Sucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010

Transcripción

1 Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos: a : a =2 Que las imágees de 0 y 3 so 0 y 6 respectivamete lo escribimos: a 0 =0 a 3 =6 E geeral a =2 refleja la misma iformació que f x=2 x, sólo que acostumbramos a trabajar co fucioes reales (por lo tato x es real) y e las sucesioes el domiio está icluido e el cojuto de los aturales ( es atural) Defiició: Ua sucesió de úmeros reales, es ua fució de domiio N y codomiio R Notació: a N : Sucesió utilizaremos mas brevemete: a a : image de e la sucesió. {a }={a 0, a,..., a } : Recorrido de la sucesió. (Cojuto de las imágees) Ejemplos de sucesioes: a defiida por a = Sustituya por distitos valores y observe que los el recorrido es: {a }={ ; 2 ; 3 ; 4...} b defiida por b = Ubique los alguos elemetos e la recta real, calcule la image de 00000, ituya que sucede co los elemetos a medida que es cada vez mayor c defiida por c = 2 Calcule las los elemetos c 0,c, c 5,c 0 y observe que d 2 =3 d 2 = (las imágees de los pares es 3, y la de los impares es ) d defiida por d = { si =0. d si 0 e defiida por e = { si =0 3.e si 0 Para d y e : - Deducir los primeros 3 elemetos de cada sucesió ( d y e - Opcioal: Deducir y demostrar ua fórmula directa por Iducció Completa. de 8

2 Otros aálisis: ) Ubique alguos elemetos de a e la recta real y aalice alguas de las particularidades de esta sucesió: a 0 N a la sucesió es decreciete que queremosdecir coesto?:a a N 2) Sea j : j = 2 5. Observe que es creciete a partir de 3. Tambié os permitimos afirmar que j (cuado la desigualdad PARA TODOS los aturales a partir de cierto atural) Itroducció Límites Retomado a defiida por a = * Ecotramos u elemeto de la sucesió que sea meor que 0,0? Si, a 200 = 200 0,0 * Ecotrar u elemeto de la sucesió que sea meor que 0 6 * Ecotramos u elemeto de la sucesió que sea meor que, cualquiera sea positivo? Si, precisamos que, esto se cumple si y sólo si: Eligiedo lo suficietemete grade, que sea mayor que obteemos lo pedido cuá cerca de 0 podemos obteer elemetos de uestra sucesió? : Respuesta: Todo lo que se quiera. E este caso, vamos a decir que el límite de a es 0 o que a tiede a 0. Se escribirá a 0 Otro ejercicio previo a la defiició de límite: Sea a : a = 3 Idiquemos alguos elemetos del recorrido de la sucesió, y veremos que sucede a medida que aumeta. (los resultados parece aproximarse a ) Ua preguta reiterada: Ecotramos u elemeto de la sucesió que esté a meos de 0,0 del úmero? Si, 3 0,99 0, ,0 0, ,99 0,99 0,99 0,0 Tomado = 400 (o cualquier mayor que 297) Ecotramos u elemeto de la sucesió que esté a meos de 0 del úmero? Por ejemplo, si queremos ecotrar algú elemeto de la sucesió que esté a meos de de el úmero, debemos elegir u que sea mayor que de 8

3 Defiició de límite: Decimos que a tiee límite l l R si y solo si: 0, 0 N/ 0 a l Nota: Si ua sucesió tiee límite l l R decimos que coverge. Ejercicios: Deducir límites y probar su veracidad utilizado la defiició a : a = b :b = 5 3 c :c = L 3 Probar que k 0 k i setr 3 k 0 Ejercicio resuelto: Probar que: : Observació: (si >) ) = = 3 3 2) Existe 0 N tal que 0 N, Etoces N, E este ejercicio acotamos la expresió por otra mas secilla que tambié verifica la desigualdad a probar, y de esa maera os aseguramos que la primera desigualdad se verifica. Probar que: de 8

4 Defiicioes: Sucesió acotada superiormete: k R / a k N Sucesió acotada iferiormete: k R / a k N Sucesió acotada: k R / a k N ) Decir que ua sucesió esté acotada, es equivalete a mecioar que su recorrido está acotado. Las desigualdades de las defiicioes so útiles para la demostració de propiedades. Teorema: Si ua sucesió coverge etoces está acotada Qué sucede co el recíproco? No es cierto... Recordar a : a = Otros Teoremas: * Uicidad del ite. * Teorema de coservació del sigo (T.C.S) H) a =l, l0 T) 0 / N, 0 :a 0 (aálogamete deduzca que sucede si l<0) Será cierto el recíproco? Cosidere a :a = Teorema de la sucesió compredida: H) a b c, > 0 ; a = c = l T) b =l Alguas Aplicacioes: a = se Acotar por y y deducir el límite de a a = = i= Acotar cada térmio por 2 i 2 y observar que a 2 4 de 8

