Aplicación de la Derivada

Transcripción

1 Aplicación de la Derivada Etremos locales. Teorema del valor medio

2 Habilidades 1.Define el concepto de etremos locales 2.Define el Teorema del valor etremo. Ilustra su significado geométricamente. 3.Define e interpreta el Teorema de Fermat. 4.Define el teorema de Rolle generaliza al teorema del valor medio. 5.Calcula puntos críticos analizando premisas. 2

3 Ejemplo Ubique los puntos de máimo mínimo absoluto de f : E B G H C F A D 3

4 Valores máimos mínimos Definición Sea D el dominio de f. Se dice que c D es un punto de máimo absoluto de f si f( c) f( ) para todo D. El número f(c) se llama valor máimo absoluto de f en D. Se dice que c D es un punto de mínimo absoluto de f si f( c) f( ) para todo D. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D. Los valores máimo mínimo se conocen genéricamente como valores etremos absolutos de f. 4

5 Ejemplo Ubique los puntos de máimo mínimo local de f : a b c d h k 5

6 Valores máimos mínimos locales Definición Se dice que c es un punto de máimo relativo o local de f si f( c) f( ) para todo en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si f( c) f( ) para todo en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Los valores máimo mínimo locales se conocen genéricamente como valores 6 etremos locales de f.

7 Ejemplo máimo absoluto puntos de mínimo local a c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 c 4 b puntos de máimo absoluto 7

8 Ejemplo Tiene f etremos locales?, tiene etremos absolutos? 1 f( ) = > 0 8

9 Teorema del valor etremo Teorema Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máimo absoluto f (c) un mínimo absoluto f (d) en algunos números c d de [a, b]. Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema? a b a b a b 9

10 Teorema de Fermat Teorema Si f tiene un etremo local en c si f (c) eiste entonces: f '( c) = 0 = f() c 1 c 2 c 3 10

11 m Teorema del valor medio Teorema Sea f: 1 Continua en [a, b]. 2 Derivable en (a, b). Entonces Eiste c (a, b) tal f ( c) = que = f( b) b f( a) a f( b) b f( a) a a c 1 c 2 b 11

12 Teorema de Rolle Teorema Sea f : 1 Continua en [a, b]. 2 Derivable en (a, b). 3 f (a)=f (b). Entonces Eiste c (a, b) tal que f' ( c) = 0 a c 1 c 2 b 12

13 Ejemplos 1. Muestre que 5 es un número critico de la función g( ) = 2 ( 5) 3 pero g no tiene un etremo local en Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los etremos del intervalo. f( ) 3 = ; [ 0,2 ] 13

14 Puntos críticos Definición Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que: Teorema f ( c) = 0 o f ( c)no eiste Si f tiene un etremo local en c entonces c es un punto crítico de f. 14

15 Ejemplo a c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 puntos críticos 15

16 Ejemplo a c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 puntos de etremo 16

17 Ejemplo Encuentre los puntos críticos de la función: f( ) = 3/5 (4 ) 17

18 Etremos absolutos Método del intervalo cerrado Para hallar los etremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>. 2 Halle f(a) f(b). 3 El maor de los valores obtenidos en 1 2 es el máimo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto. 18

19 Ejemplo Encuentre los valores máimo mínimo absolutos de la función: f( ) = 3 + 1, 2 4 Valor máimo absoluto: 17 Se alcanza en =4 Valor mínimo absoluto: -3 Se alcanza en =2 19

20 Ejemplo Encuentre los valores máimo mínimo absolutos de la función: f( ) = 2sen, 0 2π 20

21 Bibliografía Cálculo de una variable Cuarta edición James Stewart Secciones Ejercicios 4.1 pág 284: 4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73,