Calculo.I Tema 2 Derivadas

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Santiago Botella Ruiz
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1 Calculo.I Tema 2 Derivadas 24.Feb Sea y=f(x) La derivada de la función y=f(x) respecto de la variable x es otra función llamada y = f (x) = que nos indica cuánto se incrementa la función y al hacer un pequeño incremento en x Incremento de x = x Si x es muy pequeño, entonces x 0, en vez de x lo llamo dx Incremento de y = y x es muy pequeño, entonces y también es muy pequeño, lo llamo dy Diferencial de x Diferencial de y Ejercicios.1: Calcular por la definición: f(x) = c f (x) = 0 f(x) = f (x) = f(x) = x f (x) = 1 f(x) = f (x) = Voluntario f(x) = x 2 f (x) = 2x f(x) = f (x) = Voluntario f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = sen(x) f (x) = Voluntario f(x) = x 7 f (x) = voluntario f(x) = cos(x) f (x) = los del 207 no f(x) = x n f (x) = voluntario f(x) = e x f (x) = Necesitaras: (a+b) n = Donde donde a su vez n! = n (n-1) (n-2) 3 2 1, siendo 0!=1 (a+b) 5 = = = sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) La conclusión feliz es que si f(x) = x n f (x) = n x n-1 Como y podemos usar la fórmula anterior con n = ó n = También si tenemos podemos usar esa fórmula con n = -a f(x) = puedo ponerlo como f(x) = entonces f (x) = f(x) = puedo ponerlo como f(x) = entonces f (x) =

2 Ejercicios.2: 2.a) f(x) = f (x) = 2.b) f(x) = f (x) = 2.c) f(x) = f (x) = 2.d) f(x) = f (x) 2.Propiedades Derivada de una constante por una función: [a f(x)] = a f (x) Ejemplo: f(x) = 5x 3 f (x) = 5 3x 2 = 15x 2 Derivada de una suma/resta/multiplicación/cociente de funciones: [f(x) g(x)] = f (x) g (x) Ejemplo: f(x) = 6x 2 3x 5 f (x) = 12x 15x 4 [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) y = f (x) g(x)+f(x) g (x) Ejemplo: y = 6x 2 3x 5 y = 12x 3x 5 +6x 2 15x 4 = 36x x 6 = 126x 6 Mejor si hubiéramos multiplicado antes de derivar (aunque no siempre se puede) y = 6x 2 3x 5 = 18x 7 y = 18 7x 6 = 126x 6 Ejemplo: y = y = = 6x 2 Mejor si hubiéramos dividido antes de derivar (aunque no siempre se puede) y = = 2x 3 y = 2 3x 2 = 6x 2 Ejercicios: 3.a) f(x) = f (x) = 3.b) f(x) = f (x) = 3.c) f(x) = f (x) = 3.d) f(x) = f (x) 3.e) f(x) =(1+x)(x 2 1) f (x) = 3.j) f(x) = f (x) = (2 formas) 3.f) f(x) = f (x) = 3.g) f(x) = f (x) = (2 formas) 3.h) f(x) = f (x) = 3.i) f(x) = f (x) = (2 formas) Aunque se puede, se antirrecomienda usar la regla de la división para o 3.Adelanto de la regla de la cadena: Sé esta regla: y = x n y = n x n-1. Qué pasa si en vez de y = x n tengo y = [f(x)] n y = [f(x)] n y = n [f(x)] n-1 f (x).es igual pero además se añade el factor f (x) Sé: y = sen(x) y = cos(x). Qué pasa si en vez de y = sen(x) tengo y = sen[f(x)] y = sen[f(x)] y = cos[f(x)] f (x).es igual pero además se añade el factor f (x) Ejercicios.4: 4.a) f(x) = (2x + 5) 3 f (x) = (2 formas) 4.b) f(x) = (5x 2 + 3) 20 f (x) 4.c) f(x) = x sen(x) f (x) = 4.d) f(x) = sen 2 (x) f (x) = 4.e) f(x) = sen(x 2 ) f (x) = 4.e) f(x) = (sen 2)x f (x) =

3 4.Interpretación geométrica de la derivada f (x) es una función que para cada valor de x nos da el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto Así: f (x p )= m recta tangente a f(x) en (x p, y p ) Si f(x) es decreciente la pendiente es negativa, por tanto f (x) negativa f (x)<0 Si f(x) es creciente la pendiente es positiva, por tanto f (x) positiva f (x)>0 Si f(x) es horizontal la pendiente es cero, por tanto f (x) =0 f (x) sale cero en los máximos y mínimos relativos Ejercicios Calcular la ecuación de la recta r tangente a f(x) = x 2-6x+5 en los puntos en que a) x=0, b) x=1, c) x=2, d) x=3, e) x=4 Solucion: r a y= -6x+5 r b y = -4x + 4 r c y = -2x+1 r d y = -4 r e y = 2x Dada la gráfica decir donde f (x) es positiva, negativa o cero Ec. recta r tangente a f(x) en x p Si no me dieran y p, lo hallaría con y p = f(x p ) Punto de tangencia = (x p, y p ) = (x p, f(x p )) Pendiente = m = f (x p ) r y y p = m (x x p ) La coordenada x v del vértice De una parábola De ecuación y=ax 2 +bx+c es: x v =

5.Derivabilidad Una función no siempre tiene derivada en todos sus puntos, puede que en alguno no tenga a) Relación entre continuidad y derivabilidad Si es continua, puede que sí o puede que no sea