5 Defiicioes: Decimos que a tiee límite si y sólo si: k0, 0 N/ 0 a k Decimos que a tiee límite si y sólo si: k0, 0 N/ 0 a k Decimos que ( a ) diverge si y sólo si tiee límite o Probar que Teorema Si a = y a b, N 0 etoces b = Aplicacioes: Probar que existe 0 / N 0, tal que Probar que = Defiicioes (ya mecioado ateriormete) Decimos que ua sucesió a es creciete si y sólo si para todo : a a Decimos que ua sucesió a es estrictamete creciete si y sólo si para todo : a a Teoremas que vicula mootoía y límites: Toda sucesió moótoa acotada coverge. Toda sucesió moótoa NO acotada diverge. Toda sucesió moótoa tiee límite (C o D) Ejercicios. Verificar utilizado las defiicioes de límite: Si a = 2 etoces a 0 Si a = etoces a 0 Si Si a = 2 5 se a = etoces a 2 etoces a 0 Sug :se N Si a = etoces a Si a = cos2 2 etoces a Si a =2 etoces a Si a = etoces a Sug : 5 N, 5 L 33 e 65 5 de 8

6 Par de Sucesioes Moótoas Covergetes Defiició: Decimos que u par de sucesioes so SMC si y sólo si: ) a b 2) a b, N 3) 0, 0 / 0 b a Propiedad: Si a y b so u PSMC etoces existe u úico umero real, tal que: a b () (a lo llamamos elemeto de separació de las sucesioes) Defiimos a y b : a = Número e. b = N* Se verifica que: ) a b A partir de 2 2) a b N * 3) 0, 0 / 0 b a Como a y b so u P.S.M.C, tiee u elemeto de separació que lo llamamos Número e Demostracioes (lectura opcioal): () El teorema es mas geeralizable a par de clases cotiguas Sea A = { a } y B = { b } Por 2 A está acotado superiormete y B iferiormete (ademas, de que b decreciete) Por lo tato existe y 2 tal que: =ext {a } 2 =ext {b } Probemos que o puede ser meor que 2, i mayor. Supoemos: 2 Sea = 2 2 Como: a y 2 b N Etoces b a 2 > Si 2 Existe a tal que a 2 (sio o seria extremo superior) y Existe b m tal que b m a (sio 2 o seria extremo iferior) Si <m cosideramos a m y b m (y si >m comparamos a y b ) Usado, llegamos a que a m b m cotradice 2 (2)Probar ) Probaremos que a a a = a =. =. 6 de 8

7 = 2 2 Obs: 2) Trivial. 2 2 = 2 = Aplicado Beroulli. 3) b a = /a b 0. a partir de algú. Aplicació: Como el úmero e es elemeto de separació de las sucesioes a = y b = Etoces: e N Ua sucesió muy particular: a = a 2 = 2 a = Demostraremos que a diverge. Teemos que: N * : e L L e. L L L Por cosiguiete: L 2 L L 3 L 2 2 L 4 L 3 3 L L (sumamos...) L =a Al estar a miorada por ua sucesió que diverge, ésta tambié diverge. 7 de 8

8 Suma b a Límites de Operacioes co Sucesioes a b a+b?? Ejemplo de iterpretació de la tabla: Teorema: a a b b} a b ab Demostració: Como hipótesis teemos: a a 0, N/ a a y b b 2 0, 2 N/ 2 b b 2 Queremos probar que a b ab Esto sigifica que: 0, 0 N/ 0 a b ab Trabajemos etoces co a b ab : a b ab = a ab b a a b b (utilizamos desigualdad triagular) Dado 0 puedo ecotrar por hipótesis: N/ a a 2 2 N/ 2 b b 2 Para todos los "" mayores que el mayor etre y 2 se verifica las dos desigualdades. Etoces: Siedo 0 =max {, 2 } 0, 0 N/ 0 a b ab a a b b 2 2 = Por trasitiva cocluimos la tesis. 8 de 8

9 Multiplicació b a aa0 aa0 0 bb0 ab ab 0 bb0 ab ab ???? Divisió: a b b a aa0 aa0 0 bb0 a/b a/b 0 bb0 a/b a/b 0 0 +? 0 -? 0 0 0?? 0 0 0?? Obs: a =a + 0, 0 N/ 0 a =a - 0, 0 N/ 0 0a a 0a a Potecia a b Usado a b =e b. La podemos calcular su límite usado propiedades vistas. Obs: No teemos por ahora herramietas para calcular el límite de a b cuado: a 0 + y b 0 ; a y b 0 ; a y b ± Además se puede demostrar propiedades más geerales como: Si a ± y b acotado etoces a b ±. Si a ± y b acotado etoces b a 0. 9 de 8

