Guía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

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1 1. RESUMEN Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo e Varias Variables 08-1 Igeiería Matemática Guía Semaa 9 Teorema de los multiplicadores de Lagrage y optimizació co restriccioes. Sea f : Ê N+m Ê, g : Ê N+m Ê m, fucioes de clase C 1. Sea A = {z Ê N+m g(z) = 0} y supogamos ue f(z 0 ) = mí z A f(z). Supogamos además ue la matriz g (z 0 ), ue es de tamaño (N + m) m, es de rago completo (posee m columas liealmete idepedietes). Etoces existe úmeros λ 1, λ 2,...,λ m tales ue f(z 0 ) = m λ i g i (z 0 ). Optimizació co restriccioes de igualdad y multiplicadores de Lagrage P1.- Sea α, β y γ los águlos iteriores de u triágulo. Muestre ue: ( α ) ( β ) ( γ se se se 2 2 2) 1 8 P2.- Ecuetre el máximo de log x+log y+3 logz e la porció de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 dode x > 0, y > 0, z > 0. Use el resultado para probar ue para tres reales positivos a, b, c se cumple ue: ( ) 5 a + b + c abc P3.- Cosidere el siguiete problema de optimizació: mí x x2 (P) s.a. x i = 1 x i > 0 i = 1,..., a) Resuelva (P). b) Pruebe ue si a 1, a 2,..., a > 0 etoces: (a 1 a 2 a ) 1 1 a i 1

2 P4.- Sea Q M (Ê), b Ê, c Ê y f(x) = x t Qx + bx + c. Igeiería Matemática a) Ecuetre codicioes sobre Q para la existecia de máximos y míimos para f. b) Idem, pero bajo la codició: x 2 i = 1 P5.- Pruebe ue la caja de volume máximo ue puede caber detro de ua esfera de radio R > 0 es u cubo. P6.- a) Calcular el valor máximo de f : Ê 2 Ê, f(x, y) = x i y i = x, y sujeto a x 2 + y 2 = 1. b) Co esto demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwartz: x, y x y. P7.- Cosidere el plao ue pasa por los putos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Ecotrar el puto del plao más cercao al orige e el octate positivo. P8.- Determie los máximos y míimos de la fució f(x, y, z) = x 4 +y 4 + z 4, sujeto a la restriccioes x 2 + y 2 + z 2 = 1 y x + y + z = 1. P9.- Determie los máximos y míimos globales de: f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + z 2 xy sujeto a ue x2 2 + y2 4 + z Justifiue su respuesta. P10.- Método de míimos cuadrados Dados distitos úmeros x 1...x y otros putos y 1... y (o ecesariamete distitos), es geeralmete imposible ecotrar ua líea recta f(x) = a+bx ue pase a través de todos los putos (x i, y i ), eso es, tales ue f(x i ) = y i, para cada i. Si embargo podemos itetar costruir ua fució lieal tal ue el error cuadrático total : E(a, b) = [f(x i ) y i ] 2 sea míimo. Ecuetre los valores de a y b ue cumple esto. 2

3 P11.- Sea A ua matriz de simétrica co coeficietes reales. a) Sea f : Ê Ê, f(x) = x t Ax. Verifiue ue f(x) = 2Ax. b) Sea v 1 ua solució del problema de miimizació mí x 2 =1 xt Ax Pruebe ue v 1 es vector propio de A. c) Sea v 2 ua solució del problema de miimizació mí x 2 =1,x v xt Ax 1=0 Igeiería Matemática dode v 1 es el vector de la parte aterior. Pruebe ue v 2 es vector propio de A. d) Cosidere v 1, v 2 como e las partes ateriores. Se defie v 3,...,v por recurrecia: dados v 1,...,v k sea v k+1 ua solució del problema mí x 2 =1,x v 1=0,...,x v k =0 xt Ax Demuestre ue v 3,..., v so vectores propios de A. Deduzca ue A es diagoalizable. 2. PROBLEMAS RESUELTOS P12.- (P1 C3 PRIM 2005, P. Guiraud) (Fució de Etropía y Física Estadística) E este problema ueremos maximizar la fució S : Ê Ê defiida por S(x 1,..., x ) = x k l(x k ), primero sobre todo su domiio de defiició y luego bajo restriccioes. a) Dar el domiio de S, justificar ue S es de clase C 1, calcular sus derivadas parciales y mostrar ue es de clase C 2. b) Ecotrar los putos críticos de S. c) Ecotrar los putos críticos de S co la restricció ue x k = 1. d) Sea E 1 < E 2 <... < E y E úmeros reales dados. Queremos maximizar S co las restriccioes: x k = 1, y x k E k = E (i) Escribir el lagrageao del problema así como u sistema de +2 ecuacioes ue permite ecotrar las solucioes del problema. 3

