IES Fco Ayala de Granada Modelo 2 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 2 DEL 2015 OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1-1 Sea las matrices A = 0 1-1, B = 1 1, C = ( 1), D = (1-1 ) (0 8 putos) Estudie cuáles de los siguietes productos de matrices se puede realizar, idicado las dimesioes de la matriz resultate: A B t C t D B t D D B t. (0 5 putos) Despeje la matriz X e la ecuació X A -1 + B = 3C t D, si calcular sus elemetos. c) (1 putos) Calcule la matriz A (B t - D t C). Solució 1-1 Sea las matrices A = 0 1-1, B = 1 1, C = ( 1), D = (1-1 ) Estudie cuáles de los siguietes productos de matrices se puede realizar, idicado las dimesioes de la matriz resultate: A B t C t D B t D D B t. A3x3 B t 3x. Si se puede multiplicar y la matriz resultate es M 3x. C t x1 D 1x3. Si se puede multiplicar y la matriz resultate esn x3. B t 3x D 1x3. No se puede multiplicar. D1x3 B t 3x. Si se puede multiplicar y la matriz resultate esn 1x. Despeje la matriz X e la ecuació X A -1 + B = 3C t D, si calcular sus elemetos. Multiplicamos la expresió X A -1 + B = 3C t D por la derecha por la matriz A. X A -1 A + B A = 3C t D A X I3 + B A = 3C t D A X + B A = 3C t D A, de dode: X = 3C t D A - B A. c) Calcule la matriz A (B t - D t C). 1-1 t A (B t - D t 1 1 t C) = ( 1-1 ) ( 1 ) = = ( 1 ) = = = = = EJERCICIO (A) La mosca comú solamete vive si la temperatura media de su etoro está compredida etre 4ºC y 36ºC. La vida e días, e fució de la temperatura media T, medida e grados cetígrados, viee dada por la fució: V(T) = (T - 40T + 16), T [4,36]. (1 puto) Determie la vida máxima que puede alcazar la mosca comú. (1 puto) Calcule la vida míima e idique la temperatura media a la que se alcaza. c) (0 5 putos) Si sabemos que ua mosca ha vivido 15 días, a qué temperatura media ha estado el etoro dode ha habitado? Solució La mosca comú solamete vive si la temperatura media de su etoro está compredida etre 4ºC y 36ºC. La vida e días, e fució de la temperatura media T, medida e grados cetígrados, viee dada por la germa.jss@gmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua fució: V(T) = (T - 40T + 16), T [4,36]. y Determie la vida máxima que puede alcazar la mosca comú. Calcule la vida míima e idique la temperatura media a la que se alcaza. Me está pidiedo el máximo y míimo absolutos, que se ecotrará e los extremos del itervalo T = 4, T = 36, o etre las solucioes de V (T) = 0. De V(T) = (T - 40T + 16), V (T) = -1 (T - 40) = -T/8 + 5/ 16 Si V (T) = 0, teemos -T/8 + 5/ = 0, de dode T/8 = 5/, es decir T = 0. Sustituimos los valores, 4, 0 y 36 e V(T) y el de mayor valor, es el de vida máxima y el meor valor, es la vida míima. V(4) = (4-40(4) + 16) = 8 V(T) = (0 40(0) + 16) = 4 V(T) = (36 40(36) + 16) = 5/ = 8 El máximo absoluto es T = 0 y vale T(0) = 4 y el míimo absoluto es T = 4 o T = 36 y vale T(4) = = T(36) = 8, es decir la vida máxima se alcaza para ua temperatura de 0º y dura 4 días, y la vida míima se alcaza para ua temperatura de 4º o de 36º y dura 8 días. c) Si sabemos que ua mosca ha vivido 15 días, a qué temperatura media ha estado el etoro dode ha habitado? Me pide que resuelva la ecuació V(T) = 15 = (T - 40T + 16), de dode T - 40T + 16 = -40, es decir 40 ± ± ± 4 (40+4)/ = 3 T - 40T - 56 = 0 T = = = =, es decir la temperatura media ha sido 8º o (40-4)/ = 8 3º. EJERCICIO 3 (A) El 70% de los clietes de u supermercado realiza las compras e el local y el resto de los clietes las realiza por iteret. De las compras realizadas e el local, sólo el 30% supera los 100, mietras que de las realizadas por iteret el 80% supera esa catidad. (1 5 putos) Elegida ua compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere los 100? (1 puto) Si se sabe que ua compra supera los 100, cuál es la probabilidad de que se haya hecho e el local? Solució El 70% de los clietes de u supermercado realiza las compras e el local y el resto de los clietes las realiza por iteret. De las compras realizadas e el local, sólo el 30% supera los 100, mietras que de las realizadas por iteret el 80% supera esa catidad. Llamemos L, I, >100 y <100, a los sucesos siguietes, compra e el local, "compra por iteret", supera los 100 " y "o supera los 100 ", respectivamete. Datos del problema p(l) = 70% = 0 7; p(>100/l) = 30% = 0 3; p(>100/i) = 80% = 0 8,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Elegida ua compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere los 100? germa.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que supere los 100 es: p(supere los 100 ) = p(>100) = p(l).p(>100/l) + p(i).p(>100/i) = = 9/0 = Si se sabe que ua compra supera los 100, cuál es la probabilidad de que se haya hecho e el local? