CAPÍTULO VI. Funciones

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1 CAPÍTULO VI Funciones

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3 FUNCIONES 1. Indicar si las siguientes expresiones son o no funciones indicando razonadamente por qué. ( ) a) f : Z N : x x b) f : Z R : x 1 x 2 c) La recta que pasa por los puntos A(8, 1) y B(13, 2) 2. Calcular el dominio de las siguientes funciones: ( ) a) f(x) = 3 3x 6 b) 3x 6 2 c) 3 x + 7 d) x 3 x+1 3. Representar las funciones: ( ) a) f(x) = 3/2 b) f(x) = 2x c) f(x) = 2x 4 d) f(x) = x 2 + x 6 2x 5 si x < 2 e) f(x) = 3 si 2 x 2 x 2 + x si x > 2 4. Unas instalaciones de un criadero de truchas comenzaron con 400 ejemplares. El número de truchas va cambiando con el paso del tiempo, de forma que sigue una función polinómica de grado dos cuya variable independiente es el tiempo medido en meses. El mayor número de truchas, 625 ejemplares, se obtuvo a los 15 meses. A partir de entonces el número de truchas comenzó a decrecer. a) Cuánto tiempo había pasado cuando el criadero tenía otra vez 400 truchas. b) Dibuja la gráfica de la función, indicando el dominio y el recorrido. c) Llegarán a desaparecer las truchas? Razona la respuesta. d) Encuentra la fórmula que relaciona el número de truchas con el número de meses transcurridos a partir de su instalación. ( ) 5. Sea g : N N definida por la expresión: a) Halla g(20); g(21) y g(22) g(x) = x M.C.D.(8, x) 3

4 b) Calcula los valores de x tal que g(x) = x c) Calcula los valores de x tal que g(x) = 1 ( ) 6. Cierto fenómeno lleva asociado un comportamiento como función polinómica de primer grado. Si conocemos que para el valor 4 de la variable independiente, corresponde el valor 3 de la variable dependiente y que el par (7, 5) es una pareja de su tabla de valores: a) Encontrar la expresión algebraica de dicha función b) Representarla gráficamente. c) Qué imagen corresponderá al valor independiente 10? d) A qué valor de la variable independiente corresponde una imagen de y = 9? ( ) 7. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2 5 cm. Establecer una función afín que nos dé la altura de la planta en función del tiempo. Representarla gráficamente. ( ) 8. Dada la siguiente tabla: n T a) Añadir 4 pares más de valores correspondientes de n y T. b) Hallar n cuando T valga 29 y cuando valga 44. c) Expresar la función algebraicamente y su gráfica. ( ) 9. Expresa mediante: Tabla, Gráfica y Fórmula, la función que nos da el coste del recibo de teléfono según los pasos gastados, sabiendo que incluye una cuota fija de 30 e y que el precio del paso es de 0 25 e. Cuánto pagarás un mes que has consumido 800 pasos? Cuántos pasos consumiste un mes que pagaste 280 e? ( ) 10. Una bacteria se reproduce por bipartición, cada hora. En un laboratorio se dispone de una de estas bacterias, cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? Y cuando pasen dos horas? Y a las tres horas? En caso de que esta situación sea función, escribe su expresión, indicando cuáles son las variables dependiente e independiente. Dominio y conjunto imagen. ( ) 11. Un hombre duda entre comprar un coche de gasolina, que vale e o uno de gasoil que cuesta e. El precio del Km recorrido incluyendo mantenimiento y combustible de gasolina es de 1 01 e/km, mientras que el de gasoil es de 0 86 e/km. 4 a) Encontrar la función que relaciona el coste (precio del coche más el del mantenimiento más combustible) con el número de kilómetros recorridos recorridos en cada uno de los coches. b) Representar estas funciones y determinar el punto de corte. Qué significa? c) Si el hombre recorre km el primer año qué coche le produce menos gastos? Y si hace km? ( )