4 5.Derivabilidad Una función no siempre tiene derivada en todos sus puntos, puede que en alguno no tenga a) Relación entre continuidad y derivabilidad Si es continua, puede que sí o puede que no sea derivable, pero Si no es continua entonces no es derivable Dom(f)= = (-, ) f es continua Dom(f )= = (-, ) f es derivable en todo Dom(f)= = (-, ) f es continua f es derivable en todo salvo en x=0 Dom(f )= - {0} = (-,0) (0, ) En x=0 f(x) es continua pero no es derivable f(x) no es continua en x=0 f(x) no es continua en x=c f(x) no es continua en x=c f (x) no es derivable en x=0 f (x) no es derivable en x=c f (x) no es derivable en x=c b) Si una función es continua, pero en la gráfica tiene algún punto donde te pinchas entonces ahí la función no es derivable. Eso es porque las derivadas laterales no coinciden. Eso puede ocurrir: 1 en funciones que contienen raíces 2 en las funciones a trozos en los puntos donde cambio de trozo Gráficamente vemos que aunque f(x) es continua resulta que en x=0 es puntiaguda. Por tanto sabemos que f (x) en x=0 Analíticamente se puede calcular la expresión para f (x) vemos que no está definida para x=0, ya que haría cero el denominador

c) Cuando la función es continua pero la pendiente se hace Eso suele ocurrir cuando hay raíces en f(x) La pendiente es en x=0, eso querría decir que f (x=0)=, pero como infinito no es un número real,

5 c) Cuando la función es continua pero la pendiente se hace Eso suele ocurrir cuando hay raíces en f(x) La pendiente es en x=0, eso querría decir que f (x=0)=, pero como infinito no es un número real, la conclusión es que no existe derivada en x=0 6.1.Derivadas de exponenciales con base diferente a e y=e x y = e x y=e f(x) y = e f(x) f (x) y=a x y = a x ln(a) y=a f(x) y = a f(x) f (x) ln(a) 6.2.Derivadas de logaritmos con base diferente a e y=ln(x) y=ln[f(x)] y=log a (x) y=log a [f(x)] Recordad: Ej: NOTA: En algunos libros pone: y=log a [f(x)] Es lo mismo? Sí, porque Ejercicios: 1. y = log(3x-1) + 2 7x-1 Hallar y 2. Si f(x) = 4 2x entonces f '(x) = 8 2x ln (4) Verdadero o falso? Justificar

6 7.Derivación implícita Una función es una expresión que relaciona la variable independiente x con la variable dependiente y. Si la expresión tiene la y despejada entonces es una función explícita. y = f(x) por ejemplo Pero a veces la relación entre x e y es una expresión en que la y no está despejada, bien porque no nos interesa: x 2 + y 2 = 25 o bien porque no se puede: x y 2 x sen(y) = 1 En estos casos se dice que tenemos una función implícita. Cuando está en forma implícita a veces es complicado saber quien es la función y quien es la variable, por eso se usa más aquí la forma: y es función x es variable Recordar que si x es la variable: x 1 y es la función y y Resumiendo, como y es una función habrá que aplicar la regla de la cadena. Ejemplos pero pero pero = (7x 3 ) y 2 + 7x 3 (y 2 ) = 21x 2 y 2 + 7x 3 2y y = 21x 2 y x 3 yy pero Pasos para derivación implícita x y 2 = sen(y) 1. Derivar cada sumando 1 y 2 +x 2y y = cos(y) y 2. Los sumandos con y a la izquierda 2xy y cos(y) y = - y 2 Los que no, a la derecha 3. Sacar factor común a y y [2xy cos(y)] = - y 2 4. Despejar y

7 7.2.Usar derivación implícita para hallar la derivada de algunas funciones inversas. La raíz cuadrada es la función inversa de elevar al cuadrado: El logaritmo (en una cierta base) es la func.inv. de la exponencial (con esa base):, La función inversa de sen(x) es arcsen(x): sen[arcsen( )] = arcsen[sen( )]= Se nos hizo fácil calcular la derivada de e x por la definición: y= e x y = e x Si quisiera hallar la derivada de: y = ln(x) Hago la exponencial de cada lado: e y = e ln(x) = x Derivo implícitamente e y y = 1 Despejo: Como me dieron la y en función de x debería dar a y en función de x si puedo Como al principio salió que e y = x Se nos hizo fácil calcular la derivada de sen(x) por la definición: y= sen(x) y = cos(x) Si quisiera hallar la derivada de: y = arcsen (x) Aplico la función seno a cada lado: sen(y) = sen[arcsen(x)]=x Derivo implícitamente cos(y) y = 1 Despejo: Como me dieron la y en función de x debería dar a y en función de x si puedo Al principio salió que sen(y)=x, pero en y aparece la expresión de cos(y) Por suerte siempre puedo usar sen 2 (y)+cos 2 (y)=1, despejando: Queda finalmente: 8.Derivadas sucesivas Si derivo la función y=f(x) obtengo la función y =f (x) (derivada primera) Si derivo la función y =f (x) obtengo la función y =f (x) (derivada segunda) Si derivo la función y =f (x) obtengo la función y =f (x) (derivada tercera) Si derivo la función y =f (x) obtengo la función y iv =f iv (x) (derivada cuarta), también La derivada n-ésima se expresaría como y n) Otra nomenclatura Ejemplo: y = 5x 3 6x 2 + 3x -7 y = 15x 2 12x + 3 y = 30x 12 y = 30 y 4). = 0

8 9.Operaciones usuales en derivación logarítmica. = =

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