CÁLCULO DIFERENCIAL. 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

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1 ejerciciosyeamees.com CÁLCULO DIFERENCIAL.- Estudia la cotiuidad de las guietes fucioes: - + f() = ; g()= ; h()= + - ( - )(+) < < 0 i()= e j()= - k()= - > cos 0 = 0 + se l()= m()= = 0 = 0 Sol: f() cotiua e œ-{,-}; g() cotiua e œ-{-,0,}; h() cotiua e œ; i() cotiua e œ-{-}; j() cotiua e œ-{}; k() cotiua e œ; l() cotiua e œ-{}; m() cotiua e œ.- Estudiar la cotiuidad de las guietes fucioes: - a) y = b) y = l [( - ).(+)] c) y =e ; - - d) y = tg - <0 0 e) y = - f) y = ; g) y = - ; h) f()= l - ( -)( - ) - + > Sol: a) cotiua e œ-{-,0,}; b) cotiua e (-4,-) c (,4); c) cotiua e œ; d) cotiua e œ-{ð/6 + kð/}; e) cotiua e œ; f) cotiua e œ-{0,,}; g) cotiua e [-,]; h) cotiua e œ-{}.- Hallar m y para que sea cotiua la fució: se <0 f()= m+ 0 > Sol: m = ; = Probar que la ecuació --=0 tiee por lo meos ua raíz real e el itervalo (,). 5.- a) Comprueba que la fució f()= +- corta al eje de abscisas e algú puto de [0,], b) se puede decir lo mismo de la fució f() = ( -)/(-)? Sol: a) Sí; b) No cumple Bolzao 6.- La fució y = sec() toma valores de distito go e los etremos del itervalo [0,ð] y, embargo, o se aula e él, cotradice esto el teorema de Bolzao? Sol: No

2 ejerciciosyeamees.com 7.- Demuestra que ua fució f() es cotiua e el itervalo [a,b] y eiste u úmero k tal que f(b)<k<f(a) etoces eiste u úmero c0(a,b)/f(c)=k. 8.- Estudia la derivabilidad de las fucioes: + 0 a) f()= b) g() = - c) h() = +5+6 se > 0 Sol: f() derivable e œ; g() derivable e œ-{}; h() derivable e œ-{-,-} 9.- Calcula "a" y "b" para que la fució f sea derivable e todo œ. a + f()= Sol: a = 5/; b = 6 +b - 4 > 0.- Estudia la cotiuidad y derivabilidad de las guietes fucioes: < 0 - a) f()= + 0 b) f()= > 0 se c) h() = - d) y = 4 - e) f()= 0 = 0 Sol: a) f() cotiua y derivable e œ-{}; b) f() cotiua y derivable e œ-{}; c) h() cotiua e œ y derivable e œ-{}; d) f() cotiua e [-,]; derivable e (-,); e) f() cotiua œ y derivable e œ. =.- Comprueba que la ecuació + -- = 0 tiee ua solució e el itervalo [0,] 0.- Estudia la fució Sol: No f()= está acotada e el itervalo [0,4].- Dada la fució f() = ; -, obtégase la derivada eéma de f(). (- )! Sol: f ()= + (+ ) 4.- Dada la fució f()=l(+), >-, obtégase la derivada eéma de f(). + (- ) (- )! Sol: f ()= (+ ) 5.- Ecuetra K, para que la fució f() = - K, tega e =, ua recta tagete que forme u águlo de 45º co el eje de abscisas. Sol: K = 6.- Halla a para que la fució y=a ++ tega e = ua recta tagete que forme u