5 12. En los países anglosajones se mide la temperatura en grados Farenheit ( o F) en vez de grados centígrados ( o C). Sabiendo que la relación entre ambas temperaturas es lineal, que 10 o C = 50 o F y que 60 o C = 140 o F, obtener la ecuación que nos permita expresar temperaturas de o C en o F. ( ) 13. En una ciudad las ecuaciones de la oferta O y la demanda D de un producto cuyo precio es de x euros vienen dadas por: D = 18x 900 y O = x Se llama punto de equilibrio el valor de x para el que el mercado se encuentra en equilibrio (O = D). Calcular gráficamente el punto de equilibrio. Interpretarlo analíticamente. ( ) 14. Se lanza una piedra desde una torre de manera que, si expresamos en una tabla el tiempo en segundos y la distancia de caída recorrida, tendríamos: Tiempo Distancia Representa gráficamente la distancia en función del tiempo de caída. Cuál es la fórmula que nos da la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido? ( ) 15. Dos amigos compran cada uno un caballo observando que en ese momento ambos animales pesan lo mismo. Un mes después uno afirma: Mi caballo pesa10 kg más que cuando lo compramos y el otro responde: El mío aumentó su peso un 20 %, por lo que siguen pesando lo mismo. a) Cuánto pesaban originalmente los caballos? b) Al cabo de tres meses el segundo afirma: Mi caballo ha seguido aumentando un 20 % cada mes y el otro dice: El mío ha seguido aumentando 10 kg cada mes, luego pesan lo mismo otra vez Es cierta esta última afirmación? Dibuja el gráfico del desarrollo de ambos caballos. c) Encuentra una función que exprese en cada caso el peso del caballo en función del tiempo en meses. ( ) 16. Consideremos un cuadrado inscrito en otro cuyo lado mide 7 cm. de la forma que indica la figura: a) Expresar el área del cuadrado inscrito, en función del segmento x. Representarlo gráficamente. b) Qué dimensiones tendrá el cuadrado interior cuya área sea la mínima posible Para qué valor de x ocurre? ( ) 5

6 17. Con una cuerda de longitud L se hace un rectángulo. Obtener la función que nos da el área de la superficie del rectángulo dependiendo de la longitud de uno de los lado. Qué valor de la variable hace máxima dicha función? ( ) 18. Expresa en función de la base el área de un rectángulo inscrito en un círculo de radio r.( ) 19. Expresa el área de un triángulo equilátero en función del lado. Qué tipo de función se obtiene? ( ) 20. Obtener la función que nos da el número de diagonales de un polígono de n lados, en función del número de lados. Representar gráficamente dicha función. ( ) 21. Consideremos una cuerda de 10 metros que se divide en dos partes, no necesariamente iguales. La primera se toma como lados de un cuadrado y la segunda como lado de un triángulo equilátero. Calcula la función que nos da la suma de las áreas de ambas figuras a partir de la medida del lado del triángulo Qué partes de la cuerda hacen que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima? Cuál es ese área? ( ) 22. Un restaurante abre sus puertas a las 8 de la noche sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número C de clientes en función del número de horas h que lleva abierto es: C = 80h 10h 2. a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche. b) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 Entre qué horas debemos hacerlo? c) A qué hora cierra? ( ) 23. En un rectángulo de perímetro 40 metros, se sustituyen dos lados opuestos por semicircunferencias exteriores. Obtener la función que nos da el área de la figura resultante. Obtener el dominio de la función y representa gráficamente dicha función. Para qué figura concreta el área es máxima? ( ) 6

