OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = De las siguietes operacioes, alguas o se puede realizar; razoe por qué. Efectúe las que se pueda realizar. A + B ; A t + B ; A B ; A B t ( putos) Resuelva y clasifique, atediedo al úmero de solucioes, el sistema: 1 3 x y = z -1 Solució 1 3 Sea las matrices A= 0 1 y B = De las siguietes operacioes, alguas o se puede realizar; razoe por qué. Efectúe las que se pueda realizar. A + B ; A t + B ; A B ; A B t A + B o se puede realizar, porque so de distito orde A t + B = = -4, se puede realizar, porque tiee el mismo orde A B, se puede realizar porque el º de columas de A coicide co el º de filas de B A B = = A B t, o se puede realizar porque el º de columas de A o coicide co el º de filas de B t. Resuelva y clasifique, atediedo al úmero de solucioes, el sistema: 1 3 x y = z x 3 x+y+3z y = x+z =. Igualado miembro a miembro z -1 y+z -1 x + y + 3z = 3 (F 1 - F ) y - z = -1 y - z = -1 x + z = x + z = x + z = x + 3y + z = -1 (F 3 F ) 3y z = -3 (F 3 F 1 ) y = - Como os ha quedado u sistema de tres ecuacioes co tres icógitas, es u sistema compatible y determiado y tiee ua úica solució e R. De y = - teemos y = -1, luego (-1) - z = -1, por tato z = 0 y x =. La solució del sistema es (x,y,z) = (, -1, 0). EJERCICIO _A (1 5 putos) Determie a y b e la ecuació de la parábola y = ax + bx + 5 sabiedo que ésta tiee u máximo e el puto (, 9). (1 5 putos) Calcule las asítotas de la fució f (x) = x-1 Solució 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Determie a y b e la ecuació de la parábola y = ax + bx + 5 sabiedo que ésta tiee u máximo e el puto (, 9). Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); (x k ) = k.x k-1 ; (k) = 0. La gráfica de f(x) = ax + bx + 5 es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ), puesto que me ha dicho que es el máximo (,9), luego el º que multiplica a x tiee que ser egativo (a < 0). Sabemos que los extremos relativos aula la 1ª derivada f (x). Por puto (,9) teemos f() = 9. Por ser (,9) máximo f () = 0. f(x) = ax + bx + 5; f (x) = ax + b. De f () = 0 a() + b = 0 4a + b = 0 De f() = 9 a() + b() + 5 = 9 4a + b = 4 Restádole a la ª ecuació la 1ª os queda b = 4, de dode a = -b/4 = -4/4 = -1. Calcule las asítotas de la fució f (x) = x-1 Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas tiee ua asítota horizotal (A.H.) si coicide el grado del umerador co el del deomiador, que es uestro caso, y además dicha A.H. es la misma e ±. Tambié sabemos que los úmeros que aula el deomiador so asítotas verticales (A.V.), si el límite e dicho úmero es, que tambié es uestro caso. Teemos g(x) = x-1, cuya grafica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y ua A.H. El úmero que aula el deomiador (=0) es x = -3, y como lim x 3 ua A.V. de f. Además la gráfica de f a la izquierda del -3 está e +. x-1 De lim x 3+ = -7/0+ = -, la gráfica de f a la derecha del -3, está e -. x-1 = -7/0- = +, la recta x = -3 es Como lim x-1 = lim (x/x) = lim () =, la recta y = es ua A.H. e ±. De lim (f(x) - A.H.) = lim x-1 () = 0-, teemos que f está por debajo de la A.H. e +. x-1 De lim (f(x) - A.H.) = lim () x = 0+, (c) teemos que f está por ecima de la A.H. e -. EJERCICIO 3_A Parte I E ua ura hay 1 bola blaca, 3 rojas y 4 verdes. Se cosidera el experimeto que cosiste e sacar primero ua bola, si es blaca se deja fuera, y si o lo es se vuelve a itroducir e la ura; a cotiuació se extrae ua seguda bola y se observa su color. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que salga bolas del mismo color? (1 puto) Cuál es la probabilidad de que la bola blaca salga e la ª extracció? Solució E ua ura hay 1 bola blaca, 3 rojas y 4 verdes. Se cosidera el experimeto que cosiste e sacar primero ua bola, si es blaca se deja fuera, y si o lo es se vuelve a itroducir e la ura; a cotiuació se extrae ua seguda bola y se observa su color. Cuál es la probabilidad de que salga bolas del mismo color? Llamemos B 1, R 1, V 1, B 1 C, R 1 C, V 1 C, B, R, V, B C, R C y V C, a los sucesos siguietes, sacar bola blaca e la 1ª extracció, sacar bola roja e la 1ª extracció, sacar bola verde e la 1ª extracció, o sacar bola blaca e la 1ª extracció, o sacar bola roja e la 1ª extracció, o sacar bola verde e la 1ª extracció, sacar bola blaca e la ª extracció, sacar bola roja e la ª extracció, sacar bola verde e la ª extracció, o sacar bola blaca e la ª extracció, o sacar bola roja e la ª extracció y

