8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS
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- Cristián Rey Pinto
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1 ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS SUCESIÓN MONÓTONA Y EL NÚMERO e EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS SERIES NUMÉRICAS SERIE GEOMÉTRICA CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de Comparació Criterio de Comparació por límite Criterio de la raíz de Cauchy Criterio de la razó de D Alambert Criterio de la Itegral Criterio de Leibitz, para series alterates EJERCICIOS PROPUESTOS
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3 CAPÍTULO 8 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS U cojuto ordeado de úmeros se llama ua sucesió, es decir, si afirmamos que u cojuto de úmeros está e sucesió, es que e dicho cojuto existe u primer elemeto, u segudo elemeto y así sucesivamete. Formalmete, ua sucesió de úmeros reales es ua fució deotada a que asiga a cada úmero atural, u úmero real. Defiició 8... Se llama sucesió real o sucesió umérica a la fució a : D N R tal que a). Observació 8... a) La image a) se deota por a y decimos que es el -ésimo térmio. b) Podemos deotar la sucesió a por a ) N dode a es el térmio geeral o térmio -ésimo de la sucesió. c) Otra forma de presetar ua sucesió es mediate ua ley de recurrecia, dode cada térmio, excepto el primero, se expresa e fució de térmios ateriores. Ejemplo 8... ). La sucesió + tiee como térmio geeral a a = N primeros térmios so a =, a = 3, a 3 = de dode los tres,.... Observe que los térmios so decrecietes e ituitivamete, podemos postular que la sucesió tiede a. 6
4 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA. Sea a ) N ua sucesió tal que a = y a = a, >. E esta sucesió, defiida recursivamete o por recurrecia teemos a =, a =, a 3 =,... Podría iteresaros determiar el -ésimo térmio de la sucesió, el cual sea idepediete del coocimieto del térmio aterior; co u poco de álgebra básica y el uso de las seccioes ateriores podemos realizarlo; teemos, a =, a = +, a 3 = + + 3,..., a = La expresió es la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica co primer elemeto a = y razó r = ; esta suma es S = ) ) =, así, el térmio geeral de la sucesió es a = ). Si crece idefiidamete, existe algú úmero real al cual se aproxime a?. 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE Defiició 8... La sucesió a ) N tiee límite L R cuado crece idefiidamete si y sólo si ε > 0 0 N tal que > 0 se cumple a L < ε. Observació Deotamos lím a = L o abreviadamete a L.. Si la sucesió a ) N tiee límite decimos que la sucesió es covergete, e caso cotrario la sucesió es divergete. Ejemplo 8... Demuestre que lím = 0. Solució. Debemos demostrar que para todo ε > 0 existe 0 N tal que > 0 se cumple 0 < ε. Como > 0 etoces = de dode, a partir de < ε cocluimos que > ε. Tal 0 es cualquier atural mayor que ε. Ejemplo 8... Demuestre que lím p q Solució. Seaε > 0 y cosideremos el real ) q = 0, p, q Z +. tal que 0 > ε ε > 0 dado, existe 0 N tal que si > 0 cocluimos que Esto último dice que lím ε ) q p p. Sea N, > 0 etoces > ε p q = 0. etoces, por Arquímedes existe 0 N ) q p, obteemos ε > ) p q < ε. ) p q ; así, para
5 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 63 Teorema 8... Si ua sucesió es covergete, su límite es úico. Demostració. Supogamos que lím a = L y lím a = L. La demostració la realizaremos por reducció al absurdo, para ello supogamos que L L. Como lím a = L y lím a = L etoces para ε = L L > 0 existiría N, N N tal que a L < ε, N y a L < ε, N. Si cosideramos N = máx {N, N } etoces lasdos últimas afirmacioes se cumple cojutamete y teemos ε = L L = L a + a L a L + a L ) < ε + ε = ε esto último es ua cotradicció, de dode, el límite es úico. Defiició 8... Decimos que la sucesió a ) N es ua sucesió acotada si existe M R tal que a M, N. Teorema 8... Si a ) N es ua sucesió covergete etoces es acotada. Demostració. Supogamos que lím a = L etoces, dado ε > 0 existe 0 tal que a L < ε, > 0. Como a L a L < ε etoces a < ε + L = M. Por otro lado, existe M = máx { a, a,..., a }, así, si tomamos M > máx {M, M } se cumple que a < M para todo. Ejemplo ) N es acotada ya que existe M = R tal que <, N.. ) N o es acotada ya que o existe M N tal que < M TEOREMAS Y EJEMPLOS Teorema Del acotamieto) Cosidere las sucesioes a ) N, b ) N, c ) N tal que a c b, > 0 y además que lím a b = L, etoces lím c = L. Demostració. Si lím a = L etoces existe N tal que a L < ε,, es decir L ε < a < L + ε. Si lím b = L etoces existe N tal que b L < ε,, es decir L ε < b < L + ε. Como a c b, > 0 etoces tomado N > máx {,, 0 } se cumple que L ε < a c b < L + ε, N, esto último idica que lím c = L.