10 Ejercicios Bloque 2. Calcular los límites de cada ua de las siguietes sucesioes: a : a = 5 5 a 3 : a = 32 a : a = 55 3 a : a = 5 52 a : a =5 5 2 a : a = 55 4 a : a =5 a : a =5L2 a : a = L/ /3 a : a = a : a = e2 e a : a =e 3 / 7 e / L 7 a : a =L 2 a : a =L 3 e5/ 5 2. Calcular los siguietes límites: Siedo x = 2 x x e x L x 2 x 2 x x 2 3 x / x 3 Le x x 3 3. Calcular los siguietes límites: L2 x 5 Lx Cuado: x ; x 0 + e 2 x x e Cuado: x x 2 x 3 3x 2 5 Cuado: x x 6 x 2 36 Cuado: x ; x 6 x 2 x 2 x 3 4 x Cuado: x ; x 2 L 4x 2 L 2 x Cuado: x 0 de 8

11 Sucesioes Equivaletes Recordamos = Defiició: x ~ y x y = Obs: Si el límite del cociete es, queda excluida la posibilidad de que y o x tega ifiitos térmios ulos. Ejemplo 2 3~ 2 2 ~ 2 Se puede verificar que "la trasitiva" se cumple. Teoremas: x ~ y x. a =} y.a = x ~ y a x =} a y = Aplicació: 2 3~ ~3 2 } = 2 3 2=/3 Geeralizació : a p. p...a 0 ~a p p y u poco más e geeral aú: Si x ± : a p. x p...a 0 ~a p x p OJO Co co las restas! 2 ~ 2 Pero si itetamos sustituir por u equivalete e ua resta, es muy probable que cometamos u error: 2 2 5=? 2 2 =0 MAL!!! Porque: 2 2 5= 5= Ejercicio: Probar que si x 0x 0 p etoces 4 x 2 2 x ~2 x de 8

12 Calcular: x 3 x 2 x x x Mas ejemplos: So las siguietes afirmacioes correctas? 2 38~ 2 e 2 38 ~e 2 L 2 3~L 2 Demostrar lo afirmado Propiedad: (Geeralizació del ejemplo aterior): Sea x 0 + o x y x ~ y Etoces L x ~L y Observació: a = a =0 Probar que ~2 Aplicació: Calcular Propiedad: (geeralizació del aterior) x ~k. a y ~h. a } x y ~kha kh 0 Calcular: x x si x x Ifiitésimos equivaletes a 0a 0 p etoces decimos que a es u ifeitésimo Propiedades: Siedo a u ifeitésimo: La ~a a a ~La.a a0 e a ~a se a ~a cosa ~ a 2 2 taa ~a 2 de 8

13 Demostracioes: ** La ~a Si / e aceptamos que a /a e co a 0 Etoces La / a Le= a.l a L a a Co u cambio de variable el equivalete puede expresarse: La ~a si a ** a a ~La.a a0 a 0 La a ~a a La a ~a a a La~a a E particular si a = e se obtiee: e a ~a Calcular: 2 L 5/ L 5/ 5 / se puede geeralizar algo? que sucede si cambiamos el 5 por otro úmero? L / 2 o se precisa equivaletes!! e 5 / 3 de 8

14 6º Igeiería Istituto Crado - Matemática A D' Alambert y Órdees de ifiitos Criterio de D' Alambert para sucesioes Sea a ua sucesió de térmios positivos y a a = etoces:. Si a 0 2. Si a Demostració: = y = se cumple que 2 Por defiició de límite, tomado el radio del etoro meor que la diferecia etre y, ) Si a a existe p N tal que N/ p, La última desigualdad para = p, = p+; = p+2... a p. a p a p2. a p a.a a. a (Multiplicado y simplificado): a p. a p a. p. a p a a a. a (teer presete que a 0 ) Dado cualquier positivo, como <, existe 0 tal que para todo N/ 0,. p.a p (observar que el segudo factor es costate) Etoces N/ max { 0, p} a 2) Si = ahora se cumple >. Realizado u procedimieto similar, acote a 2 por ua expresió meor, que tieda a ifiito. 4 de 8

15 Aplicacioes (ORDENES DE INFINITOS): ) Demostrar que b =0 co b>, α > 0 2) Demostrar que a b =0 co a a =, b y 0 3) Demostrar que L =0 co α y β positivos. 4) Demostrar que L a a =0 co α y β positivos y a. Alguas demostracioes: 2) Cosideremos [a ] (parte etera de a ); se cumple que : [a ] a [a ] (Obs: [a ] ) a b a Observemos que [a ] b [a ] [a ][a ] b [ a ] = c :c [a ] b [a ] 2[a ] b [ a ] 2 tiee límite 0:. [a ] b [ a ] Como a k0, / a k y b =0 0, 2 / 2 b Tomado k etero mayor 2 se cumple etoces que c para todo atural mayor que. Por cosiguiete a b es positiva y está acotada por la sucesió c a que tiede a 0. Etoces su límite es 0. 3) Defiamos z : z =L obs: z L Si z =L e z = y sustituyedo e os queda: L = z e = z z observado que 0 e cocluimos que la última expresió e z tiede a 0 dado que z tiede a (Por 2 ). 5 de 8

