Tema 0: Funciones y gráficas

Transcripción

1 Matemáticas I Tema 0: Funciones y gráficas 24/9/2012 Edgar Martínez-Moro.

2 Índice Objetivos de aprendizaje Funciones Función inversa Funciones lineales Inversa de una función lineal Ajustando funciones lineales Pendiente y elasticidad Restricciones de balance Funciones no lineales 2/27

3 i Objetivos de aprendizaje 1. Interpretar el significado de una función y su inversa. 2. Dibujar gráficas de funciones lineales y no lineales. 3. Calcular pendientes de funciones lineales y determinar tangentes de forma gráfica. 4. Usar la pendiente de una curva de demanda para calcular la elasticidad puntual. 5. Saber qué le ocurre a la recta de balance cuando cambian sus parámetros. 6. Deducir los rendimientos de escala de una función de Coob-Douglas. Ò Plataforma virtual : Transparencias, ejercicios y prácticas de computación. 3/27

4 Funciones Supongamos que el gasto semanal de una familia en comida C depende de los ingresos netos semanales I de acuerdo con la relación C = I Para cada valor concreto de I podemos evaluar cuál seá el gasto C. Una relación entre los valores de dos o más variables es una función cuando un único valor de la variable dependiente se determina de los valores de las variables independientes. Si no conocemos la forma precisa matemática de esta dependencia escribiremos la función de forma general C = f (I ). 4/27

5 Funciones (cont.) El dominio de una variable es el rango de valores que puede tomar. El dominio de la función será el dominio de cada una de sus variables independientes. El rango de la función será la unión de los dominios de cada una de sus variables dependientes. Ejemplo: Q = 4K 0.5 L 0.5 K 0.5 0, L K L K 0.5 L 0.5 Q /27

6 Funciones (cont.) Cuando definimos una función debemos asegurarnos que un único valor de la variable dependiente se determina para cada elemento del domininio. Es una función Q = 4K 0.5? Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios /27

7 Ï Funciones en Maxima en Maxima se definen funciones mediante el operador :=. Existe una multitud de funciones predefinidas, algunas de las cuales iremos viendo a lo largo del curso. Podemos definir funciones a trozos mediante una secuencia if... then... else. Practica la sintaxis y deduce el significado de cada comando en los siguientes ejemplos: (%i1) f(x):=x^2-x/(x-1)^2; (%i2) ratsimp(%o1) (%i3) [f(-1),f(1.1),f(2),f(3.23),f(%e+%pi)]; (%i4) plot2d([f(x)], [x,2,5])$ (%i5) g(x):= if x<=0 then f(x) else f(x)^2-f(x); (%i6) [g(-1),g(1.1),g(2),g(3.23)]; L Lee y practica el capítulo 2 de la guía de wxmaxima. 7/27

8 Función inversa La función inversa de f es la que deshace la relacción entre variables dependientes e independientes, matemáticamente hablando g es la inversa de f si f (x) = y, g(y) = g(f (x)) = x para todo y en el rango de f (o x en el dominio de f ). No todas las funciones tienen inversa, veremos más adelante que la condición para que una función continua tenga localmente inversa está relacionada con la monotonía. 8/27

9 Función inversa (cont.) Ejemplo: Tienen inversa las siguientes funciones? 1. y = 4 + 5x 2. y = 9x x 2, 0 x 9. Aunque a veces sea correcto realizar la inversa de una función matemáticamente, a veces no tiene sentido económico. Consideremos el siguiente caso extremo: V = 0.01I + 10 donde V representa el número de días que una familia disfruta anualmente de vacaciones e I sus ingresos anuales. Tiene dicha función inversa? Tiene la inversa algún significado económico lógico? 9/27

10 Función inversa (cont.) Por otro lado el significado económico no siempre está claro. Por ejemplo, un monopolio puede establecer el precio de un producto y comprobar cúanto vende, esto es Q = f (P), pero por otra parte, en un entorno competitivo una empresa primero ha de decidir cuanto produce y luego ver que precio puede obtener por ello P = g(q). Ejemplo: Calcula la inversa de la curva de demanda Q = 400 5P. Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios /27

11 Funciones lineales Una función que toma la forma y = a + bx donde a y b son dos números (reales) fijos corresponde a una recta cuando la representamos en un sistema de ejes cartesianos. A dicha función la llamaremos función lineal. Las cantidades a y b tienen un gran significado geométrico, y = a cuando x = 0, es decir, el punto (0, a) es el corte de la recta con el eje correspondiente a las abcisas. Por otro lado, cada vez que la cantidad asignada a la variable x se incrementa 1 unidad la cantidad resultante y se incrementa b unidades.! Puedes verlo? Y demostrarlo matemáticamente? 11/27

12 Funciones lineales (cont.) Ejemplo: Dibuja la función G = I donde G es el gasto de un consumidor e I sus ingresos. En matemáticas usualmente se asigna a la variable independiente x el eje horizontal. Sin embargo en los modelos económicos la curva de demanda (que es la representación gráfica de la relación entre la máxima cantidad de un determinado bien o servicios que un consumidor estaría dispuesto a pagar a cada precio de ese bien) se suele representar con la variable independiente P en el eje vertical. Comprendiendo que no importa que eje utilizar, para no crear confusión con otras asignaturas, durante este curso seguiremos el criterio económico, es decir, representar P en el eje de abcisas en las curvas de demanda. 12/27