6 64 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA se) Ejemplo Demuestre que lím = 0. Solució. Como se cumple se), N, etoces se), las expresioes que acota a se) coverge a cero, etoces por el teorema del acotamieto se) obteemos lím = 0. ) Ejemplo Demuestre que lím + = 0. Solució. Como + = +) + +) + + = + + etoces ) lím Por otro lado, podemos acotar a = + + como sigue, de dode, como lím lím + ) = 0. Observació = 0 etoces, por el Teorema del Acotamieto cocluimos que. Nuestro pricipal iterés o es de verificar el límite usado la defiició, sio que el de determiarlo; para ello ecesitamos algo más de teoría.. Aceptamos la siguiete afirmació. Sea a ) N ua sucesió y f) = a ; si la fució real f tiee image fx) defiida para x R, x > y si lím x fx) = L etoces lím a = L. Es imediato que el siguiete Teorema o ecesita de demostració, coforme sea coocidos e el Cálculo. Teorema Si lím a = L y lím b = M, etoces a) lím a + b ) = L + M. b) lím a b = LM. c) lím a = L, R. d) lím =, R. a e) lím = L b M, M 0. f) Si a 0 etoces lím a 0. g) Si a b etoces lím a lím b.
7 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 65 ). h) lím a ) a i) lím a = sqrt lím a. j) lím la ) = l ) lím a. Ejemplo Sea a ) N ua sucesió tal que a = 3+ etoces lím a = 3. 3 Ejemplo Calcule lím 3 + ) ) + ). Solució. Simplificado por 3 obteemos lím ) ) ) + = 6 = 3. Ejemplo Calcule lím + +. Solució. lím =
8 66 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA ) Ejemplo Calcule lím Solució. lím + ) + 3 ) ) =. Ejemplo Calcule lím Solució. + )!. lím + )! = lím =. + ) + )! + + )! ) + )! )! + )! ) + )! )! ) + )! Ejemplo Determie x R {0} tal que lím a + a < dode a = x + ).
9 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 67 Solució. Como etoces a + a = + ) x + )+ x + ) = x + + ) lím a + a x + + ) = x + lím + ) = x + lím + = x + lím + = x +. ) ) Impoiedo la codició teemos lím a + a < x + < x, 0) {} SUCESIÓN MONÓTONA Y EL NÚMERO e Defiició Decimos que a ) N es ua sucesió a) moótoa creciete si y sólo si > a a. b) moótoa decreciete si y sólo si > a a. Teorema Si la sucesió a ) N es creciete y acotada superiormete etoces es covergete. Demostració. Si a ) N es acotada superiormete etoces existe supremo de la sucesió, supogamos que tal supremo es α = supa) dode A = {a / N}. Por la caracterizació del supremo se cumple que ε > 0, a M A tal que α ε < a M α, así, ε > 0, M N tal que si > M etoces α ε < a M a α < α + ε, esta es precisamete la codició para que lím a = α. Teorema La sucesió + ) es covergete. Demostració. Demostraremos que la sucesió es creciete y acotada superiormete.
10 68 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA a) Acotamieto. + ) = + ) ) ) + +! 3! ) = + +! + +! = + + +! ) ) 3! ) ) + +! = + = + + ) ) ) < 3. b) Acotamieto. Demostraremos que a < a +. a = + ) = + ) ) ) + +! 3! ) + +! ) ) Aálogamete teemos a = 3! + ) + + = + + +! ) ) ) ) ) + + )! ) 3!! ) + 3 ) ) Se ota fácilmete que los sumados de a + so mayor o igual que los respectivos sumados que forma a, así, a < a +. Como la sucesió es creciete y acotada superiormete etoces la sucesió es covergete y lím + = e =, )..