4 Igeiería Matemática (ii) Mostrar ue la solució del sistema tiee coordeadas de la forma x i = e βe i dode = e βei y dar la ecuació ue permite ecotrar β (o se le pide ecotrarlo). e) Extieda S por cotiuidad a la frotera de su domiio, y ecuetre el máximo de la parte c) para = 3 co esta ueva fució. Solució a) El domiio de S es auel cojuto dode está bie defiida la fució logaritmo, es decir, dode cada compoete del vector x es estrictamete positiva. Luego: dom(s) = Ê + = {x Ê i = 1,..., x i > 0} Notado ue las fucioes ue defie S so de clase C, por álgebra y composició de fucioes cotiuas, S es de clase C e su domiio: S = x k l(x k ) = b) Usado las codicioes de primer orde: [ ] 1 l(x i ) + x i = [l(x i ) + 1] x i S = 0 1 = l(x i ) x i = e 1 Etoces el úico puto crítico de S es x = (e 1,..., e 1 ). c) Cosideramos el problema: máx (P 1 ) s.a. x k l(x k ) x k = 1 ue resolveremos utilizado los multiplicadores de Lagrage. Sea etoces: ( ) L(x, λ) = x k l(x k ) λ x k 1 al cual aplicamos la codició de primer orde: = 0 [l(x i ) + 1] λ = 0 λ = 0 x k 1 = 0 Obteiedo la siguiete ecuació: x i = e 1 λ 1 = 4 x i = e 1 λ

5 Igeiería Matemática Esto implica ue λ = 1 + l(), permitiedo obteer los valores de x i = e l() = 1. d) (i) El problema a resolver es: máx (P 2 ) s.a. x k l(x k ) x k = 1 E k x k = E El Lagrageao del problema (P 2 ) es: ( ) ( ) L(x, λ, µ) = x k l(x k ) λ x k 1 µ E k x k E Y la codició de primer orde respectiva: = 0 [l(x i ) + 1] λ µe i = 0 (2.1) λ = 0 x k = 1 (2.2) µ = 0 E k x k = E (2.3) Este es el sistema de +2 ecuacioes ue permite ecotrar los posibles óptimos. (ii) Veamos ue para el x del euciado, y para algú (λ, µ) por ecotrar se satisface la codició de primer orde. E efecto: (3.1) x i = e 1 λ µ Ei = e β E i = β = µ y l() = (3.2) (3.3) x k = P e β E i P E ie β E i = 1 = E = E k x k = E Luego, la ecuació (3.2) se satisface siempre, mietras (3.1) da iformació sobre la relació etre los multiplicadores y β,. Por otra parte, la ecuació (3.3) es la cual permite ecotrar el valor exacto de β: β Ei E i e = e β Ei E β Ei e 5

6 Igeiería Matemática e) Recordado ue lím x 0 x l(x) = 0, se observa ue la extesió cotiua al borde de S siempre toma el valor 0 para las coordeadas i tal ue x i = 0. Por la parte c), sabemos ue el úico puto crítico es (1/3, 1/3, 1/3), co valor S(1/3, 1/3, 1/3) = l(1/3). Busuemos posibles solucioes e la frotera del cojuto: para esto se observa primero ue por simetría de S, podemos cosiderar el caso x 3 = 0 como restricció para estudiar toda la frotera. E este caso, el problema se puede trasformar e: mí x 1 l(x 1 ) x 2 l(x 2 ) s.a. x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0 Cuyo úico puto crítico es (1/2, 1/2) por la parte c), co S(1/2, 1/2, 0) = l(1/2). Por otra parte, evaluado e los bordes la fució objetivo: S(1, 0, 0) = 0, S(0, 1, 0) = 0 Etoces, se comprueba ue el máximo se alcaza e el puto crítico (1/3, 1/3, 1/3). Más aú, esto último se puede probar e el caso geeral ( cualuiera). P13.- (P3 b) EX OT 2004, A. Jofré) Sea p y 2 úmeros reales tales ue: p > 1, > 1 y 1 p + 1 = 1. a) Ecuetre el míimo de la fució f(x, y) = xp restriccioes xy = 1, x, y > 0. p + y bajo las b) A partir de lo aterior, pruebe ue si a y b so 2 úmeros o egativos, etoces: a p p + b ab Solució a) Notemos ue la existecia de míimos está dada por la coercividad y cotiuidad de la fució objetivo, además del hecho de ue su domiio es u cojuto cerrado (revisar el P9.- de la guía 2). El lagrageao del problema es: L(x, y, λ) = xp p + y λ(xy 1) Las restriccioes de positividad o se debe icluir e L, ya ue so desigualdades estrictas, ue defie u cojuto abierto. Si embargo será usadas de maera explícita e la obteció de 6

7 putos críticos. Utilizamos las codicioes de primer orde: Igeiería Matemática x = xp 1 λy = 0, y = y 1 λx = 0 Esto implica x p = y, es decir x = y p/ y como xy = 1, teemos y ( 1 p + 1 ) = 1 y = 1 x = 1. Por otra parte, se tiee λ = 1. Fialmete, otamos ue como existe míimos y se obtuvo u úico puto crítico, se cocluye ue (x, y) = (1, 1) es míimo (global) del problema. b) Sea a, b > 0 (e el caso e el ue alguo de los térmios es ulo, la desigualdad es trivial). Cosideremos: x = a p 1 p b, 1/p y = b 1 a 1/ Etoces xy = 1. Fialmete utilizado la desigualdad obteida e la parte a): x p p + y 1 Evaluado: es decir a p ab p + b ab 1 a p p + b ab 7