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua o sacar bola verde e la ª extracció, respectivamete. Del problema teemos p(b 1 ) = 1/8, p(r 1 ) = 3/8, p(v 1 ) = 4/8, p(b /B 1 ) = (la bola o se devuelve) = 0/7 = 0, p(r /B 1 ) = (la bola o se devuelve) = /7, p(r /B 1 ) = (la bola o se devuelve) = 3/7. p(b /R 1 ) = (la bola se devuelve) = 1/8, p(r /R 1 ) = (la bola se devuelve) = 3/8, p(r /R 1 ) = (la bola se devuelve) = 4/8. p(b /V 1 ) = (la bola se devuelve) = 1/8, p(r /V 1 ) = (la bola se devuelve) = 3/8, p(r /V 1 ) = (la bola se devuelve) = 4/8. p( bolas del mismo color) = p(b 1 ) p(b /B 1 ) + p(r 1 ) p(r /R 1 ) + p(v 1 ) p(v /V 1 ) = = (1/8) 0 + (3/8) (3/8) + (4/8) (4/8) = 5/64 = Cuál es la probabilidad de que la bola blaca salga e la ª extracció? p(bola blaca e la ª extracció) = p(b 1 ) p(b /B 1 ) + p(r 1 ) p(b /R 1 ) + p(v 1 ) p(b /V 1 ) = = (1/8) 0 + (3/8) (1/8) + (4/8) (1/8) = 7/64 = EJERCICIO 3_A Parte II La estatura de los soldados de u cuartel sigue ua distribució Normal co desviació típica 1 cm. (0 5 putos) Idique la distribució que sigue la media de la estatura de las muestras de soldados de ese cuartel, de tamaño 81. (1 5 putos) Si se desea estimar la estatura media de los soldados de ese cuartel de forma que el error o sobrepase los 3 cm, cuátos soldados deberá escogerse para formar parte de la muestra si se utiliza u ivel de cofiaza del 97%? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, z 1- α/. z 1- α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. La estatura de los soldados de u cuartel sigue ua distribució Normal co desviació típica 1 cm. Idique la distribució que sigue la media de la estatura de las muestras de soldados de ese cuartel, de tamaño 81. Datos del problema: = 1, = 81. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua 1 La distribució muestral de las medias es X N(µ, ) = N(µ, 81 ) = N(µ, 4 3 ) Si se desea estimar la estatura media de los soldados de ese cuartel de forma que el error o sobrepase los 3 cm, cuátos soldados deberá escogerse para formar parte de la muestra si se utiliza u ivel de cofiaza del 97%? Datos del problema: = 1, = 81, E 3, ivel de cofiaza = 97% = 0 97 = 1 - α, de dode α = 0 03, es decir α/ = 0 03/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α/ = 17, por tato el tamaño de la muestra es: z 1- α/. '17 1 De = E 3 = , teemos que el tamaño míimo es = 76. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (3 putos) El estadio del Mediterráeo, costruido para la celebració de los Juegos Mediterráeos Almería 005, tiee ua capacidad de 0000 espectadores. Para la asistecia a estos juegos se ha establecido las siguietes ormas: El úmero de adultos o debe superar al doble del úmero de iños; el úmero de adultos meos el úmero de iños o será superior a Si el precio de la etrada de iño es de 10 euros y la de adulto 15 euros cuál es la composició de espectadores que proporcioa mayores igresos? A cuáto ascederá esos igresos? Solució x = Número de iños. y = Número de adultos. Fució Objetivo F(x,y) = 10x + 15y. (etrada de iño es de 10 y la de adulto 15 ) Restriccioes: Estadio co ua capacidad de 0000 espectadores x + y Número de adultos o debe superar al doble del úmero de iños y x. Número de adultos meos el úmero de iños o será superior a y - x 5000 Irá algú iño y algú adulto. x 0 e y 0 Las desigualdades x + y 0000; y x; y x 5000; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 0000; y = x; y x = 5000; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x ; y = x; y = x ; x = 0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el puto de corte es A(0,0) De y = 0 e y = -x , teemos 0 = -x+0000 es decir x = El puto de corte es B(0000,0) De y = -x+0000 e y = x+5000, teemos -x+0000 = x+5000 es decir = x, luego x = 7500 e y = El puto de corte es C(7500,1500) De y = x e y = x ; teemos x = x , es decir x = 5000 e y = El puto de corte es D(5000,10000) Vemos que los vértices del recito so: A(0,0), B(0000,0), C(7500,1500) y D(5000,10000). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 10x + 15y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(0000,0), C(7500,1500) y D(5000,10000). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 10(0) + 15(0) =0; F(0000,0) = 10(0000) + 15(0) = 00000; F(7500,1500) = 10(7500) + 15(1500) = 6500; F(5000,10000) = 10(5000) + 15(10000) = 00000; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 6500 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(7500,1500), es decir el úmero beeficio máximo es de y se alcaza asistiedo 7500 iños y 1500 adultos. EJERCICIO _B (3 putos) Halle f (), g (4) y h (0) para las fucioes defiidas de la siguiete forma f (x) = x 16 + x ; g(x) = (x + 9) 3 ; h(x) = L(x +1). Solució Halle f (), g (4) y h (0) para las fucioes defiidas de la siguiete forma f (x) = x 16 + x ; g(x) = (x + 9) 3 ; h(x) = L(x +1). Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; ((f(x) k ) = k.f(x) k-1 f (x); (x k ) = k.x k-1 ;(l(f(x)) = f'(x) g(x) (g(x)) f(x) ; (k) = 0. f(x) = x (x) + f (x) = x + = x 3/x 3 f () = () 3/() 3 = 0 4 x x g(x) = (x + 9) 3 g (x) = 3 (x + 9) x g (4) = 3 ((4) + 9) (4) = 600 h(x) = L(x +1) h (x) = x/(x +1) h (0) = (0)/((0) +1) = 0/1 = 0 EJERCICIO 3_B Parte I Sea A y B dos sucesos idepedietes tales que p(a) = 0 4 y p(a B) = (0 5 putos) Calcule p(b). (0 75 putos) Calcule p(a B C ). c) (0 75 putos) Sabiedo que o ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A. Solució Sea A y B dos sucesos idepedietes tales que p(a) = 0 4 y p(a B) = Calcule p(b). Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a/b) = p( A B ) ; p(a B C ) = p(a) - p(a B); p(a C ) = 1 - p(a). p(b) Del problema teemos: p(a) = 0 4 y p(a B) =

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Como so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b) 0 05 = 0 4 p(b) p(b) = 0 05/0 4 = Calcule p(a B C ). p(a B C ) = p(a) - p(a B) = = c) Sabiedo que o ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A. Me pide p(a/b C ) = p(a) - p A ( B ) C p(a B ) C = 1 - p(b) p(b ) = 0 35/(1-0 15) = 0 35/0 875 = 0 4. EJERCICIO 3_B Parte II El ídice de resistecia a la rotura, expresado e kg, de u determiado tipo de cuerda sigue ua distribució Normal co desviació típica 15 6 kg. Co ua muestra de 5 de estas cuerdas, seleccioadas al azar, se obtuviero los siguietes ídices: 80, 40, 70, 85, 70. (1 puto) Obtega u itervalo de cofiaza para la media del ídice de resistecia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizado u ivel de cofiaza del 95%. (1 puto) Si, co el mismo ivel de cofiaza, se desea obteer u error máximo e la estimació de la media de 5 kg, será suficiete co elegir ua muestra de 30 cuerdas? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, z 1- α/. z 1- α/. por tato el tamaño míimo de la muestra es = E = b - a. El ídice de resistecia a la rotura, expresado e kg, de u determiado tipo de cuerda sigue ua distribució Normal co desviació típica 15 6 kg. Co ua muestra de 5 de estas cuerdas, seleccioadas al azar, se obtuviero los siguietes ídices: 80, 40, 70, 85, 70. Obtega u itervalo de cofiaza para la media del ídice de resistecia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizado u ivel de cofiaza del 95%. Datos del problema: = 15 6, = 5, x = ( )/5 = 69, ivel de cofiaza = 95% = 0 96 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = 15'6 15'6 69-1'96,69 + 1'96 (55 36, 8 674). 5 5 Si, co el mismo ivel de cofiaza, se desea obteer u error máximo e la estimació de la media de 5 kg, será suficiete co elegir ua muestra de 30 cuerdas? Datos del problema: = 15 6, E 5, z 1-α/ = 1 96 (es el mismo ivel de cofiaz. z 1- α/. 1'96 15'6 De = E , teemos que el tamaño míimo es = 38, luego o es suficiete ua muestra de 30 cuerdas. 7