11 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 69 ) 3 + Ejemplo Calcule lím. 3 Solució. lím ) + ) 3 [ 3) + ) ] = e EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 8.. Compruebe que lím a =, a R +. Solució. Si a > cosideremos x = a > 0 etoces + x ) = a y además, a = + x ) = + x + )! x + + x + x, así se cumple 0 < x a. Por el Teorema de Acotamieto y como lím a = 0 etoces lím x a ) = 0 de dode lím a =. Si a < sea a = a > etoces lím a =. Si a = la proposició es imediata. Ejercicio 8.. Compruebe que lím =. Solució. Sea x = > 0 etoces así etoces 0 x de dode lím =. = + x ) = + x + ) )! x, x + + x 0 cuado ; etoces lím x ) = 0 Ejercicio 8.3. Compruebe que lím = 0, a >, > 0. a Solució. Si = sea a = + h, h > 0, así, 0 < a = + h) < ) h = )h 0
12 70 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA cuado. Si < etoces 0 < a a 0 cuado. Si > etoces lím ) = 0 ya que a > 0, así etoces a lím a ) a = EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 8.. Calcule usado el Teorema de acotamieto a) lím ). Resp. 0. b) lím 3 Resp. 0. c) lím + se). Resp.. ) ) cos) d) lím. Resp cos) e) lím 3. Resp. 0. Ejercicio 8.. Calcule: a) lím [ 3 b) lím Resp.. + [ c) lím ) ]. Resp. 0. ]. Resp [ d) lím + + ]. Resp.. e) lím f) lím g) lím ). Resp Resp. 3. ) +. Resp..
13 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 7 h) lím i) lím. Resp.. + ) [ j) lím! + ] 3! )! ). Resp ) ) lím. Resp.. [ ) l) lím + ]. Resp. +. m) lím ) lím Resp [ ] Resp ) o) lím 3 3. Resp p) lím Resp. 5. a Ejercicio 8.3. Si a ) N es ua sucesió acotada demuestre que lím = 0. a + Ejercicio 8.4. Calcule lím a si a =!. Resp. e. Ejercicio 8.5. Determie x R {0} para que lím a + a < dode a =!x. Resp. x e, e) {0}. Ejercicio 8.6. Calcule a) lím b) lím + ) ) +3 + ) c) lím + 4 ) 3 d) lím 5 + 4
14 7 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 8.7. Sea a ) N tal que a =, a = a, >. Determie lím a. Resp. Ejercicio 8.8. Sea a ) N tal que a =, a + = a +, >. Determie lím a. Resp.. Ejercicio 8.9. Si r < verifique que lím r = SERIES NUMÉRICAS Presetaremos ua aproximació ituitiva del tema, os iteresa decidir si ua serie es o o covergete. Itroducció Ua serie ifiita es ua expresió que tiee la forma a + a a +... A las catidades a, a,..., a,... se les llama térmios de la serie, a a se le llama térmio geeral. E esta secció estudiaremos series cuyos térmios so úmeros reales. Por brevedad usaremos el símbolo para represetar la serie. Las series ifiitas se preseta co frecuecia e matemáticas y sus aplicacioes. Geeralmete el primer térmio represeta ua aproximació iicial a ua determiada catidad de iterés y los térmios siguietes so correccioes sucesivas de esa aproximació, la suma termia cuado se ha alcazado ua exactitud suficiete. No podemos asigar ua suma a la serie ta sólo sumado todos los térmios dispoiedo de u tiempo fiito para ello, al igual que e muchos campos de la matemática procederemos como sigue. Si hacemos que S sea la suma de los primeros térmios de la serie etoces S = a, S = a + a, S 3 = a + a + a 3,..., S = a + a a Los úmeros S, S, S 3,..., S,... forma ua sucesió {S } que se llama sucesió de sumas parciales de la serie. Si la sucesió de las sumas parciales tiee u límite cuado tiede al ifiito etoces, defiimos a este valor límite como la suma de la serie. Defiició Para la serie a = a + a + a a +... se defie la sucesió = {S } de sumas parciales de modo que S = Decimos que la serie a = a + a + a a, =,, 3,... = a = a + a + a a +... coverge y que tiee suma S si = y sólo si la sucesió {S } coverge al límite S, e este caso se escribe caso decimos que la serie diverge. a = S, e otro
