Aplicaciones de la derivada

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1 CAPÍTULO 8 Aplicaciones de la derivada 8. Máimos mínimos locales Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un máimo local o un máimo relativo en 0. Máimo local Máimo local f. 0 / f. 0 / D f./ D f./ 0 0 Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en 0. canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I D f./ f. 0 / f. 0 / D f./ Mínimo local Mínimo local 0 0 Si f. 0 / > f./ para cada cerca de 0, entonces el máimo local es estricto. Si f. 0 / < f./ para cada cerca de 0, entonces el mínimo local es estricto. A un máimo a un mínimo local se les llaman valores etremos. Máimo local estricto 0 D f./ Mínimo local estricto Si f es continua en un intervalo que contiene a 0 si f 0 cambia de signo en 0, es decir, si en un intervalo de la forma. ; 0 / f 0 tiene un signo en. 0 ; / el otro, entonces en 0 ha un valor etremo, de hecho: Si f 0 pasa de positiva a negativa, ha un máimo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Si f 0 pasa de negativa a positiva, ha un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Si no cambia de signo la derivada, entonces la función no tiene valor etremo. Ejemplo 8.. La función f./ D j j es continua en R, pero no derivable en D 0.

3 3 8. Máimos mínimos locales 3 H También { { si < 0 f./ D j j D si 0 ) f 0 si < 0./ D si > 0 f./ ) 0 es un mínimo estricto. f 0./ f./ decreciente f./ creciente f 0./ > 0 Mínimo local estricto f 0./ < 0 Por otro lado, es claro que (véase el teorema de Rolle): Si f tiene un valor etremo en 0 es derivable en 0 entonces f 0. 0 / D 0. El recíproco no es verdadero; veamos un contraejemplo: una función f derivable en 0 con f 0. 0 / D 0, pero tal que f no tiene un valor etremo en 0. Ejemplo 8.. Sea f./ D 3. H La derivada de f es f 0./ D 3 ) f 0.0/ D 0; en 0 no ha valor etremo pues f es creciente. Entonces < 0 < ) f. / < f.0/ D 0 < f. /; 0 no es ni máimo ni mínimo local. f./ D 3 f es creciente Pendiente cero, tangente horizontal Punto crítico. Una función f tiene un punto crítico en 0 D f cuando f 0. 0 / no eiste. cuando f 0. 0 / D 0 o bien f. 0 / f. 0 / f 0. 0 / D 0 0 f 0. 0 / D 0 0

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I f. 0 / f. 0 / f 0. 0 / no eiste f 0. 0 / no eiste 0 0 Geométricamente es claro que un punto crítico puede ser, o bien no puede ser, un máimo local o un mínimo local. Para decidir si un punto crítico es un máimo o un mínimo local se cuenta con el siguiente criterio: Criterio de la primera derivada si f tiene en 0 un punto crítico además: Para < 0 para 0 < entonces, f tiene en 0 un f 0./ > 0 f 0./ < 0 máimo local estricto f 0./ < 0 f 0./ > 0 miníno local estricto Ejemplo 8..3 Obtener clasificar los puntos críticos de la función g./ D H Por el ejemplo?? anterior sabemos que g 0./ D 4.4 /. C 4/. Entonces 4 C 4. g 0./ D 0, 4.4 /. C 4/ D 0, 4, D 4, D : Esto implica que la función g tiene dos puntos críticos, uno en D otro en D. Para clasificarlos, utilizamos la información que se tiene en el mismo ejemplo?? sobre crecimiento decrecimiento de g. Esto es, la función g./ D Para f 0 es f es entonces, f tiene < decreciente & D 0 un mínimo local estrictro < < C creciente % D 0 un máimo local estricto < decreciente & 4 C 4 tiene

5 5 8. Máimos mínimos locales 5. un punto minímo local estricto en D,. un punto máimo local estricto en D. El punto mínimo local estricto está en ( P Œ ; g. / D P ; ) 8 D P. ; / : 4 C 4 El punto máimo local estricto está en ( ) 8 QŒ ; f./ D Q ; D Q.; / : 4 C 4 Todo ello sigue concordando, naturalmente, con que g./ es impar. Máimo local estricto Crece Decrece Crece Decrece Mínimo local estricto Ejemplo 8..4 Obtener clasificar los puntos críticos de la función f./ D H f 0./ D D 5. / D 5. C /. /; f 0./ D 0, 5. C /. / D 0 esto se cumple si: D 0 ) D 0 o bien C D 0 ) D D 0 ) D : o bien Esto implica que la función f tiene tres puntos críticos: en D, en D 0 en 3 D. Para clasificarlos, utilizamos la información que se tiene en el ejemplo?? anterior sobre crecimiento

