ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL tema 1 24 /05/2012

Transcripción

1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL tema 4 /5/ APELLIDO NOMBRE:... LEGAJO: CORRIGIÓ: REVISÓ: Calificació Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete. No puede utilizar calculadoras programables Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto.- La posició de u móvil que se desplaza por ua carretera recta es ua fució P(t) co derivada de segudo orde cotiua. Se sabe que a las 7 pasó por delate de ua estació de servicio situada e el Km. 4, a las 8 pasó por delate de u parador situado e el Km., y a las se ecotró uevamete e el Km. 4. Determie si las siguietes afirmacioes so verdaderas o falsas. Justifique sus respuestas co argumetos matemáticos idicado las propiedades y /o teoremas que utiliza. a) E algú mometo etre las 7 y las 8 el móvil pasó por u puto de la carretera situado e el Km.. b) E algú mometo etre las 7 y las su velocidad fue ula..- Estudie si las siguietes itegrales eiste y e caso afirmativo calcule su valor. 4 a) d ( + 4 ) b) d ( + 4 ).- U recipiete de base rectagular si tapa y laterales rectagulares debe teer u volume de 6m. El largo de su base debe ser el doble de su acho. El material para la base cuesta $ por metro cuadrado. El material para los costados, cuesta $ por metro cuadrado. Cuáles so las dimesioes del recipiete más barato? Cuál es el costo más bajo? 4.- a) Pruebe que la fució ( ) = ( t ) G f( t) dt, tiee u máimo local e el orige si el poliomio de Taylor de primer orde para = de f es p ( ) = 5 +. b) Ecuetre el área de la regió acotada limitada por la curva + y =, y los ejes coordeados. 5.- Ecotrar los valores de para los que la serie = + ( + ) coverge.

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL 6/7/ APELLIDO NOMBRE:... N LEGAJO:... CORRIGIÓ:... REVISÓ: NOTA ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a) La serie + = ( ) es codicioalmete covergete b) La curva que pasa por P (;) y satisface la ecuació ( 7 + ) y = + y y = + es ) Halle el poliomio de Mac Lauri de tercer orde de = u F( ) e cosug( u + ) du sabiedo que la fució y = g() es cotiua e todo el campo real y el poliomio de Taylor de la fució g e es ( ) ( ) = P ( ) = + ( + ) ( + ) ( + ) ) Sea la serie de potecias , determie el radio y el itervalo de covergecia. Aalice la covergecia e los etremos y justifique. 4) Dada la fució 4 si h ( ) = b, si > a) Determie el valor de b R para que h sea cotiua e todo su domiio. b) Aalice la derivabilidad de h e = para el valor de b hallado. 5) Dada la fució l f( ) = determie los itervalos de crecimieto y cocavidad.

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Eame Fial -8- APELLIDO Y NOMBRE. Legajo: CORRIGIÓ: REVISÓ: 4 5 calificació Codició míima de aprobació: 5% del eame resuelto correctamete No utilizar tablas de derivadas e itegrales,i calculadoras programables Ejercicio : Hallar el valor de verdad de las siguietes proposicioes justificado su respuesta: a) La recta tagete a la curva defiida implícitamete por. y e y = e el puto ( ;) co > tiee pediete m = b) 4 d es covergete ( ) Ejercicio :Dada f : R { } R, f( ) = e si < + b si a) Determiar b R tal que f sea cotiua e =. b) Calcular f () Ejercicio :Sea la serie de potecias = ( ) ( ) ( + 4) a)hallar itervalo de covergecia b) Si la serie dada es la serie de Taylor asociada a la fució f() alrededor de =, () determiar el valor de f () : R, y = f( ) = + a) Hallar los putos la gráfica de f () más cercaos al orige del sistema de coordeadas b) Co argumetos teóricos justificar la eistecia de ua distacia máima y míima etre la gráfica de f () y el orige del sistema de coordeadas si se ; 5. Ecotrar dichos valores Ejercicio 4: Sea f R { } restrige la fució al itervalo [ ] Ejercicio 5: Sea f ( ) = l( ) y sea D la regió limitada por: la gráfica de f, la recta ormal a la gráfica de f e el puto ( ; ) y la recta de ecuació = 4 a) Dibujar la regió D y platear el cálculo del área de D b) Calcular el área