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( L >100 ) p( L).p(>100/L ) 0'7 0'3 p(l/>100) = = = = (7/5) p(>100) p(>100) 0'45 EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) Ua característica poblacioal X sigue ua distribució Normal N(µ, 1). Sobre ella se formula u cotraste de hipótesis bilateral co H0: µ = 5 5 a u ivel de sigificació del 8%. Se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño 5 que proporcioa ua media muestral de 6 3. Platee dicho cotraste, determie su regió crítica y razoe si se puede aceptar la hipótesis ula. Solució ( 5 putos) Ua característica poblacioal X sigue ua distribució Normal N(µ, 1). Sobre ella se formula u cotraste de hipótesis bilateral co H0 : µ = 5 5 a u ivel de sigificació del 8%. Se extrae ua muestra aleatoria simple de tamaño 5 que proporcioa ua media muestral de 6 3. Platee dicho cotraste, determie su regió crítica y razoe si se puede aceptar la hipótesis ula. Sabemos que si teemos ua població que sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). σ Trabajaremos co lo ormal N(0,1) Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestra, y es parecido a los itervalos de cofiaza. Este problema os platea u cotraste bilateral. Datos dados: H0: µ = 5 5, = 5, desviació típica = σ = 1, x = 6 3; ivel de sigificació = α = 8% = = El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0: µ = 5 5 y H1: µ 5 5, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste bilateral, por tato la regió crítica está a la izquierda y a la derecha de los putos críticos - z 1-α/ y z 1-α/. Etapa : Calculamos los putos críticos que os dará las regioes críticas y de aceptació. La prueba es bilateral y para u ivel de sigificació α = 0 08, co lo cual α/ = 0,08/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 96, mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 96 o viee, y que la más cercaa es , co lo cual obteemos z 1-α/ = 1 75, por tato teemos por valores críticos - z 1-α/ = y z 1-α/ = 1 75, que separa las zoas de aceptació y de rechazo. Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba es Z =, que sigue ua ormal tipificada N(0,1), y el valor σ / x - µ 0 6'3-5'5 observado del estadístico de prueba será el úmero z0 = = σ / '1/ Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = es mayor que el valor crítico z1-α/ = 1 75, vemos que se ecuetra e la zoa de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar germa.jss@gmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua la aceptar hipótesis ula H 0: µ = 5 5 y aceptamos la hipótesis alterativa H 1: µ 5 5, e uestro caso parece µ > 5 5, co u ivel de sigificació del 8%. OPCION B EJERCICIO 1 (B) ( 5 putos) U supermercado tiee almaceados 600 kg de mazaas y 400 kg de arajas. Para icetivar su veta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A cotiee 3 kg de mazaas y 1 kg de arajas; las bolsas de tipo B icluye kg de cada uo de los productos. El precio de veta de la bolsa A es de 4 y de 3 el de la bolsa de tipo B. Supoiedo que vede todas las bolsas preparadas, cuátas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los igresos? A cuáto asciede el igreso máximo? Solució U supermercado tiee almaceados 600 kg de mazaas y 400 kg de arajas. Para icetivar su veta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A cotiee 3 kg de mazaas y 1 kg de arajas; las bolsas de tipo B icluye kg de cada uo de los productos. El precio de veta de la bolsa A es de 4 y de 3 el de la bolsa de tipo B. Supoiedo que vede todas las bolsas preparadas, cuátas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los igresos? A cuáto asciede el igreso máximo? Es u problema de programació lieal. Sea x = º de trajes. Sea y = º de abrigos. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Kilos de Kilos de Precios mazaas arajas Bolsa A (x) Bolsa B (y) 3 Total 600 kg 400 kg Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes, y la fució beeficio: De bolsa A cotiee 3 kg de mazaas y bolsa de tipo B icluye kg 3x + y 600. De bolsa B cotiee 1 kg de arajas y bolsa de tipo B icluye kg x + y 400. De se elabora algua bolsa tipo A y tipo B x 0, y 0. De cuátas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los igresos? A cuáto asciede el igreso máximo?, teemos la fució a optimizar es I(x,y) = F(x,y) = 4x + 3y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 4x + 3y. Restriccioes: 3x + y 600; x + y 400; x 0; y 0 Las desigualdades 3x + y 600; x + y 400; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, 3x + y = 600; x + y = 400; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -3x/ + 300; y = -x/ + 00; x = 0; y = 0 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0, teemos el vértice A(0,0). De y = 0 e y = -3x/+300, teemos 0 = - 3x/+300 3x = 600, y el vértice es B(00,0). De y = -x/+00 e y = -3x/+300, teemos -x/+00 = -3x/ x+400 = -3x x = 00, co lo cual x = 100 e y = -(100)/+00 = 150, y el vértice es C(100,150). De x = 0 e y = -x/ + 00, teemos y = 00, y el vértice es D(0,00). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,0), B(00,0), C(100,150) y D(0,00). germa.jss@gmail.com 4