16 Órdees de ifiitos Defiicioes: Sea a y b sucesioes tal que a = b =, Decimos que so ifiitos de igual orde a b =l l R * Decimos que ord a ord b a b = Decimos que ord a ord b a b =0 Utilizado lo demostrado ateriormete: Si a ord L a a ord a b ord e c a co a>0, b>0 y c>0 Ejercicios - Bloque 3 ) Supoga que x y N y que x e y coverge Es ecesariamete x y? Puede ser x y? 2) Probar que las siguietes sucesioes so equivaletes: a) 2 3~ b) ~3 c) 2 3~ d) 2 3 ~ e) / 2 3 /~ 3 f) ~ 3 2 g) L 2 3~2 L h) x 2 3x 54 3 ~x 2 3 si x ± 3) So equivaletes las siguietes sucesioes? Demostrar su afirmació. a) L 2 3 y L 2 b) L5 2 3 y 2L c) e 2 y e 2 d) y 4) Calcular los siguietes límites de: ! cos ) i. Ecuetre u equivalete de la forma a. co a R : c :c = L d :d = ii. Pruebe que c d ~20 usado la defiició de equivaletes. 6 de 8

17 6) Calcular los siguietes límites (supoemos que si x a x a ) x 4 x 2 x 4 x x x x x x x 3x x x x x 3x x x 2x x 2 x 3x 3 8 x 3 2 2x x 0 4 x 2 x x 3 8 x 2 x 0 3x x L x 3x 2 3 x 0 x e / e / 2 5e / 3 2e 7) Ídem: + L x x x 0 x 2 x x 0 se3 x 5 x x 2 L 2 L x x 2 2 x x 0 se3 x 2 x cos3x x e L L x x 2 e 2 x 0 e x cos3 x tg x 8) Sea a, b y c tres sucesioes tal que: a, b y c Supoiedo que ord a ord b ord c pruebe que ord a ord c y úselo para calcular el siguiete límite, justificado cada paso que aplica: e2 2 9) Idique si las siguietes afirmacioes so verdaderas o falsas. Demuestre su afirmació o de u cotraejemplo segú correspoda. i) e 23 ~e 2 3 / ii) ord e 37 ord e 3 iii) ord 2 5 L ord 3 iv) ord x. L x 2 x L3 x v) Si ord a ord b y a ~c etoces ord c ord b ( a y b ifiitos) 5 vi) ord e ord L 0) Complete co "<", ">" o "=" demostrado lo que afirma: i) ord L3x 2 3x... ord L x 3 ii) ord e 3x 2 3x... ord e 3x x x iii) ord... ord iv) ord L... ord L de 8

18 ) Calcular los siguietes límites: x L 3 x 5 x 3 3 x L 3 x x 5 x 3 3 x L 3 x x 5 x 3 3 x L e x 3 e x 5 x 3 3 x L 3 x 2x x 2 3 x x x L3 x 5 2x 2 3 e x 2 3 x x L 3 x 2 2 x 5L x 3 5 x 3 x x L x x 3 L 3x e x x x L x x 0 + x L x x x x 3 L x 3 x 3 - e / x x x 0 x ± 2 2) Calcular los siguietes límites: x x se3 x x 2 5 x x se3 x x 5 e x x e.x 2 3 x 2 L x 3 x 2 x 53e 3 x 5x 7e 5 x L x x x 3 e 3x 2 2x 3x 2 L7x 2 x x L 2 x 3 L 73 se 2 L e 3) Ídem: i) 2e L ii) iii) x 7 2e x 7 2 x 2 7 x e 3x L 2x 2 3x 5 iv) L x x v) x 6 vii) x L 5 x x e e ix) 2 L 5 vi) x e 2x e 2 3x 2 3 x 2. L x viii) x 4 2 L x x e2 x x 3 x e. x x e x 3 e L x L 4 4) a) Compruebe que el perímetro de u -ágoo regular iscrito e ua circuferecia de radio r es 2r.se. (sugerecia: deduzca la medida de cada lado de cada uo de los triágulos determiados) b) A qué valor se aproxima ese perímetro cuado es muy grade? c) Calcular el área del -ágoo y deducir su límite. (sug: Deduzca la distacia del cetro a cada lado de los triágulos y utilizar 2 secos=se2 ) d) Iterprete los resultados de los límites. 8 de 8