4 UTN FRBA Fial Aálisis Matemático I miércoles -- Apellido y ombres del alumo:...tema Corrigió:.. Revisó:... La codició para aprobar este parcial es teer bie resuelto el 5 % del parcial 4 5 Calificació fial IMPORTANTE: usted debe presetar e las hojas que etrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ ) Determie el área de la regió fiita limitada por, Grafique el área calculada. ) Ua cetral eléctrica está ubicada e la orilla de u río rectilíeo, de 4 m de acho. E la orilla opuesta está situada ua fábrica, 8 m río arriba del puto A que está directamete efrete de la cetral eléctrica. Cuál es el trazado más ecoómico para teder u cable que coecte la cetral eléctrica co la fábrica, si el costo del cable sumergido es el triple que el costo del cable por tierra? Dibuje u esquema del problema, obtega la fució que epresa el costo del tedido del cable, idique el domiio de tal fució de acuerdo a las codicioes del problema, y obtega el trazado para que el costo sea míimo. ) Justifique si las siguietes afirmacioes so V o F: a) tiee máimo y míimo absolutos e el Nota: Se pide justificar la eistecia o o de etremos absolutos, o la obteció de tales etremos. b) La fució o tiee asítota horizotal 4) a) Sea Determie el valor de tal que el área bajo la curva sea. b) Halle las curvas tales que su pediete e cada puto es el doble que la pediete de la recta que ue este puto co el orige de coordeadas. Grafique de las curvas obteidas la que pasa por el puto 5) La serie de McLauri de la fució es: a) Halle el itervalo e que la serie coverge a, idicado si es abierto o (9) cerrado. b) Halle f ()

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Eame Fial - 4// APELLIDO NOMBRE: NOTA Corrigió:.. Revisó:. LEA DETENIDAMENTE No se cotestará pregutas sobre los euciados porque su iterpretació es parte importate del eame. Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. NO puede utilizar tablas i calculadoras programables. El eame debe ser escrito co tita. MANTENGA SU TELÉFONO CELULAR APAGADO DURANTE TODO EL EXAMEN. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a) El área ecerrada por la gráfica de f( ) = y sus asítotas es u úmero racioal. b) Etre todos los rectágulos de diagoal d coocida, el de mayor área es el cuadrado. ) Se deja caer ua pelota desde ua altura de cm. Cada vez que golpea el piso rebota a de su altura aterior. Determie la distacia total recorrida por la pelota hasta que se detiee. ) Sea f, cotiua e R, que satisface la ecuació: 6 8 ( ) = + ( ) f t dt a t f t dt 8 9 a) Determie la fució f b) Calcule la costate a. 4) La agecia de forestació de u país a partir de sus estadísticas elaboró sedos modelos m matemáticos que describe, e, el cosumo de leña y el crecimieto de uevos árboles, año,t resultado para el cosumo de leña f( t) = 8e y para el crecimieto de árboles,9t = 5 4e. Calcule el área ecerrada etre las curvas para g( t) resultado obteido. 4 5) La serie coverge a la fució f ) = l( + ) t e iterprete el ( e u itervalo que debe determiar. A partir de este resultado obtega el desarrollo e serie de Maclauri de y su itervalo de covergecia, idicado la propiedad utilizada. g ( ) = +

6 EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I - de diciembre de 4 5 CALIFICACIÓN a b a b a b Todas sus respuestas debe estar debidamete justificadas. No puede utilizar calculadoras programables i tablas. Apague su celular durate todo el eame. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. l a) Si G() es ua primitiva de g( ) = ( + ), etoces g( t) dt = G() G( ) b) La gráfica de la fució defiida por h( ) =. e o posee etremos globales ) Sea la fució g( ) = e f(lt) dt a) Pruebe que g() = - sabiedo que l u f( u). edu = b) Halle el poliomio de Taylor de segudo grado asociado a g() e potecias de (-), a partir del resultado del puto a) y sabiedo que el poliomio de segudo grado de Mc Lauri asociado a f es P ( ) = 4 +. ) Halle, si eiste, ua fució positiva y derivable y = f(), co > e y() = /e, que verifique f( t) dt = y t 4) a) Determie el itervalo de covergecia de la serie. b) Utilizado el resultado aterior, halle: 5) Calcule el área de la regió plaa limitada por la recta tagete a la gráfica de l y = por el puto = e, y la gráfica de la fució defiida por g( ) = 8 e. Esboce el gráfico de la regió plateada.

7 ANÁLISIS MATEMATICO I - EXAMEN FINAL - 8// APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:... REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Nota Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para que pueda cosiderarse. Duració : horas Codició míima de aprobació: 5% de eame correctamete resuelto. k a) Sea f : R R/ f( ) = ( a + ) e halle los valores de las costates reales a y k sabiedo que = es raíz de la fució y que la recta y = 5 + es tagete al gráfico de f e la ordeada al orige. + b) Aalice si la itegral: e d es, o o, covergete. ) Dada ( ) A = 5, ; B =, y C =, f( ) co 5 < < ; se pide hallar el valor de, tal que el área del triagulo ABC resulte máima. f =, cosidere los putos ( ) ( ) ( ) ) Halle la fució real derivable f (), co derivada cotiua; sabiedo que: t 9 f ( ) =, y para todo se cumple que l 7 + f dt = + 6 4) Determie el itervalo de covergecia de la serie de potecias: ( ) ( ) = + + ( ) 5) Halle el valor real de a, co <a <, tal que el área limitada por las gráficas de: y =, y = e y = a, sea A =l.

