 ; ) d) V = ( 0 ; 4 ) Prof. Ruhl, Claudia ( 5 )
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesi. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0
TRABAJO PRÁCTICO Nº1 1. Identificar la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas. Graficar y escribir para cada una dominio, imagen, crecimiento, decrecimiento, raíces. a. y = 2x + 1 d. y
Más detalles2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.
año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe
Más detalles2FUNCIONES CUADRÁTICAS
CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detalles1. Definición 2. Operaciones con funciones
1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de
Más detallesx - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.
f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La
Más detallesFunciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................
Más detallesf( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11
1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el
Más detallesDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:
Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
Más detallesPARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:
Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesTema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1
Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesConcepto de función y funciones elementales
Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante
Más detallesFUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA.
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. La ecuación de dichas funciones es de la forma f(x) = y = ax 3 +bx 2 +cx +d, donde a,b,c y d PRIMERAS CARACTERÍSTICAS: 1.- DOMINIO: por ser polinómicas
Más detallesEjercicio 3: -Realiza las siguientes operaciones, y después, calcula el dominio resultante. Grupo F7
Ejercicio 3: -Realiza las siguientes operaciones, y después, calcula el dominio resultante. Grupo F7 Apartado A Sabiendo que f(x)= 3x+3 y g(x)= x^2-7 la operación f(x)+g(x) consiste en sumar los miembros
Más detallesUniversidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.
Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).
Más detalles1. Funciones y sus gráficas
FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detalles1. Encontrar el dominio de la función racional. 2. Encontrar los interceptos con x y y de la función racional.
1. Encontrar el dominio de la función racional. h(x) x 2 3x 1 (x 2 4)(x 2 + 11x + 24) Para encontrar el dominio de una función racional debemos encontrar los valores de la variable que hacen cero el denominador.
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesUnidad 6 Estudio gráfico de funciones
Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)
Más detallesTransformación de gráfica de funciones
Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesFunciones a trozos. Imágenes de funciones definidas a trozos.
Funciones a trozos. Imágenes de funciones definidas a trozos. En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesColegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Más detallesFUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos:
FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax +bx+c, cuya gráfica es una parábola de eje vertical, donde a representa la abertura de la parábola.
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detalleshttp://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17
http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la
Más detallesPágina 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1
Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesMatemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones
Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detalles1. Ecuaciones no lineales
1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar
Más detallesBLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas
BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo
Más detallesTraslación de puntos
LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que
Más detallesU.D.5: Diagramas de Gantt y PERT
U.D.5: Diagramas de Gantt y PERT 57 Diagrama de Gantt INTRODUCCIÓN El diagrama de Gantt consiste en una representación gráfica sobre dos ejes; en el vertical se disponen las tareas del proyecto y en el
Más detallesEn la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b.
FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detalles(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Más detallesGráficas de funciones
Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesFUNCIONES DE VARIABLE REAL
CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN
Más detallesExamen funciones 4º ESO 12/04/13
Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +
Más detallesPara la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim
) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los
Más detallesConcepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
Más detalles, o más abreviadamente: f ( x)
TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura
Más detallesFUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO
1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad
Más detallesTEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1
TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder
Más detallesLAS FUNCIONES ELEMENTALES
UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes
Más detalles# Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller
PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO E. P. E. T. N 20-2014 UNIDAD N 1: FUNCIONES REALES Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas, por partes) a partir de
Más detalles4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES
Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,
Más detallesUnidad 5 Estudio gráfico de funciones
Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =
Más detallesPrecálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela
Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesLímite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesMovimientos en el plano
7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 11 ( Modelo 3) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 del 11 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f(x) ax 3 + bx +cx, determina
Más detallesEjercicios de Análisis propuestos en Selectividad
Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa
Más detallesLas funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se
Más detallesFunción Cuadrática *
Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES
ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar
Más detalles3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada?
Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Caída libre y tiro horizontal 1. Desde un puente se tira hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 6 m/s. Calcula: a) Hasta qué altura se eleva la piedra;
Más detallesHoja de Actividades. Nombre: Fecha:
Hoja de Actividades Nombre: Fecha: PASO A PASO 1. Dada la función: y = cos () Es continua? Es periódica? Es simétrica respecto del eje Y? Solución: a) Haz clic en Ventana D b) Selecciona en la barra de
Más detallesFunciones definidas a trozos
Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad
Más detallesEl almacén: sistema de archivos
1 de 9 19/09/2011 13:49 El almacén: sistema de archivos Como dispones ya de una plataforma Moodle y has hecho una configuración concreta, ya sea por temas, semanas o cualquier otra, el paso siguiente es
Más detalles4. Se considera la función f(x) =. Se pide:
Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones
Más detallesFunciones. 1. Funciones - Dominio - Imagen - Gráficas
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Funciones 1 Funciones - Dominio - Imagen - Gráficas 11 Función Una función es una asociación, que a cada elemento de un conjunto A le asocia eactamente un elemento
Más detallesa) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.
.- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,
Más detallesFUNCIONES Y GRÁFICAS.
FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones
Más detallesContinuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í
Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A
Más detalles6. VECTORES Y COORDENADAS
6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Funciones I
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Funciones I Una función es una relación que se propone modelar matemáticamente una serie de fenómenos en los que
Más detallesUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN. CURSO: Matemática básica 1
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN CURSO: Matemática básica 1 SEMESTRE: Primero CODIGO DE CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Segundo parcial
Más detallesHalla dominio e imagen de las funciones
Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los
Más detallesÁlgebra y Trigonometría CNM-108
Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesRepasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional
Repasando lo aprendido......con una propuesta autoinstruccional Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma utilidad para fijar los conocimientos dados. Sólo te brindo una guía
Más detalles2. GRAFICA DE FUNCIONES
. GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un
Más detallesAnálisis de funciones y representación de curvas
12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesMÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Más detallesCALCULO 11-M-1 Primera Parte
CALCULO 11-M-1 Primera Parte Duración 1h 4m Ejercicio 1 (1. puntos) Una isla A se encuentra a 3 kilómetros del punto más próximo B de una costa rectilínea. En la misma costa, a 1 kilómetros de B se encuentra
Más detallesProblemas de Cinemática 1 o Bachillerato
Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato 1. Sean los vectores a = i y b = i 5 j. Demostrar que a + b = a + b a b cos ϕ donde ϕ es el ángulo que forma el vector b con el eje X.. Una barca, que lleva una
Más detallesa) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:
TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles
Más detalles3ª Parte: Funciones y sus gráficas
3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,
Más detallesRepresentación gráfica de funciones
Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica
Más detalles