3 águlo de 45º co el eje de abscisas. Sol: a=-/ ejerciciosyeamees.com 7.- Halla los putos de la fució y = - +, e los cuales la tagete es paralela a la recta y=9+. Sol: -, 8.- Halla la ecuació de las rectas tagetes y ormales a las curvas e los putos que se idica: a) y= (+) - e = ; b) y = - e =0 se() - cos() - c) y = e = d) y =e + l e = se 4 Sol: a) y=-5; +y-5=0; b) y=/ -; y=--; c) y= -ð /; y=-/ +ð/8 ; +e - e d) y = - y = + + e + e e +e 9.- La curva y = a +b+c pasa por el puto P(,5), y es tagete e el puto (0,) a la bisectriz del primer cuadrate. Halla la ecuació de la curva. Sol: y = E qué putos del itervalo (0,5) la tagete a la curva y = arctg() es paralela a la recta -7y=6. Sol: =.- E qué putos de la curva y = - - la recta tagete forma u águlo de 5º co la parte potiva del eje de abscisas?. Sol: = -/,.- Satisface la fució f()=- - las codicioes del teorema de Rolle e el itervalo [-,]? Y la fució? Sol: No, No.- Idicar las fucioes f y g verifica las hipótes del teorema del valor medio (de Lagrage) y, e caso afirmativo, ecotrar los putos itermedios cuya eistecia asegura el teorema: a) f() = -+ e [0,]. b) g() = l e [,e] Sol: a) =; b) =e- 4.- La fució f() = -9+ cumple el teorema de Rolle e el itervalo [0,b]. Cuál es el valor de b? Hallar el puto itermedio cuya eistecia asegura el teorema. Sol: b = ; = 5.- Halla la fórmula para la derivada -éma de las guietes fucioes: a) f() =.e ; b) g() = l(-); c) h() = e - -e Sol: a) f ()= (+ ) e ; b) g (- ) ( - )! - ()= ; c) h ()=(- ) e - e ( - ) 6.- Halla el valor de a para que la fució y= -a+ tega u míimo e =. Sol: a= 7.- Halla a, b, c y d para que la fució f()=a +b +c+d tega u máimo e el puto (0,) y u míimo e (,). Sol: f()=- + +

4 ejerciciosyeamees.com 0.- Halla el valor de a para que la fució y= ++a tega u míimo e =. Sol: a0œ..- Halla b, c y d para que la fució +b +c+d tega u etremo e (,0) y u puto de ifleió e =. Sol: y= Estudia las guietes fucioes cumple las hipótes del teorema del valor medio. E caso afirmativo calcula el puto que dice el teorema que tiee que eistir: a) f() = + e [0,] b) g()= se e 0, Sol: = 5/4; = arcos /ð.- Cumple la fució f() = -4 el teorema de Rolle e el itervalo [,]?. Sol: No 4.- La fució y = cumple el teorema del valor medio e el itervalo [4,6]? Y e el itervalo [-,]?. Sol: Sí, No 5.- Cumple el teorema del valor medio la fució: - < f()= e [,6]? Sol: Sí; = 7/ Comprobar f()= -+ cumple el teorema de Rolle e el itervalo [0,]. Sol: Sí 7.- Comprobar f()= - + cumple el teorema de Rolle e el itervalo [-,]. Sol: o 8.- Comprobar la fució el itervalo [-,]. Sol: o f()= <0 0 cumple el teorema de Bolzao e 9.- Estudia la cotiuidad de las guietes fucioes: - - a) f()= b) g()= - l - c) h() = < - d) i()= - < < e) j()= >0 Sol: a) f() cotiua e œ-{0,}; b) g() cotiua e œ-{0,,}; c) h() cotiua e œ; d) i() cotiua e œ-{}; e) j() cotiua e œ-{-,0} 40.- Estudiar la cotiuidad de las guietes fucioes:

5 ejerciciosyeamees.com a) f()= c) h()= cos se - - = - < b) g()= d) i()= - (+ ) ( - ) cos - - <- < 0 = Sol: a) cotiua e œ; b) cotiua e œ-{0,,5}; c) cotiua e œ-{ð/}; d) cotiua e œ 4.- Probar que la ecuació --=0 corta al eje X e el itervalo (,). 4.- Cumple la fució - f()= - el teorema de Bolzao e el itervalo [0,4]. Sol: No 4.- Estudiar la derivabilidad de la fució f()= - +. Sol: derivable e œ-{0} 44.- Hallar a y b para que sea cotiua la fució: a f()= a - b < > Sol: a = ; b = 45.- Estudia la derivabilidad de las fucioes: + a) f()= b) g() = - 4 c) h() = > Sol: a) f() derivable e œ; b) g() derivable e œ-{4}; c) h() derivable e œ-{-,} 46.- Calcula "a" y "b" para que la fució f sea derivable e todo œ. a +b f()= Sol: a = ; b = 0 b+ - > 47.- Estudia la cotiuidad y derivabilidad de las guietes fucioes: - < - - a) f()= b) f()= - > 0 =

