CÁLCULO INTEGRAL APUNTES SERIES

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1 UN I V E R S I D A D MA Y O R FA C U LT A D DE IN G E N I E R Í A SE G U N D O SE M E S T R E 0 CÁLCULO INTEGRAL AUNTES SERIES CRITERIOS. Criterio del -ésimo térmio para la divergecia Si la serie a coverge, etoces! a = 0: Si a 6= 0 o o existe, etoces a diverge.!. Criterio de la suma acotada Ua serie a de térmios o egativos coverge sí y solo sí sus sumas parciales esta acotadas por arriba.. Criterio de la Itegral Sea f ua fució cotiua, positiva o creciete e el itervalo [; [ y supoga que a k = f (k) para todo etero k: Etoces a coverge sí y solo sí R f (x) dx coverge.. Criterio Serie p p > coverge p p diverge 5. r coverge si < r < 6. Criterio de comparació ordiaria Supoga que 0 a b, N i) Si b coverge, tambié a coverge. ii) Si a diverge, tambié b diverge.

2 7. Criterio de comparació al límite a Supoga que a 0; b > 0 y que! b = L; etoces jutas. i) Si 0 < L < ; etoces a y b coverge o diverge ii) Si L = 0 y b coverge, etoces a coverge 8. Criterio del cociete Sea a ua serie de térmios positivos y supogase que! a + a = p i) Si p < la serie coverge. ii) iii) a Si p > o +! a = ; la serie diverge. Si p = el criterio o es cocluyete. 9. Criterio de la raíz Si a > 0 y! (a ) = R; etoces i) Si R < la serie coverge ii) Si R > la serie diverge 0. Criterio de la serie alterate serie coverge. Sea a a + a a ::::::::: Ua serie alterate co a > a + > 0: Si. Criterio de la covergecia absoluta Si ju j coverge, etoces u coverge. a = 0; etoces la!

3 . Criterio del cociete absoluto Sea u ua serie de térmios o ulos y supoga que = p u+! u i) Si p < la serie coverge absolutamete. ii) iii) a Si p > o +! a = ; la serie diverge. Si p = el criterio o es cocluyete.. Codicioalmete covergete Si u coverge y ju j diverge, etoces la serie coverge codicioalmete.

4 EJERCICIOS. Idique si la serie coverge o diverge. Si coverge, determie su suma. a) h k i + k 5 k=0 (R : 6 ) b) k= 9 8 k c) k= k 5 k+ d) e) f) g) k= k= k= k=6 (k+)k R : (k+) k k+ R : 7 k (R : ) k 5. Escriba el decimal como ua serie i ita; luego determie la suma de la serie y, por último, use el decimal para escribir el decimal como el cociete de dos eteros. a) 0; ::::::: b) 0; :::::::: c) 0; :::::::. Tres persoas A, B y C divide u premio como sigue. rimero lo divide e cuartos, tomado cada uo ua parte. Luego divide el cuarto restate e cuartos, tomado ua parte cada uo y así sucesivamete. Demuestre que cada uo recibe ua tercera parte del premio.

5 . Aalice la covergecia de la siguiete serie X = l () l (l ()) 5. Use cualquiera de los criterios, para decidir acerca de la covergecia o divergecia de la serie. Justi que su coclusió idicado criterio. a) b) c) d) e) f) k= k= k= k= k + k +5 k e k p k+ 000 k(l(k)) k e k k= p + (R : Coverge) (R : Coverge) (R : Coverge) (R : Coverge) (R : Coverge) g) h) i) 8! (R : Coverge) (R : Coverge) k= k +k k! (R : Coverge) j) + p (R : Coverge) k) l() (R : Coverge) l) m) +cos() ()! (R : Coverge) (R : Coverge) 5

6 ) o) = l = l() p) + (R : Coverge) q) ( ) + 5 : (R : Coverge) r) ( ) + 0+ s) ( ) + (+ p ) (R : Coverge) t) u) ( ) + (R : coverge) ( ) + v) w) ( ) si() p ( ) + (R : Coverge) 6. ara qué valores de p la siguiete serie coverge? X = (l ()) p (R : p > ) 7. Idique si la siguiete serie coverge o diverge ::::::::! 8. Demuestre que! = 0; aalizado la serie! : 9. Aalice la covergecia o devergecia de : p p + + p p + + p p ::: + 6

7 0. Calcule la suma de: X =0 ( ) 7 R : Calcule la suma de : X ( + ) + (R : ). Aalice covergecia y divergecia de la serie segú p R f0g : X p!. Si la serie a es covergete. Demuestre que la serie (a + b ) es divergete, siedo b = a + : 7

8 Series resueltas. Estudie la covergecia de las siguietes series a) ( ) 9 ( ) 9 Criterio de la Raíz q! 9 9 q!! Como < la serie Así ( ) 9 coverge. or lo tato tato ( p ) = 9 9 coverge.! q ( ) 9 Coverge Absolutamete. b) p p +! or lo tato p p +! + p p p + Diverge. = 6= 0 c) si (x) + Como si (x) + + coverge serie p > 8

9 or lo tato si (x) + Coverge. d) Comparació al ite Sea b = ( covergete )! or lo tato! = Coverge. e)! 000 Criterio del cociete! or lo tato (+)! 000 ()! + 000!! 000 Diverge! (+)! ()! = f) e Criterio de la raíz p e! or lo tato e Coverge. e!! = e =! e e 9

10 g)! Criterio del cociete (+)! (+)!! (+)!! (+)!! (+) = 0 or lo tato! Coverge. h) ++ Criterio Comparació al ite Sea b = ( divergete )! ++! ++! + + = or lo tato ++ Diverge. i) ( ) Criterio covergecia absoluta a+! a (+)! (+) = = +! = or lo tato (+)!! + ( ) Coverge Absolutamete. = j) si si! =! si( ) = 0

11 or lo tato si Diverge. k) 5 + Criterio Comparació al ite Sea b = ( Covergete )! 5 +! 5 +! = or lo tato 5 + Coverge. l) p + Criterio de Comparació ordiaria Se tiee que + p + Se aalizará + Criterio comparació al ite Sea b = ( Divergete )! Así +! + Diverge + = m) or lo tato e e + p + Diverge.