7 24. El precio de los diamantes es 200 veces el cuadrado de su peso en gramos. Disponemos de un diamante de 5 gramos de peso que partimos en dos trozos. Toma como variable independiente x, el peso de uno de los trozos. Calcula P (x), el precio de los dos trozos en función de x. Halla el dominio y recorrido de la función P (x) y su representación. Explica si el partir un diamante provoca una devaluación del mismo o un incremento de su valor. ( ) 25. Un agricultor posee 80 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno. Cuál es el área máxima que puede cercar? ( ) 26. El área de un rectángulo es 221 cm 2, a) Si la medida de sus lados son números enteros, averigua los valores posibles. b) En uno de esos rectángulos cortamos un cuadrado en uno de los vértices, como se muestra en la figura. Toma como variable independiente el lado del cuadrado, x. Halla el área de la figura resultante en función de x. c) Encuentra el dominio de la función. Representa la función. ( ) 27. Un folio tiene de dimensiones 20cm 30cm, se corta un pico, como el de la figura, con la condición que uno de los catetos del triángulo cortado es el doble que el otro. a) Si se corta un triángulo de área 25 cm 2, encuentra las dimensiones del triángulo. b) Toma como variable independiente x, la longitud del cateto menor y como variable dependiente, y, el área de la figura que resulta tras cortar el pico. Encuentra la relación entre ambas variables. c) Calcula el dominio y representa la función resultante. ( ) 28. En un rectángulo de perímetro 40 metros, se sustituyen dos lados opuestos por triángulos equiláteros exteriores. Obtener la función que nos da el área de la figura resultante. Obtener el dominio de la función y representa gráficamente dicha función. Para qué figura concreta el área es máxima? ( ) 7

8 29. Un comerciante tiene 60 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. Qué área máxima puede cercar de esta manera?( ) 30. La función siguiente tiene como variable independiente el tiempo durante una hora, y como variable dependiente la distancia entre el extremo de la aguja mayor (minutero) y uno de los tres puntos siguientes: a) El punto marcado por las IX b) El punto marcado por las XII c) El punto marcado por las III ( ) 31. Calcula la longitud de los pilares (separados entre sí 2 m) del puente de la figura sabiendo que el arco que lo sustenta es parabólico. (Nota: Situar el eje de coordenadas en el lugar señalado con la 0). ( ) 32. El director de un teatro sabe que podría obtener la recaudación aplicando la siguiente regla: por cada euro que baje el precio de la localidad sobre 30 e, necesitaría 100 personas más sobre 500 espectadores para obtener la recaudación. Calcula la recaudación en función del número de euros de bajada del 8

9 precio sobre 30 e. Halla la recaudación máxima y el número de espectadores necesarios. ( ) 33. La trayectoria del salto de un animal suele ser parabólica. La figura ilustra el salto de una liebre en un plano coordenado. La longitud del salto es de 3 metros y la altura máxima con respecto al suelo es 1 5 metros. Encuentre una regla de correspondencia que nos permita calcular la trayectoria de la liebre. ( ) 34. Se lanza un proyectil. La altura alcanzada h (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación h = 2x 2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña. La ladera oeste de la montaña sigue la recta de ecuación h = 6x 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto. ( ) 35. La ecuación y = 3x 5 representa un río. En el punto P(4,4) se ha instalado un registro de agua para riego. Halla en qué punto del río ha de hacerse la toma de agua para que esté lo más próximo posible del registro. Por el punto Q(5,5) se quiere construir una carretera que vaya paralela al río, halla su ecuación. ( ) 36. Representar gráfica y algebraicamente una función con las siguientes características: comienza con el valor 4 cuando la variable independiente es 0 con un comportamiento lineal y termina valiendo 0 cuando dicha variable independiente es 6. A partir de ese punto, y con continuidad, presenta un comportamiento como función de segundo grado cuyo vértice corresponde al punto V(8, -4). ( ) 37. Considera todos los rectángulos posibles que tengan por área 18. Construye una tabla de valores de las bases y anchuras, una representación gráfica de dichos valores y finalmente, una fórmula que nos exprese la relación entre la base y la anchura. ( ) a) Hay una función que se adapte a la situación? Explícalo. b) Expresa el dominio, el conjunto imagen y las variables. c) A qué distancia del suelo está a los 3 5 segundos? d) Resuelve la ecuación f(x) = 6. Expresa verbalmente la ecuación anterior. e) En qué tiempo estará a 5 m. del suelo? ( ) 9

