Cálculo Diferencial de una Variable

Transcripción

1 Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil

2 Esquema Esquema de la exposición Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos y absolutos Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Regla de L Hôpital para el cálculo de límites Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema de Taylor

3 Definición Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Definición Una función f se dice derivable en a existe y es un número finito. Si f es derivable en a, entonces f(a+h) f(a) lim h 0 h f (a)= lim h 0 f(a+h) f(a) h derivada de f en a

4 Derivadas laterales Derivada por la derecha Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Sea f(x) : A R. Si f está definida en un intervalo a la derecha de a de la forma [a,a+ε), si existe el límite f +(a)= lim h 0 + f(a+h) f(a) h se le denomina derivada por la derecha de f en a. Si f está definida en un intervalo a la izquierda de a de la forma (a ε,a], si existe el límite f (a)= lim h 0 f(a+h) f(a) h se le denomina derivada por la izquierda de f en a. f es derivable en a f +(a)= f (a)= f (a)

5 Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Interpretación geométrica de la derivada La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto a es la de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y= f(x) en el punto de coordenadas (a, f(a)). Así, esta recta tangente tendrá por ecuación y f(a)= f (a)(x a)

6 Propiedades Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales 1 (α f + βg) = α f + βg, α,β R 2 ( f g) = f g+ f g ( ) 3 f = f g f g g g 2 4 Regla de la cadena Si g es derivable en a y f lo es en g(a), entonces la función compuesta f g es derivable en a, y su derivada es ( f g) (a)= f (g(a)) g (a) 5 Derivada de la función inversa Si f y g son funciones inversas, es decir, f g=g f entonces g (a)= 1 f (a)

7 Derivadas básicas Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales k = 0, k es una constante. (x n ) = nx n 1 (e x ) = e x, (a x ) = a x lna (lnx) = 1 x, (lg a x) = 1 x lg a e (sinx) = cosx, (arcsinx) = 1 1 x 2 (cosx) = sinx, (arccosx) = 1 1 x 2 (tanx) = 1 cos 2 x = 1+tan2 x, (arctanx) = 1 1+x 2 (sinhx) = coshx, (coshx) = sinhx, (tanhx) = 1 cosh 2 x = 1 tanh2 x

8 Derivadas sucesivas. Definiciones Derivada segunda en un punto. Derivada n-ésima Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Sea f : I R, I intervalo abierto y a I. Si f es una función derivable en un entorno de a se define la derivada segunda de f en a como f f (a+h) f (a) (a)= lim h 0 h suponiendo que este límite exista y sea finito. Sea f : I R, I intervalo abierto y a I. Si f es una función derivable n 1 veces en un entorno de a se define la derivada n-ésima de f en a como f (n) (a)= lim h 0 f (n 1) (a+h) f (n 1) (a) h suponiendo que este límite exista y sea finito.

9 Teorema Definición. Interpretación geométrica de la derivada Propiedades fundamentales de la derivada Derivadas de funciones elementales Sea f : I R, I intervalo abierto y a I. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. No toda función continua es derivable Ejemplo: Dada la función f(x)= x. f es continua en todo R pero no es derivable en x=0.

10 Definición Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Definición Sea f : I R, I intervalo abierto y a I. Diremos que f es creciente en I si para todo x 1, x 2 I, con x 1 < x 2 se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ). Diremos que f es decreciente en I si para todo x 1, x 2 I, con x 1 < x 2 se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ). Si f es creciente o decreciente en I se dice que f es monótona en I. Si las desigualdades son estrictas se dirá estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

11 Teorema Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Teorema Sea f : I R R, I intervalo abierto de R, f derivable en I. Si f es positiva en I, entonces f es estrictamente creciente en I. Si f es negativa en I, entonces f es estrictamente decreciente en I. Si f se anula en I, entonces f es constante en I.