15 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 73 Ejemplo Determiar si la serie ) +... = y e tal caso calcular su suma. 3 ) coverge, Solució. Debemos determiar el térmio de la sucesió de sumas parciales de la serie, tal térmio es S = ). Recoocemos la presecia de ua Progresió Geométrica, co primer térmio, razó 3 y + sumados, de dode S = 3 )+, 3 ahora veamos el limite. Como coverge a 3. lím S = 3 lím )+ 3 = 3 =0 = 3, etoces la serie 8.8. SERIE GEOMÉTRICA La Serie Geométrica + r + r r +... = r, r se puede maejar como la serie del ejemplo aterior, teemos S = r = r+, r. Debemos aalizar r =0 varios casos Si r < etoces r + 0 cuado, e cosecuecia lím S = r. Si r > etoces r + es o acotada cuado, etoces {S } diverge. { 0 impar Si r = etoces S = )+ = par Como S oscila etre los dos valores 0 y, la sucesió {S } diverge. Si r = o se aplica la formula de la Progresió Geométrica, si embargo, e este caso cada térmio de la serie tiee valor y etoces S = +, así, la sucesió de sumas parciales {S } diverge. { Resumiedo, la serie geométrica es tal que: r coverge a = r si < r < diverge si r =0 =0 Ejemplo Como ua aplicació de lo aterior, si cosideramos el úmero decimal periódico: x = 0, 3 etoces: S = ) ) 3 00) S = 3 { } 00) ), el parétesis es ua progresió Geométrica.
16 74 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA S = 3 00 { 00 ) 00 }, luego si { } S Así podemos sosteer que 3 3 < 0, 3 < = 3 99 Ejemplo Determiar si coverge la serie Solució. + ) = ) +... Debemos estudiar lím S = ) = Aplicado Fraccioes Parciales y luego la propiedad telescópica teemos S = + ) = de dode lím S + ). ) = ) + + ) ) ) + = + = + =, así la serie coverge a. + Ejemplo Probar la covergecia ecotrado su suma para la serie: ) ) + 3) =0 Solució. { ) + 5 A + ) + 3) = ) + + B }, A =, B = + 3 luego S = + ) ) + 5 { + ) + 3) = ) + + } + 3 =0 ) ) ) +... ± ) + 3 =0 = ± + 3 Como lím S = etoces la serie ) ) + 3) coverge a o tiee suma =0
17 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 75 Ejemplo Calcular la suma de Solució. S = suma telescópica igual a etoces, = =! S = por lo tato la suma de la serie es.! = ) ),!! = )!! lím S =, Observació Desafortuadamete los ejemplos ateriores o so típicos ya que la defiició que hemos estado aplicado para decidir la covergecia de alguas series, e geeral o suele ser de utilidad directa para descubrir si ua serie coverge o diverge, ya que, muchas veces o es posible determiar ua fórmula útil para S. Debemos estudiar alguas propiedades geerales de las series y alguos criterios que os ayude a determiar si ua serie coverge o diverge. Por otro lado, la defiició declara que ua serie coverge a S equivaletemete si la sucesió de sumas parciales coverge a S es decir si lím S = S. Esto implica que: para ε > 0 dada, existe u etero positivo N, que depede de ε, tal que S S < ε siempre que > N; reformulado lo aterior teemos a < ε siempre =+ que > N. Esto dice que la covergecia de ua serie se maifiesta cuado el residuo, después de los primeros térmios es arbitrariamete pequeño, ote que los primeros térmios de la serie o so cosiderados. Teorema Si la serie a es covergete etoces lím a = 0 Demostració. Para grade, a = S S etoces lím a S S ) Si S es suma de la serie a etoces lím S = S, de dode lím a S S ) = S S = 0 Corolario Si e la serie a ocurre que lím a 0 etoces la serie diverge. Observació El empleo pricipal del teorema cosiste e establecer la divergecia de la serie.