10 38. Hemos tirado una pelota desde 10 m de altura y a los 3 segundos estaba a 1 metro del suelo, siguiendo una trayectoria expresada por la expresión y = x , donde x es el tiempo e y la altura. A partir de ese momento la trayectoria es lineal llegando a los 4 segundos al suelo. a) Hay una función que se adapte a la situación? Explícalo. b) Expresa el dominio, el conjunto imagen y las variables. c) A qué distancia del suelo está a los 3 5 segundos? d) Resuelve la ecuación f(x) = 6. Expresa verbalmente la ecuación anterior. e) En qué tiempo estará a 5 m. del suelo? ( ) 39. La gráfica de una función de segundo grado corta al eje OX en el origen de coordenadas y en el punto A(6, 0). Sabiendo que el valor máximo de su variable dependiente es 18; representar la gráfica de dicha función y escribir su expresión algebraica. ( ) 40. Tomemos como variable independiente, x, la medida del menor de los lados de aquellos triángulos cuyos lados son números pares consecutivos. Como variable dependiente, y, el perímetro de dichos triángulos. a) Calcula la relación funcional entre ambas variables. b) Encuentra el dominio y recorrido de dicha función y su representación gráfica. c) Comprueba que el número 2013 está en el recorrido de la función anterior. ( ) 41. Al acabar una reunión a la que asisten un cierto número de personas, todo el mundo se da la mano. Cuántos apretones de manos se dieron si había 5 personas? y si eran 7? a) Cuántas personas había si se dieron 6 apretones de manos? y si fueron 66? Forma una tabla de valores relacionando el número de personas y apretones de manos dados. b) Si hubiera n personas cómo podríamos expresar el número de apretones de manos en función de n? ( ) 42. En unos ejes cartesianos representa gráficamente la recta de ecuación y = x+2 y la parábola de ecuación y = x 2 2x+3. Para qué valores de m, la recta y = mx+2 corta a la parábola? ( ) 43. Dos empresas de transportes establecen las siguientes tarifas: La primera cobra 1e por paquete y 20 céntimos por Km. La segunda cobra 3 e por paquete y 10 céntimos por Km. Hallar: las expresiones algebraicas de las funciones que nos dan el precio en función del número de paquetes y del número de km en cada una de las empresas. Discutir que empresa conviene contratar según los casos. ( ) 44. El video club Los hermanos Marx ofrece tres posibilidades a sus clientes durante un año. I) 6 e por la tarjeta de socio y 0 75 e por cada película. II) Sin tarjeta, simplemente 1,50 e por película. III) Abono de 18 e cada 15 películas o fracción. 10 a) Andrés ha alquilado 8 películas en un año Cuánto ha pagado según la opción elegida?

11 b) Con 54 e Cuántas películas se pueden alquilar en cada opción? c) Representa gráficamente, en los mismos ejes, el precio en función del número de películas alquiladas, para las tres opciones. A partir de qué número de películas es más conveniente cada opción? ( ) 45. La nota media que un alumno obtiene en selectividad (N S ) en función de la nota media que tiene en bachillerato (x) viene dada por la función: N S (x) = 1 2 x si 5 x (x2 + x 10) si 7 < x 10 a) Qué nota tendrá en selectividad una persona que tiene de media en el bachillerato un 6. Y otra que tiene de media un 8. b) Dos personas han obtenido en selectividad un 7 5 y un 3 25 respectivamente. Cuánto tendrán de media en el bachillerato respectivamente? ( ) 46. Consideremos la función f(x) = 2x 2 + 5x + 4. Halla dos puntos que tengan la misma imagen. Representa la función. Halla el dominio y la imagen. ( ) 47. Una persona está situada en una esquina de una plaza cuadrada de 20 metros de lado. En un momento determinado comienza a andar a una velocidad constante de 2 m/s por el perímetro de la misma. Tomen como variable independiente, x el tiempo transcurrido a partir de comenzar a andar y como variable dependiente y la distancia al punto de partida. Calculen la relación entre ambas variables y esbocen la gráfica. ( ) 48. Representa gráficamente la función y detalla todas sus características. ( ) 1 x 2 si x 1 f(x) = x 2 1 si 1 < x 49. Estudia la función f : N N, indicando si recibe algún nombre especial. En caso de existir, halla f 1 (x). ( ) 50. Sean las funciones: i) f(x) = 1 2x 1 ii) g(x) = 2x 1 2x + 1 iii) h(x) = 1 x a) Halla f g; g f; h f g y h g f b) Calcula f 1, g 1 y h 1 11