12 Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Extremo relativo Sea f : I R R, I intervalo abierto de R y a I. Se dice que en a se alcanza un máximo relativo si existe un r>0 tal que f(x) f(a) x (a r,a+r) un mínimo relativo si existe un r>0 tal que f(x) f a) x (a r,a+r). Se dice que f tiene un extremo relativo en a si o bien tiene un máximo relativo o un mínimo relativo.

13 Extremos absolutos Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Extremo absoluto Sea f : I R R, I intervalo abierto de R y a I. Se dice que f alcanza un máximo absoluto en a si f(x) f(a), x I. un mínimo absoluto en a si f(x) f(a), x I.

14 Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Condición necesaria de Extremo Relativo Condición necesaria de extremo Sea f derivable en c (a,b). Si c es un extremo relativo de f entonces f (c)=0. Punto crítico Se dice que c es un punto crítico de f si se cumple f (c)=0 o bien no existe f (c).

15 Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Condición suficiente basada en la derivada segunda Sea c un punto crítico de la función f tal que f (c)=0. Si existe y es continua la derivada segunda f en un entorno de c se tiene que Si f (c)>0 Si f (c)<0 Si f (c)=0 = c es mínimo relativo de f = c es máximo relativo de f = No podemos asegurar nada

16 Concavidad y convexidad Sea f : I R R, I intervalo abierto de R Definición Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Se dice que ( f(x) es convexa en I si y sólo si para todo x 0, x 0 I, la gráfica de f(x) en I queda por debajo de la tangente a la curva de f(x) en x 0. Se dice que ( f(x) es cóncava en I si y sólo si para todo x 0, x 0 I, la gráfica de f(x) en I queda por encima de la tangente a la curva de f(x) en x 0. Criterio de Concavidad y Convexidad Sea f : I R R dos veces derivable. Si f (x)<0 para todo x I entonces f(x) es convexa en I. Si f (x)>0 para todo x I entonces f(x) es cóncava en I.

17 Punto de Inflexión. Definición Crecimiento y decrecimiento Extremos relativos y absolutos Concavidad y convexidad Definición Sea I un intervalo abierto de R y x 0 I un punto de continuidad de f : I R R. Se dice que la función f(x) tiene un punto de inflexión en x 0, si la función pasa en este punto de convexa a cóncava, o viceversa. La curva atraviesa la tangente. Criterio de Punto de Inflexión Sea f : I R R n veces derivable con n 2 y x 0 I. Si f (x 0 )= f (3) (x 0 )=...= f (m 1) (x 0 )=0 y f (m) (x 0 ) 0, entonces (a) Si m es impar: f posee un punto de inflexión en x 0. (b) Si m es par: x 0 no es punto de inflexión.

18 Regla de L Hôpital para el cálculo de límites Teoremas de Rolle y del valor medio Regla de L Hôpital para el cálculo de límites Teorema (Regla de L Hôpital) Sean f y g funciones derivables en (a,b), excepto posiblemente en x 0 (a,b). f(x) Si lim x x0 g(x) es la indeterminación 0 0 o bien entonces f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) f (x) siempre que lim x x0 g exista o sea infinito. (x) Extensiones: La regla de L Hôpital se puede aplicar si: x son límites laterales

19 Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema de Rolle Regla de L Hôpital para el cálculo de límites Teoremas de Rolle y del valor medio Sea f derivable en (a,b) y continua en [a,b]. Si f(a)= f(b), entonces existe al menos un número c (a,b) tal que Teorema del valor medio f (c)=0 Sea f derivable en (a,b) y continua en [a,b]. Entonces existe al menos un número c (a,b) tal que f (c)= f(b) f(a) b a o, equivalentemente f(b) f(a)= f (c)(b a). La interpretación geométrica de este último teorema es la existencia de un punto c en donde la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)) tiene la misma pendiente que la tangente en c.