18 76 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo Aalizar la covergecia de la serie Solució. Como lím a = + + = 0 etoces la serie Ejemplo Aalizar la covergecia de la serie + diverge. Solució. Por el criterio de la codició ecesaria y como lím a la serie diverge. Ejemplo Determiar si la serie = 0, = coverge o diverge. Solució. La serie propuesta se cooce como la serie armóica. Se puede demostrar que tal serie diverge, para ello se muestra que las sumas parciales se hace o acotadas. Teorema Si las series a y b so covergetes a las sumas S y W respectivamete etoces la combiació lieal su suma es ps + qw ; p, q R Demostració. imediata. pa + qb ) tambié es covergete y Observació No es cierto, e geeral, el reciproco del teorema, la covergecia de la serie pa + qb ) o asegura la covergecia de las series a y b. Por ejemplo, se demostró que la serie y + diverge. ) coverge, y sabemos que las series armóicas + Teorema Si la serie a es de térmios o egativos etoces, ella coverge si y solo si su sucesió {S } es acotada. Demostració. Sabiedo que {S } es moótoa creciete ella coverge si y solo sí es acotada superiormete como se ha observado e el tema de sucesioes. Observació Para el trabajo posterior de aálisis de la covergecia de las series, se hace ecesario coocer alguas por lo que a la serie geométrica, debemos agregar si justificar por el mometo la llamada serie p:
19 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 77 a) a coverge para a < y diverge para a, co a llamada la razó de la serie. b) p, coverge si p > y diverge para p 8.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de Comparació Teorema Si 0 < a b ; etoces a) Si b) Si b es covergete etoces a es divergete etoces Demostració. Sea S = a es covergete. b es divergete. a y W = b las sumas parciales de las dos series. Sabemos que W tiee limite, por ejemplo B, cuado. Necesitamos demostrar que tambié coverge la sucesió {S }. Como a > 0 etoces {S } es moótoa creciete, además 0 < S W < B, de maera que {S } es acotada, por lo tato {S } coverge, de dode, la serie a coverge. La otra parte del teorema es aáloga. Observació Nótese que e este criterio o se cooce la suma de la serie y la aplicació de él supoe de algú modo ua presució de covergecia o divergecia para poder determiar la comparació. Ejemplo Probar la covergecia de u úmero decimal ifiito por comparació co ua serie geométrica. Solució. Si deotamos u decimal ifiito cualesquiera como: si lo escribimos como ua serie: = e, d d d 3...d...; 0 d i 9 Si = e + d 0 + d 0 + d d S = e + d 0 + d 0 + d d 0 S e
20 78 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA S e { progresió geométrica), o sea: ) S a , si, la serie mayorate coverge a a +, luego la 0 sucesió {S } coverge y por ello la serie decimal ifiito coverge. Este resultado icluye como caso particular a u úmero decimal periódico. Ejemplo Discutir la covergecia de + si Solució. Como si + si 3 etoces 0 +si 3. Como la 3 serie mayorate es ua serie p co p > es covergete, por comparació lo será la propuesta. Ejemplo Aalizar por comparació la serie Solució. Sabiedo que: y como la serie tambié por comparació lo hará la propuesta. Ejemplo Estudiar la serie! = +! + 3! +... } diverge como serie p co p =, Solució. Como! crece extremadamete rápido, es razoable creer que la serie coverge. Dado que!... = y como la serie coverge, por ser ua serie geométrica de razó r = <, la uestra tambié coverge. Ejemplo Aalizar la serie [ a, co a = ] Solució. Como presumimos que podría ser divergete y a > etoces a > [ ] [ 3 4] a > mismo pasa co la serie mayor a. 4 y como [ ] + diverge, serie p < ), lo Ejemplo Probar que la serie l + es divergete.
21 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 79 Solució. l = l + ) = l + ) y como la serie armóica diverge, tambié lo hace propuesta, segú el criterio de comparació. + l l Pero l >, y por lo tato la serie Ejemplo Aalizar por comparació la serie cos π ) Solució. Teiedo como referecia la idetidad si α cos α = etoces cos π = π si y como π si < π 4 < π y como la serie p π es covergete, lo será la serie propuesta Criterio de Comparació por límite Teorema Sea las series a y b, ambas de térmios positivos. a Si 0 < lím < etoces las series tiee el mismo comportamieto. b a Demostració. Supogamos que 0 < lím = L < y que coverge. b a Como lím = L etoces para valores grades de, digamos K, teemos a L b b es decir a Lb. La serie Lb = L b coverge por tato tambié coverge la serie a. Observació Para complemetar el criterio aterior se tiee: a a) lím a b b = y b diverge etoces a diverge. E efecto, del hecho que > M y como a > Mb, la coclusió es clara. a b) lím = 0 y b b coverge etoces a coverge. E efecto puesto que a b < ε; > 0 y ε dado, etoces a < εb y la comparació ratifica lo euciado. Ejemplo Aplicado comparació, aalizar la serie b + ).
