APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA

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1 Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN f es creciente en el punto a si eiste un intervalo centrado en a en el que cumple: f(a) f() f(a) f() f es decreciente en el punto a si eiste un intervalo centrado en a en el que cumple: f(a) f() f(a) f() f tiene un máimo relativo en el punto a si eiste un intervalo centrado en a en el que cumple: f(a) f() f tiene un mínimo relativo en el punto a si eiste un intervalo centrado en a en el que cumple: f(a) f() Es posible que una función sea creciente en un punto y no sea derivable en dicho punto (caso c, derivadas laterales pero distintas), o que presente un mínimo relativo y su derivada no sea nula (como en k, derivadas laterales de signos contrarios, a izquierda < y a derecha >). Pero si una función es derivable en un punto a hay una relación entre la monotonía y el signo de la derivada f (a). 1

2 Matemáticas º Bachillerato Relación del crecimiento-decrecimiento de una función con el valor de su primera derivada f derivable y creciente en f f derivable y decreciente en f en con f en con f f f f f en con a partir del signo de la 1ª deri- Criterio para identificar los intervalos de vada f f en f f en f no puede asegurarse nada, de momento, sobre el comportamiento de f en, pues la función puede ser que sea creciente en, decreciente e incluso que tenga un etremo. Veamos los siguientes ejemplos, consideremos las cuatro funciones siguientes: f f f ( ) ( ) () g g g ( ) ( ) () h h h ( ) ( ) () j j j ( ) ( ) () Observamos que en todas ellas = es un punto que anula a las derivadas, (recta tangente HORIZONTAL), sin embargo,el comportamiento de cada una de ellas en = es muy diferente, según se muestra en las gráficas:

3 Matemáticas º Bachillerato f f f ( ) ( ) () = mínimo relativo g g g ( ) ( ) () = máimo relativo j j j ( ) ( ) () j en = h h h ( ) ( ) () h en = Condición necesaria de etremos relativos (máimos o mínimos) Si f tiene en un máimo o un mínimo f

4 Matemáticas º Bachillerato Criterio para identificar etremos relativos a través del signo de la 1ª derivada Sea un punto crítico, esto es f, entonces: f a su izquierda y f( ) a su derecha es máimo relativo f( ) a su izquierda y f( ) a su derecha es mínimo relativo Identificación de máimos y mínimos relativos con la derivada ª Sea un punto crítico, esto es f Si f f tiene un etremo relativo en entonces si : f f f tiene un mínimo relativo en f tiene un máimo relativo en Nota: Si f f es creciente en, pasa de " " a izquierda de, en es f ( ), " " a derecha de " " a derecha de pasa a luego f cambia de decreciente a creciente minimo relativo Si f f es decreciente en, pasa de " " a izquierda de, en es f ( ), pasa a luego f cambia de creciente a decreciente máimo relativo CURVATURA Cuando la curva queda por encima de la recta tangente se dice que f es convea en. 4

5 Matemáticas º Bachillerato Cuando la curva queda por debajo de la recta tangente se dice que f es cóncava en. Nota: f f Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada f f cóncava en f convea en f cóncava en f es decreciente en f convea en f es creciente en f Criterio para saber el tipo de curvatura a través del signo de la ª derivada f f es cóncava en f f es convea en 5

6 Matemáticas º Bachillerato Condición necesaria de punto de infleión Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de infleión en ese punto. f tiene un punto de infleión en f Identificación de punto de infleión con el signo de la tercera derivada Sea un punto tal que f, entonces: f f tiene un punto de infleión en f Si cóncavo-conveo. f Si conveo-cóncavo. f tiene un punto de infleión en f tiene un punto de infleión en 6

7 Matemáticas º Bachillerato Nota: Si f f es creciente en, pasa de " " a izquierda de, en es f ( ), " " a derecha de infleión " " a derecha de infleión pasa a luego pto de concavo conveo Si f f es decreciente en, pasa de " " a izquierda de, en es f( ), pasa a luego pto de conveo concavo CRITERIO GENERAL Sea f una función indefinidamente derivable en el punto Si la primera derivada que no se anula en el punto es de orden par ( n k) entonces en la función presenta un etremo relativo: 1) )... n n f f f f y f con n k Si f en f tiene un máimo relativo. Si f en f tiene un mínimo relativo. Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto es de orden impar ( nk 1) entonces en la función presenta un punto de infleión: n1) f f... f y f con n k 1 Si f en f tiene un punto de infleión conveo cóncavo. Si f en f tiene un punto de infleión cóncavo conveo. 7