20 Aplicaciones Regla de L Hôpital para el cálculo de límites Teoremas de Rolle y del valor medio Ejercicio 1 Calcular un punto del intervalo [1,3] en el que la tangente a la curva y=x 3 x sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1,2) y B(3,20). Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto? Ejercicio 2 Demuestra que la ecuación 4x 3 x 2 + 4x 1=0 no puede tener dos raíces reales y calcula la raíz real en [0,1].

21 Polinomio de Taylor Definición Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas Sea f una función con derivadas hasta el orden n en un punto x=a. Entonces existe un polinomio P n (x), y sólo uno, de grado n tal que P n (x) = f(a)+ f (a) 1! = n k=0 f (k) (a) (x a) k k! (x a)+ f (a) 2! llamado polinomio de Taylor de f en el punto a. Aproximación de funciones f(x)=p n (x)+r n (x)= n k=0 (x a) f(n) (a) (x a) n n! f (k) (a) (x a) k + R n (x) k!

22 Teorema de Taylor Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas Fórmula de Taylor Sea f :(a d,a+d) R derivable hasta el orden (n+1) en (a δ,a+δ). Si x (a δ,a+δ) entonces: f(x)= f(a)+ f (a) 1! donde con 0< t < 1. (x a)+ f (a) 2! (x a) f(n) (a) (x a) n + R n (x) n! R n (x)= f(n+1) (a+t(x a)) (x a) n+1 (n+1)! R n (x) es llamado resto de Lagrange.

23 Fórmula de McLaurin Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas Con a=0 se obtiene la fórmula de McLaurin: f(x)= f(0)+ f (0) 1! x+ f (0) 2! x f(n) (0) x n + f(n+1) (tx) n! (n+1)! xn+1 El teorema de Taylor asegura que, en general, f puede aproximarse por medio de un polinomio de grado n si f posee derivadas hasta el orden n+1, y además nos proporciona una expresión útil para calcular el error cometido con esta aproximación. Así se obtiene que: f(x) P n (x) y el error que se comete en esta aproximación es R ( x), es decir, que f(x)=p n (x)+r n (x)

24 Desarrollo de McLaurin Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas e x = 1+ x 1! + x2 xn ! n! + xn+1 (n+1)! etx sinx= x 1! x3 3! + x5 5!...+ ( 1)n 1 x 2n 1 + ( 1)n x 2n sin(tx) (2n 1)! (2n)! cosx=1 x2 2! + x4 4! x6 6!...+ ( 1)n x 2n + ( 1)n+1 x 2n+1 sin(tx) (2n)! (2n+1)! ln(1+x)= x 1 x2 2 + x3 3 x4...+( 1)n 1 x n + ( 1)n x n n n+1 (1+tx) n+1 (1+x) m = 1+ m m(m 1) x+ x m(m 1)(m 2)...(m n+1) x n + 1! 2! n! m(m 1)(m 2)...(m n) x n+1 (1+tx) m n 1 (n+1)!

25 Gráficas Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas 1 Dominio 2 Intersección con el eje OX f(x)=0 Intersección con el eje OY y= f(0) 3 Simetrías: f( x)= f(x) f es par f( x)= f(x) f es impar Periodicidad f(x+t)= f(x) 4 Asíntotas: Vertical lim x a f(x)= Horizontal lim x f(x)=b f(x) Oblicua lim( f(x) (mx+n)=0 m= lim x x x n= lim( f(x) mx) x

26 Gráficas Polinomios de Taylor. Aproximación de funciones Teorema de Taylor Desarrollo de McLaurin de algunas funciones Gráficas 1 Continuidad: lim x a f(x)= f(a) 2 Derivada: monotonía y puntos críticos f (x)>0 creciente f (x)<0 decreciente f (x)=0 o f (x) no existe puntos críticos 3 Máximos y mínimos locales: x 0 punto crítico f (x 0 )=0, f (x 0 )>0 mínimo local f (x 0 )=0, f (x 0 )<0 máximo local 4 Concavidad: f (x)<0 convexa f (x)>0 cóncava 5 Puntos de inflexión. La concavidad cambia.