22 80 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Solució. El uso de este criterio presupoe ua cierta sospecha de su coducta para elegir la serie co la que se va a comparar, e este caso el térmio geeral es muy parecido a de ahí la comparació co la serie divergete b = a lím : b + ) + = R, etoces la + serie propuesta es tambié divergete. Ejemplo Aalizar la serie 3 + Solució. La cercaía co la serie p covergete ambas: lím 3 + ) 3 ) + 3, os lleva a la comparació de 3 =, luego la serie es covergete. Ejemplo Aalizar la serie 3. Solució. La comparació co la que se isiúa es co, geométricamete cover- 3 gete cuya razó es meor que. lím de la observació b) aterior. 3 = 0, luego la serie es covergete e virtud Criterio de la raíz de Cauchy Teorema Para ua serie a de térmios o egativos y lím cumple: a) Si l <, la serie es covergete. a = l se b) Si l >, la serie es divergete. c) Si l =, o hay iformació, pudiedo ser ó covergete ó divergete. Demostració. a) Como 0 < l <, cosideremos el úmero r l, ), por lo que existirá, e el trayecto hacia l, el atural 0, tal que > 0 a < r ó a < r, y como r es ua serie geométrica covergete, la comparació señala que la serie covergete. a es
23 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 8 b) Como 0 < < l, podemos cosiderar el úmero r, l), luego existirá 0 > o a > r a > r, y como la serie r es divergete, la serie a, lo será. Ejemplo Estudie la covergecia de la serie 3 + 5) + 3 ) ) +... Solució. Aplicado el criterio de Cauchy teemos ) lím a + + = <, así, la serie coverge. Ejemplo Determiar la covergecia de la serie ) l Solució. Que el térmio geeral de la serie tega expoete, ivita a aplicar este criterio: lím a = 0, por lo tato la serie coverge. l Criterio de la razó de D Alambert Teorema Para la serie de térmios o egativos a) Si L <, la serie b) Si L >, la serie a es covergete. a es divergete. c) Si L =, o hay iformació. a + a tal que lím a = L Demostració. a) Al igual que e el criterio aterior,si L <,defiimos el úmero r = + L), de modo que existirá 0 N, > 0 a + a a < r, es decir, a < r, co ello podemos establecer que a = Pero como la serie a a a... a 0 + a 0 r r r... r)a 0 = r 0 a 0 a a a 3 a 0 r 0 coverge como ua serie geométrica, la serie meor tambié lo hará. a + b) Si L > y lím > a + > a, es decir la sucesió es creciete de modo a que lím a 0, por lo que la serie es divergete.
24 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo Aalizar la serie 3! Solució. a + lím a )! + ) + 3! = Diverge!. lím 3 + ) + ) + ) 3 + ) = 3 e >, Ejemplo Aalizar la serie: )! ) Solució. Como a = )) ) =!) + )! + )! + + )! + ) lím + 3)!! + ) + 3) =, luego la serie coverge Criterio de la Itegral Teorema Si se tiee ua serie de térmios o egativos a, y ua fució real fx), cotiua y moótoa o creciete e [, ) tal que fx) = a. Etoces la serie a y la itegral fx)dx, ambas coverge ó ambas diverge. Demostració. La direcció que más os importa es el aálisis de covergecia o divergecia de la itegral para deducir el comportamieto de la serie. f) = a > f) = a >... > f) = a >... e el itervalo: < x < + a = f) > fx) > f + ) = a +. Itegrado, a dx > fx)dx > a + dx, a > + fx)dx > a +, ahora sumado e obteemos a > fx)dx > a + S S > fx)dx > S S. Si la itegral coverge, por el segudo miembro de la desigualdad la sucesió es acotada por lo tato covergete y así tambié la serie. Pero si la itegral diverge, el primer miembro establece que la sucesió de sumas parciales o es acotada y por lo tato diverge al igual que la serie.