12 e! e + Obs:!! e e e + e = 0 (L`H) =! + e or lo tato e e + Diverge. ) +! Criterio del Cociete + ++! (+)! +! + ++!! (+)!!! (+ + (+)( ) ) = 0!! + ++ (+)( +) + + (+)(+ ) Obs: Obs:!! x = 0(L`H) x = 0 (L`H) o) or lo tato + +! Coverge p) Criterio de la raíz. r! +! or lo tato + Coverge. +cos() + = Criterio de Comparació Ordiario

13 Se tiee que 0 < +cos() 5 Luego or lo tato 5 = 5 ; Coverge, serie p +cos() Coverge. q) = p l () Criterio de la Itegral Sea f (x) = p x ; x :Así f (x) es positiva y cotiua. x l (x) f0 (x) = x l x x l x < 0 ( decreciete ) Así f satisface las codicioes del criterio de la itegral. Como R xdx diverge x! p x x l (x) x x! x! p x l (x) p x 8 = x! p x 6 l (x) x! p x l(x) Asi R p x dx Diverge x l (x) r) or lo tato = ( ) + + p l () Diverge. Criterio de la serie alterate = 6= 0! + + or lo tato ( ) + + Diverge.

14 . Aalice la covergecia de la serie a coverge. Como Así! a +5 a +0 a coverge se tiee que! a = 0 a +5 a +0 = or lo tato a +5 a +0 Diverge.. Si fa g N es covergete a y fa + a g = b + : Demuestre que la serie b diverge. b + a + a = 0 etoces!! b =! or lo tato b Diverge.. Demuestre que para todo úmero real p, la serie Criterio del Cociete se se sabe que la serie e p! coverge. e p(+)! (+)! ep e! p(+)! e! (+)! e p p! (+) = 0 or lo tato 5. Demuestre que si e p! Coverge para todo úmero real p: a diverge, tambié ca diverge, c 6= 0:

15 Supogamos que ca coverge. Así a = c ca Coverge. Cotradicció. or lo tato ca Diverge. 6. ara qué valores de p la serie Criterio de la Itegral = (l()) p coverge? Sea f (x) = p x(l(x)) ; x :Así f (x) es positiva y cotiua. R x(l(x)) p dx Sea u = l (x) du = x dx Etoces R l() u p or lo tato p > para que 7. Demuestre que k= = (l()) p l k = l () la serie coverga. k= l k! k=! k=! k=! k=! l k! k= l k k l k l k l (k ) (k + ) l k! k= l (k ) + l (k + ) l (k) l (k) (l (k ) l (k)) + (l (k + ) l (k))! = l () l () = l () k= ((l () l ()) + (l ( + ) l ())) + l l () l +! l () 5

16 8. Compruebe que la siguiete serie de la itegral. Sea f (x) = k= k k + diverge usado el criterio x x + ; x :Así f (x) es positiva y cotiua. f0 (x) = x + (x +) < 0 ( decreciete ) Así f satisface las codicioes del criterio de la itegral. R x x + dx b! R b b! x x +dx b! l x + b l (7) = l b + Como R k= x x +dx Diverge k k + Diverge. 9. Determie la suma de la siguiete serie ( + )( ) ( + )( ) = A + + B ) A = ) B = ( + )( ) = S = = =! + = + 0. Sume si es posible la siguiete serie =0 6

17 =0 = =0 =0 Ambas so series geométricas, luego: = =0 = = = = or lo tato =0 = =. Estudie el caracter de la siguiete serie: (+) (+) = = = +(+) + (+) + (+) + (+) + + La primera de estas series es telescópica, así (+) + (+) + = m m! + = m! m+ = La seguda serie es geométrica, así = = 6 = or lo tato (+) = + 6 =. Sabiedo que a > 0 y (a ) +a a es covergete, aalizar la serie Se tiee que 0 (a) +a a a = a 7

18 Como a es covergete, etoces. Determie el valor al cual coverge la serie (a ) +a coverge. (+) (+) m m! (+) m m! m m! m! m m+ + =. Demuestre que la serie! +! +! + coverge y calcule su calor. El térmio geeral de la serie es Criterio del cociete k (k+)! ; así la serie es k= k (k+)!! + (+)! (+)!!! = 0 < + (+)! (+) + (+)! or lo tato k= k (k+)! coverge. ara calcular su valor, calculemos la suma parcial S = Así k= = k= = k= S =! k (k+)! k+ (k+)! k! = (+)! (k+)! 8

19 or lo tato k= k (k+)! = 5. Se arroja ua pelota desde ua altura de 00 metros. Cada vez que golpea el suelo, rebota hasta de su altura aterior. Calcule la distacia total que recorre hasta llegar al reposo. S = = = k= k = = or lo tato recorre 500 metros. + 9