13 Funciones lineales (cont.) Ejemplo: Representa la curva de demanda Q = 800 4P Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios 1.3. Comprueba que en una función lineal el ratio y x es constante. 13/27

14 Inversa de una función lineal Para calcular la inversa de la función lineal Ï Maxima (%i1) solve(10*x/7+23-y,x); y = 10x Por qué? Qué nos proporciona el siguente comando? (%i2) solve(a*x+b-y,x); 14/27

15 Ajustando funciones lineales Es bien sabido que por dos puntos pasa una única recta, por lo tanto para determinar una función lineal basta que nos den dos puntos por los que transcurre su gráfica. Ilustremos esto con un ejemplo. Ejemplo: Una función de demanda lineal tiene la forma P = a + bq donde a, b son parámetros, supongamos que cuando P = 40 se tiene Q = 400, cuando P = 20 se tiene Q = 500. esto es { 40 = a + 400b 20 = a + 500b 15/27

16 Ajustando funciones lineales Las dos expresiones anteriores son un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales (que estudiaremos en el tema que viene). Ejemplo: (cont.) Entre ambos puntos vemos que el aumento de 20 unidades en el precio provoca una caída de 100 unidades en Q, es decir, como la función es lineal, el aumento de 80 unidades en P desde el punto (P = 40, Q = 400) provocará que Q sea 0, es decir a = ( ) = 120. Por otra parte, del mismo razonamiento b = = /27

17 Ajustando funciones lineales Ejemplo: Si asumimos que el gasto depende linealmente de los ingresos G = a + bi, y se observa que Cuáles son los valores de a y b? cuando I = 600 se tiene G = 660, cuando I = 1000 se tiene G = 900, Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios /27

18 Pendiente y elasticidad Recordemos que en una función lineal del tipo y = f (x) = a + bx cada vez que la cantidad asignada a la variable x se incrementa δ unidades la cantidad resultante y se incrementa bδ unidades, esto es f (x + δ) = a + b(x + δ) = f (x) + bδ = y + bδ. El parámetro b por lo tanto representa la pendiente de la recta, es decir, la constante que determina b = y x. 18/27

19 Pendiente y elasticidad Ejemplo: Calcula la pendiente de la función lineal y = x. En economía, la elasticidad puntual es la razón formada entre el cambio proporcional de una variable con respecto del cambio proporcional de otra variable a partir de un punto. Mide, por ejemplo, la sensibilidad de la cantidad demandada u ofertada a los cambios en los precios. Por ejemplo, la elasticidad de la demanda mide la variación porcentual que experimenta la cantidad demandada como consecuencia de una variación en el precio. 19/27

20 Pendiente y elasticidad Por lo tanto su cálculo se realiza como e = ( 1) % cambio de la cantidad demandada, % cambio del precio donde ( 1) es para conseguir un coeficiente positivo, ya que siempre (en un mundo razonable) el cambio en el precio o en la cantidad será negativo. 20/27

21 Pendiente y elasticidad Si la función de demanda es lineal P = a + bq se tiene esto es e = ( 1) % Q Q % P = ( 1) Q e = ( 1) P Q P P = ( 1) P Q ( ) 1. b ( ) Q P 21/27

22 Pendiente y elasticidad Ejemplo: Calcula la elasticidad puntual de la curva de demanda cuando P = 0, 10, 3, 5. P = 34.34Q Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios /27

23 Restricciones de balance Una recta de balance es una de las aplicaciones clásicas en economia. Supongamos que queremos comprar dos bienes (inputs I x e I y ) con dos posibles precios unitarios P x e P y y tenemos una restricción presupuestaria de R unidades monetarias. Cada punto de la recta K x P x + K y P y = R representa la cantidad máxima de un bien que se puede comprar una vez fijada la cantidad del otro. Cualquier punto situado por encima de la recta de balance es inalcanzable. 23/27

24 Restricciones de balance Ejemplo: Calcula la recta de balance de una empresa que compra dos bienes de precio unitario 50 y 60 respectivamente y cuyo presupuesto es de 3000 unidades monetarias. La pendiente de una recta de balance será ( 1) R P y R P x = ( 1) P x P y. 24/27

25 Restricciones de balance Es decir, 1. Si el cociente de los precios la recta cambia de pendiente, 2. Si la cantidad de la restricción cambia la pendiente no cambia (es decir, la recta es paralela a la anterior). Veremos más adelante que estas restricciones se convierten en planos (hiperplanos) en el caso de 2 (más variables). Ahora puedes intentar la tanda de ejercicios /27

26 Funciones no lineales Nos restringiremos en esta sección a funciones con una sola variable independiente. Diremos que una función es no lineal si un incremento de la variable independiente no produce un incremento proporcional de la variable dependiente con constante de proporción fija para todos los puntos del dominio (es decir, no funciona con dichos valores la regla de tres). En la práctica, no son lineales todas aquellas que no son rectas. Repasaremos brevemente las de la forma: y = (x + a) α + b, donde α es un número racional y a, b reales (ver pizarra). 26/27

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