6 ejerciciosyeamees.com c) f()= ++ d) f() = 4 - e) f()= + 4 > Sol: a) f() cotiua y derivable e œ-{-,}; b) f() cotiua y derivable e œ-{}; c) f() cotiua e œ y derivable e œ-{-}; d) f() cotiua e [-,]; derivable e (-,); e) f() cotiua œ y derivable e œ-{}. + < 48.- Comprueba que la ecuació -- = 0 tiee ua solució e el itervalo [0,] < 49.- Estudia la fució Sol: No f()= está acotada e el itervalo [,4] 50.- Obtégase la derivada eéma de f(): a) f() = ; - b) f()=l(-) > c) f() = e + + (- )! (- ) ( -)! Sol: f ()= b) f ()= c) f ()= + (+ ) ( - ) a) 5.- Ecuetra K, para que la fució f() = - K +, tega e = por recta tagete y=-+. Sol: K = 5.- Halla los putos de la fució y = - +, e los cuales la tagete es paralela a la recta y=4-0. Sol: -, 5.- Halla la ecuació de las rectas tagetes y ormales a las curvas e los putos que se idica: a) y=arctg() e = b) y=l(+) e =- Sol: a) y=/ +(ð-)/4; y=-++ð/4; b) y=-; y= La curva y = a +b+c pasa por el puto P(,8), y tiee u míimo e =(0,5). Halla la ecuació de la curva. Sol: y = Halla la ecuació de las rectas tagetes a las curvas: a) y=.e e = b) y=se e = ð/4 Sol: a) y=e-e; b) y= - ð/4 + / 56.- E qué putos del itervalo (0,5) la tagete a la curva y = arctg() es paralela a la recta -7y+4=0. Sol: = 57.- E qué putos de la curva y = - la recta tagete forma u águlo de 45º co la parte potiva del eje de abscisas?. Sol: = / 58.- Satisface la fució f()= - las codicioes del teorema de Rolle e el itervalo [-. e

7 ejerciciosyeamees.com,]? Y la fució f()= Sol: No, No < e [-,]? 59.- Idicar las fucioes f y g verifica las hipótes del teorema del valor medio (de Lagrage) y, e caso afirmativo, ecotrar los putos itermedios cuya eistecia asegura el teorema: a) f() = + e [0,]. b) g() = arctg() e [0,ð/4] Sol: a) =/; b) = La fució f() = -+ cumple el teorema de Rolle e el itervalo [,b]. Cuál es el valor de b? Hallar el puto itermedio cuya eistecia asegura el teorema. Sol: b = ; = 6.- Halla la fórmula para la derivada -éma de las guietes fucioes: a) f() =.e ; b) f() = l(+); c) f() = e +e - Sol: a) f () = ( ++ -).e ; b) f c) f ()=e +(-) e - + (- ) (- )! ()= ; (+ ) 6.- Estudia las guietes fucioes cumple el teorema de Rolle e el itervalo que se idica. E caso afirmativo halla el puto e que se aula la derivada: - < a) f()= e [-,] ; b) g() = e [-,] - + Sol: f() Sí, =0; g() No 6.- Calcular la ecuació de la recta tagete a la curva y= - + e su puto de ifleió. Sol: y= Hallar el valor de a para que la fució y= -a+ tega u míimo e =. Sol: a= a0œ 65.- Hallar el valor de a para que la fució y= ++a tega u míimo e =-. Sol: 66.- Hallar a, b, c y d para que la fució f()=a +b +c+d tega u máimo e el puto (0,) y u míimo e (,). Sol: f()= Hallar b, c y d para que la fució +b +c+d tega u etremo e (,0) y u puto de ifleió e =. Sol: f()= - +4