5 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, que es el polígoo covexo limitado por los vértices A, B, C, y D de los cortes de dichas rectas, cuyos lados so los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = 4x + 3y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0), B(00,0), C(100,150) y D(0,00). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 4(0) + 3(0) = 0; F(00,0) = 4(00) + 3(0) = 800; F(100,150) = 4(100) + 3(150) = 850; F(0,00) = 4(0) + 3(00) = 600. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 850 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(100,150), por tato el máximo igreso es de 850, y se obtiee elaborado 100 bolsas tipo A y 150 bolsa tipo B. EJERCICIO (B) Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: (1-3x) (0 9 putos) f(x) = x (0 8 putos) g(x) = (x - x +1) e 5x. c) (0 8 putos) h(x) = log(x + x + 1). Solució Calcule la derivada de cada ua de las siguietes fucioes: (1-3x) f(x) =. g(x) = (x - x +1) e 5x. c) h(x) = log(x + x + 1) x f(x) = (1-3x) 1 + 3x ; f (x) = (1-3x) (-3) (1 + 3x) - (1-3x) 3-6 (1-3x) ( (1 + 3x) + (1-3x)) = = (1 + 3x) (1 + 3x) -6 (1-3x) (3 + 3x) =. (1 + 3x) g(x) = (x - x +1) e 5x ; g (x) = (x - 1) e 5x + (x - x +1) e 5x.(5) = e 5x.(5x - 3x +4). (x + 1) log(e) (x + 1) c) h(x) = log(x + x + 1); h (x) = = x + x +1 (x + x +1) l(10) EJERCICIO 3 (B) Sea dos sucesos A y B tales que P(A) = 0 5, P(B) = 0 6, P(A B C ) = 0 1. germa.jss@gmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua (0 75 putos) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B. (0 75 putos) Calcule la probabilidad de que o ocurra A pero sí ocurra B. c) (0 5 putos) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiedo que ha ocurrido B. d) (0 5 putos) So idepedietes A y B? Solució Sea dos sucesos A y B tales que P(A) = 0 5, P(B) = 0 6, P(A B C ) = 0 1. Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B. Del problema teemos: p(a) = 0 5, p(b) = 0 6 y p(a B C ) = 0 1. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide p(a y ob) = p(a B C ) = 0 1. De p(a B C ) = 0 1 = p(a) - p(a B). = p(a B), teemos p(a B) = = Calcule la probabilidad de que o ocurra A pero sí ocurra B. Me pide p(oa y B) = p(a C B) = p(b A C ) = p(b) - p(a B) = = c) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiedo que ha ocurrido B. ( ) Me pide p(a/b) = p A B = (0 15)/(0 6) = 1/4 = 0 5. p(b) d) So idepedietes A y B? A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b). Como p(a B) = 0 15 = p(a) p(b) = = 0 15, los sucesos A y B so idepedietes. EJERCICIO 4 (B) Se ha lazado u dado 400 veces, y e 7 de ellas ha salido u tres. ( putos) Calcule u itervalo de cofiaza, al 99 %, para la proporció de veces que se obtiee u tres. (0 5 putos) Calcule el error máximo admisible cometido co ese itervalo. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p ɵ sigue ua ormal N( ɵ pɵ qɵ p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode ɵ q = 1- ɵ p, y geeralmete escribimos p N( ɵ pɵ qɵ p, ) o p N( ɵ pɵ qɵ p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α /.,p + z 1 α /. = (b- dode z 1 - α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1 - α/) = 1 - α/. p(1 ˆ p) ˆ (z 1-α/ ).p.q ˆ ˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es >. E germa.jss@gmail.com 6

7 IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua Se ha lazado u dado 400 veces, y e 7 de ellas ha salido u tres. Calcule u itervalo de cofiaza, al 99 %, para la proporció de veces que se obtiee u tres. Datos del problema: p ɵ = 7/400 = 0 18, q ɵ = = 0 8, = 400, ivel de cofiaza 1 α = 99 % = = 0 99, de dode α = = 0 8% como ivel de sigificació. De α = teemos α/ = De la igualdad p(z z1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 996, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z1-α/ = 65. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 /.,p + z 1 /. = 0'18 0'8 0'18 0'8 α α 0'18 - '65.,0'18 + ' (0 191; 0 309) Calcule el error máximo admisible cometido co ese itervalo. p(1 ˆ p) ˆ El error máximo admisible es el radio del itervalo, es decir: Error = E z 1 α /. = = '65. 0'18 0' germa.jss@gmail.com 7