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I decrecimiento de f. Para f 0 es f es entonces, f tiene < C creciente % D 0 un máimo local estricto < < 0 decreciente & D 0 0 ni mínimo, ni máimo 0 < < decreciente & 3 D 0 un mínimo local estricto < C creciente % Máimo local estricto f./ D Decrece 0 Crece 0 Crece Mínimo local estricto f 0./ D El punto máimo local estricto está en P Œ ; f. / D P. ; /. El punto mínimo local estricto está en QŒ; f./ D Q.; /. Todo ello concuerda con que f./ es impar. Ejemplo 8..5 Sea f./ una función cua derivada es f 0./ D C / p 50 C 6 con dominio igual al de su derivada. Determine los intervalos de monotonía de f./ sus puntos etremos. H Para determinar el dominio de f 0 observemos que 50 C 6 > 0, 6 > 50, > 50 6 D 5 3 también que 3 C D 0, D 3, D 3 I entonces, D f D D f 0 D ( ) 5 3 ; 3 ( ) ( ) { } ; C D 3 ; C :

7 7 8. Máimos mínimos locales 7 Por otra parte f 0./ D 0, D. 3 4/ D. C /. 4/ D 0, D ; 0 & 4: Veamos el signo de f 0 en los distintos intervalos, tomando en cuenta que p 50 C 6 > 0 siempre. Signo de Intervalo 3 C C 4 f 0./ f./ es 5 3 < < 3.< < 0 < 4/ C creciente ( ) < < <.< 0 < 4/ C decreciente ( 5 3 < 3 ) < < < 0.< 4/ C C C creciente ( 5 3 < 3 ) < < 0 < < 4 C C C decreciente ( 5 3 < 3 ) < < 0 < 4 < C C C C C creciente Luego f./ tiene los siguientes puntos etremos: en D un máimo local estricto pues f pasa de ser creciente a ser decreciente; en D un mínimo local estricto pues f pasa de ser decreciente a ser creciente; en D 0 un máimo local estricto pues f pasa de ser creciente a ser decreciente en D 4 un mínimo local estricto pues f nuevamente pasa de ser decreciente a ser creciente. 3 Ejemplo 8..6 Dada la siguiente función: f./ D C C f./, los puntos etremos grafique esa función. ; determine los intervalos de monotonía de H Como f./ D C C. /, entonces: f 0./ D. / > 0,. / <,. / >, j j >,, > o bien <, > 3, o bien < : Luego, f es creciente en. ; / en.3; C/ decreciente en.; / en.; 3/ :

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I (Observe que D D f.) Los puntos críticos aparecen cuando f 0./ D. / D 0,. / D,. / D,, j j D, D, D o bien D 3: Como en ( D la función pasa de ser creciente a ser decreciente, en el punto Œ; f./ D ; C C ) D.; / la función tiene un máimo relativo. Y en D 3, un mínimo relativo pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente; El mínimo es f.3/ D 3 C C 3 D 5. También tenemos que lím f./ D que lím f./ D, lím f./ D C.!!! C Además f./ D C C D C C, D 0, D p { C 4 :6 0:6 D son las raíces. D 0, La gráfica es D f./ 5 3 Si f. 0 / f./ para cualquier D f diremos que f. 0 / es el máimo absoluto de la función f. Si f. 0 / f./ para cualquier D f diremos que f. 0 / es el mínimo absoluto de la función f. Ya sabemos que como f W Œa; b! R es continua, eisten el máimo el mínimo absolutos de f. Si f W Œa; b! R es continua derivable en.a; b/, el máimo el mínimo absolutos los toma la función en los etremos del intervalo o bien con el maor de los máimos locales o con el menor de los mínimos locales respectivamente.

9 9 8. Máimos mínimos locales 9 Ejercicios 8.. Soluciones en la página 0 Utilizando el criterio de la primera derivada, determinar los máimos mínimos locales o relativos de las siguientes funciones.. f./ D 4 C 3.. g./ D 3 6 C h./ D 3 C f./ D g./ D. /. 6. h./ D C f./ D g./ D p h./ D 3p 4 4 3p. 0. f./ D 3 C 48. Nótese que estas funciones son las mismas que están en los ejercicios 8::: Esto se hace con el propósito de utilizar la información obtenida, sobre crecimiento decrecimiento, en cada una de las funciones.

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 8.. Máimos mínimos locales, página 9. f tiene un mínimo local A.; /.. g tiene un máimo local A.; /; g tiene un mínimo local B.3; /. 3. h tiene un mínimo en A. ; 5/; h tiene un máimo en B.; 3/. 4. f tiene un mínimo local en P.3; 7/; f no tiene máimos locales. 5. En D un mínimo local; en D 0 un máimo local; en D un mínimo local. 6. h tiene un mínimo local en P.; /. 7. f tiene en P.0; 0/ un máimo local. 8. g tiene en A.0; 3/ un máimo local. 9. h tiene en Q.; 3/ un mínimo local. 0. Máimo local en P. ; 3/; mínimo local en Q.; 3/.