8 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL 9// APELLIDO NOMBRE:... N LEGAJO:... CORRIGIÓ:... REVISÓ: NOTA Todas sus respuestas debe estar debidamete justificadas. No puede utilizar calculadoras programables. Apague su celular durate todo el eame. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a) Sea { a } R ua sucesió de úmeros reales tal que < ( + ) < + etoces Lím a = + b) R: f( ) g( ) Límf( ) Límg( ) a a a, > 5 a) Obtega el desarrollo de Mac Lauri de covergecia. f = k ( ) e e idique su itervalo de b) A partir del desarrollo obteido y usado las propiedades de las series de potecias ( ) = h e + obtega el desarrollo de Mac Lauri para ( ) + ) Halle el puto de la gráfica de la curva y = e el que la tagete tiee la mayor + pediete posible. Justifique coveietemete. 4) Dada la fució a) Determie el valor de f( ) = si si k, > k + k R para que f sea cotiua e R. b) Aalice la derivabilidad de f e = para el valor de k hallado. 5a) La siguiete afirmació es verdadera o falsa: + + d = d d ( ) ( ) ( ) 5b) Halle el área limitada por la curva y = y el eje de abscisas. + ( )

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO I 6// APELLIDO Y NOMBRE Nº DE LEGAJO Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 NOTA CORRIGIÓ REVISÓ No utilizar calculadoras programables i tabla de itegrales. Codició de aprobació el 5% del eame correctamete resuelto l( + ) si > Ejercicio : Sea f : R R defiida por f ( ) = 7 + a si a) Hallar a R tal que f() sea cotiua e = b) Aalizar, utilizado la defiició, la derivabilidad de f () e = para el valor de a hallado. Ejercicio : Hallar a > de maera que el área de la regió ecerrada por la recta de ecuació y = a y las curvas y = + e y = sea igual a /. Hacer u gráfico de la regió para el valor de a hallado. Ejercicio : Adrea realiza u régime de comidas para adelgazar. Ha podido establecer que la catidad de kilos que adelgaza está e fució del tiempo t 4e durate el cual hace el régime segú la siguiete fórmulaf ( t) = 6 t e + 4 t a) Probar que cuato más tiempo persiste, más adelgaza b) Probar que auque uca deje el régime o podrá adelgazar 8 kilos. Ejercicio 4: La serie ( + 4) coverge a S() e u cierto itervalo. =.8 a) Determiar el itervalo de covergecia, aalizado la covergecia e los etremos del mismo. b) Utilizar el desarrollo aterior para aproimar S(,99) co u poliomio de grado 6. Ejercicio 5: Sea la fució defiida por G ( ) = e t dt co > a) Calcular G (). b) Determiar, si eiste, los putos de ifleió de G ()

10 UTN FRBA Fial Aálisis Matemático I 5-- Apellido y ombres del alumo:...tema Corrigió:.. Revisó:... La codició para aprobar este eame es teer bie resuelto el 5 % del parcial 4 5 Calificació fial IMPORTANTE: usted debe presetar e las hojas que etrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ ) Halle el triágulo de área máima que puede iscribirse e el recito limitado por y el eje de abscisas de modo que el vértice del triágulo es el puto y el lado opuesto es paralelo al eje. Cuál es el valor del área máima? Grafique. Justifique que es el máimo. ) Sea a) Aalice crecimieto y etremos absolutos e el itervalo Grafique la fució e el itervalo utilizado los resultados obteidos. b) El gráfico de la fució tiee putos de ifleió e el? Justifique su respuesta si hallarlos. Sugerecia: utilice coveietemete el teorema de Bolzao ) U móvil se desplaza de izquierda a derecha sobre la curva E qué puto debe abadoar la trayectoria origial y seguir por la tagete a ésta para alcazar el puto. Grafique la trayectoria del móvil desde el puto iicial hasta el puto fial 4) Aalice si la afirmació siguiete es verdadera (V) o falsa (F). Justifique la respuesta: si es F, alcaza co que de u cotraejemplo; si es V proporcioe u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce. + e d es covergete. 5) Calcule el área de la regió plaa limitada por las curvas y la recta ormal a la gráfica de e el puto (,). Grafique el área calculada. Nota: cosidere el recito al cual perteece el orige de coordeadas.