8 Matemáticas º Bachillerato EJERCÍCIO: Hallar el valor de b y m para que la curva y b m 1 tenga A,1 un punto de infleión y la pendiente de la recta tangente valga 1. en Calculamos las derivadas 1ª y ª: y b m 1 y b m y 6 b Entonces: Como en A,1 la recta tan gente tiene pendiente 1 y 1 1 b m m 1 en A,1 presenta un punto de inf leión y b b EJERCÍCIO: La función f a b c 1,1 tiene un punto de derivada nula en A que no es etremo relativo. Calcula a, b y c. Calculamos las derivadas 1ª y ª: f a b c como A f f a b c 1 a b c f a b f 1 a b f 1 a b f 6 a como no es etremo f 1 6 a Resolvemos el sistema : a b c a b c a a b a b b a 6 a a e EJERCÍCIO: Determinar el valor de K que hace que f tenga un único etremo relativo. Se trata de un máimo o un mínimo?. Para qué valores de K es la K función f continua en todos los puntos?. 8 e e K e f f K K e K e Condición necesaria de etremo f K e K e e K K 4 4K Para que sea única la solución 4 4K K 1 e Para K 1 f 1 1 e 1 f f f 1 e K Para que sea continua en todos los puntos f K Veamos K K no eiste si K Luego para que sea continua en todos los puntos tiene que ser K>

9 Matemáticas º Bachillerato EJERCÍCIO: Estudiar los etremos relativos de la función f Dom f R f f f 1 f f 1 calculamos los puntos críticos: f Intervalos, signo de f se tiene que sig f sig, 1 f, 1 f, f Esto es :,,, f f f En 1 presenta un mínimo relativo. EJERCÍCIO: Estudiar los etremos relativos de la función f e Dom f R f e f e f e, f 1, f1 f Esto es :,, Intervalos, signo de : f e signo f signo f f f En presenta un máimo relativo. 9

10 Matemáticas º Bachillerato EJERCÍCIO: Estudiar los etremos relativos de la función f Ln Dom f R 1 f Ln f Ln Ln 1 calculamos los puntos críticos: f Ln 1 e 1, 1 e, f e f 1 1 Esto es :, e e, Intervalos, signo de f Ln 1 signo f signo Ln 1 1 e f f 4 f f En e 1 presenta un mínimo relativo. 1 e EJERCÍCIO: Estudiar los etremos relativos de la función Dom f R 4 e e 4 f f e e e Calculamos los puntos críticos: f Intervalos, signo de f 1 signo f signo e 1, f f 1, f 1 f, f 4 f f 1

11 Matemáticas º Bachillerato 1 1 Esto es:,,, f f f 1 En presenta un mínimo relativo. En presenta un máimo relativo. EJERCÍCIO: Dada la función f Ln buscar un punto de la curva en el que la tangente sea paralela al eje de abcisas. Determinar el punto de infleión. Buscamos un punto, f en el que se cumpla f Dom f f f R Ln f f f 4 Puntos críticos para f : f 4 Signo de la derivada segunda : f signo f signo, f 1 f, f 1 f, f 4 f Condición necesaria de punto de infleión f Esto es :,,, f f f En presenta un punto de infleión 11

12 Matemáticas º Bachillerato CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO-EXTREMOS RELATIVOS. CONVAVIDAD-CONVEXIDAD-PUNTOS DE INFLEXIÓN Sea f una función indefinidamente derivable en el punto Relación del crecimiento de una función con el valor de su derivada f creciente en f f decreciente en f Criterio para identificar los intervalos de a partir del signo de la 1ª derivada f f f en f en f no puede asegurarse nada Condición necesaria de etremos relativos (máimos o mínimos) Si f tiene en un máimo o un mínimo f Criterio para identificar etremos relativos a través del signo de la 1ª derivada Sea un punto crítico, esto es f, entonces: f a su izquierda y f( ) a su derecha es máimo relativo f( ) a su izquierda y f( ) a su derecha es mínimo relativo Identificación de máimos y mínimos relativos con la derivada ª un punto crítico, esto es f f Sea Si f f f tiene un etremo relativo en entonces si : f tiene un mínimo relativo en f tiene un máimo relativo en Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada f cóncava en f f convea en f 1

13 Matemáticas º Bachillerato Criterio para detectar el tipo de curvatura a través del signo de la ª derivada f f f es cóncava en f es convea en f no se asegura nada Condición necesaria de punto de infleión f tiene un punto de infleión en f Identificación de punto de infleión con el signo de la tercera derivada un punto tal que f Si f Sea f CRITERIO GENERAL cóncavo-conveo. f Si conveo-cóncavo., entonces: f tiene un punto de infleión en f tiene un punto de infleión en f tiene un punto de infleión en Sea f una función indefinidamente derivable en el punto Si la primera derivada que no se anula en el punto es de orden par ( n k) entonces en la función presenta un etremo relativo: 1) )... n n f f f f y f con n k Si f en f tiene un máimo relativo. Si f en f tiene un mínimo relativo. Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto es de orden impar ( nk 1) entonces en la función presenta un punto de infleión: n1) f f... f y f con n k 1 Si f en f tiene un punto de infleión conveo cóncavo. Si f en f tiene un punto de infleión cóncavo conveo. 1