25 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 83 Ejemplo Probar la divergecia de la serie armóica Solució. La fució cotiua y decreciete que se idetifica co el térmio geeral de la serie será fx) = x por lo tato dx b x dx b x l b l ) =, luego la b itegral diverge y por lo tato la serie armóica. Ejemplo Aalizar serie p: p + p + 3 p p = p, p > 0 Solució. Si cosideramos la fució real cotiua y decreciete: fx) = x ] p N dx N x p = p x p = p N p ); p l x] N = l N; p = Hacemos que tieda a ifiito y estudiaremos la covergecia de la itegral impropia. dx Si p >, x p = ; la itegrla es fiita y la serie coverge. p dx Si p <, = ; la itegral es ifiita y la serie diverge. xp dx Si p =, = ; la itegral es ifiita y la serie diverge. xp Ejemplo Aalizar co el criterio de la itegral la covergecia de la serie: e Solució. La fució cotiua y decreciete es fx) = xe x y como la itegral coverge a etoces la serie tambié coverge. e xe x dx, Criterio de Leibitz, para series alterates Teorema Si b b... > 0 y lím b = 0 etoces la serie ) + b = b b + b 3 b es covergete. Demostració. Se demostrará que la sucesió de sumas parciales de la serie es acotada superiormete y por lo tato covergete y ello implica la covergecia de la serie. Cosideremos la suma de u úmero impar de térmios: S = b 0 b ) + b b 3 ) b b ),
26 84 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA los parétesis so positivos. es creciete, por otra parte, como S + = S + b b ) S + S {S } S = b 0 b b ) b 3 b 4 )... b 3 b b ) y como cada parétesis es positivo se tiee que S b 0, etoces la sucesió es acotada superiormete. Por otra parte: S = S + b. Luego si etoces b 0 co lo que se determia la covergecia de {S }. Ejemplo Verificar la covergecia de ) Solució. Como la sucesió de térmio geeral b = es decreciete y además lím = 0, etoces la serie ) es covergete. Ejemplo Demostrar que la serie alterada es covergete ) Solució. Usemos el criterio de Leibitz. Debemos verificar que la sucesió de térmio geeral a = es decreciete. Como a + = +) = + < = a etoces la sucesió es decreciete. Además, como lím a = 0 etoces la serie es covergete. Defiició Ua serie se dice que es absolutamete covergete, si a a es covergete y se dirá codicioalmete covergete cuado covergete, pero a es divergete. Teorema si la serie Demostració. Si a coverge etoces coverge a coverge etoces ε > 0 0 N si a. +p > 0 a = a + + a + + a a +p < ε, como + +p a + + a + + a a +p a < ε etoces a es covergete. + a es
27 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 85 Ejemplo La serie de térmios positivos y egativos es codicioalmete covergete, ya que la serie formada por los valores absolutos de sus térmios, coverge. Ejemplo La serie de térmios positivos y egativos! + 3! 4! +... es absolutamete covergete, ya que la serie formada por los valores absolutos de sus térmios, 8.0. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejemplo Decidir la covergecia de las siguietes series: a) b) c) d) =4 + ) ) 3) + ) 3 cos 3 Ejemplo Ecotrar la suma de las series a) b) c) = + 5 ) + ) + ) Ejemplo Aalizar la covergecia de + ) ) ) Ejemplo Determie si coverge a) + ) + ) + 3)
28 86 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b) c) ) + ) + + Ejemplo Usado el criterio de comparació, aalizar las series: a) b) c) + ) 4 ) + Ejemplo Co el criterio de la itegral estudiar: a) b) c) d) + e arcta ) Ejemplo Co el criterio de la razó aalizar: a) b) c) ) + )! )
29 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 87 Ejemplo Co el criterio de la Cauchy aalizar: a) b)! Ejemplo Aalizar las series alterates: a) b) c) ) + ) + ) + + ) + Ejemplo Aalizar la covergecia de las siguietes series: a) b) c) d) e e) f) ) ) + ) g) ) + 6 ) ) )! h) 4 i) + )
30 88 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA j) ) ) + 3) ) ) + l
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